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专题01 活用几何基本图形，解题事半功倍-八年级数学秘籍之三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练
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这是一份专题01 活用几何基本图形，解题事半功倍-八年级数学秘籍之三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练，文件包含专题01活用几何基本图形解题事半功倍解析版docx、专题01活用几何基本图形解题事半功倍原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
专题01 活用几何基本图形，解题事半功倍
几何题目图形千变万化，但有一些经典图形经常在这些题目里直接或间接到的出现. 因此，灵活掌握和运用这些图形是学好几何的必备技能.
一、基本图形
1. “8字”形
结论：∠A+∠B=∠C+∠D；
2. 双垂直
结论：∠CAD=∠CBE；
结论：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD；
结论：∠CAD=∠CBE.
3. 与角平分线有关的三个重要结论
（1）双内角平分线
条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC=90°+∠A；
证明：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，
即：∠A+2∠2+2∠4=180°，∠2+∠4=90°－∠A，
∴∠BOC=180°－（∠2+∠4）=90°+∠A；
（2）一内角平分线，一外角平分线
条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠O=∠A；
证明：∠4=∠2+∠O，2∠4=2∠2+∠A，
可得：∠O=∠A；
（3）双外角平分线
条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC=90°－∠A；
证明：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，
即：∠A+180°－2∠2+180°－2∠4=180°，∠2+∠4=90°+∠A，
∴∠BOC=180°－（∠2+∠4）=90°－∠A；
4. 四边形外角
∠1与∠2是四边形ABCD的外角，结论：∠1+∠2=∠A+∠B；
5. 飞镖模型
∠BOC=∠A+∠B+∠C
6. 与面积相关
如上图所示，D、E、F分别是△ABC各边的中点
结论：图中，S△AOF= S△AOE= S△BOF= S△COE =S△BOD= S△COD
二、典例解析
【例1-1】（2020·安徽淮南月考）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A=( ).
A．60° B．80° C．70° D．50°
【答案】A
【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°
故答案为A.
【例1-2】（2020·平原县月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝( )
A．90°－α B．90°＋α C．α D．360°－α
【答案】C
【解析】解：由四边形的内角和定理知：∠ABC+∠BCD=360°－（∠A＋∠D）=360°－α，
由角平分线的定义可得：∠PBC+∠PCB=，
∴∠P=，
故答案为C ．
【变式1-1】（2020·陕西西安·高新一中月考）已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．
【答案】∠ACB的大小始终保持45°．
【解析】解：作∠ABO的平分线交AC于点D，
则∠BDA＝180°-(∠DAB+∠DBA)＝180°- (∠OAB+∠OBA)＝135°，
因为BD，BE分别是∠OBA和∠YBA的平分线，
所以BD⊥CB，
所以∠ACB＝∠BDA-∠DBC＝135°-90°＝45°．
即∠ACB的大小始终为45°．
【变式1-2】（2020·武城县月考）如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
（1）若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．
【答案】（1）∠D=30°；（2）∠D=（∠M+∠N﹣180°）；
【解析】解：
（1）∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2(∠DCE−∠DBC)，∠D=∠DCE−∠DBC，
∴∠A=2∠D，
∵∠ABC=75°，∠ACB=45°
∴∠A=60°
∠D=30°
(2)
理由：延长BM、CN交于点A，
则∠A=∠BMN+∠CNM－180°
∴∠D= ∠A=（∠M+∠N-180°）.
【例2-1】（2020·广东模考）如图所示，∠的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A.
【解析】解：如图：
∠1=30°+20°=40+∠，则∠=10°，
故答案为A.
【例2-2】（2020·霍林郭勒市月考）如图1所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D
利用这个结论，完成下列填空.
(1)如图 (2)，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ；
(2)如图（3），∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ；
(3)如图（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ ；
(4)如图（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ．
【答案】（1）180°，（2）180°，（3）360°，（4）540°
【解析】解：如图：（1）∵∠1，∠2的和与∠D，∠E的和相等，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°；
故答案为：180°；
（2）∵∠1，∠2的和与∠D，∠E的和相等，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°；
故答案为：180°；
（3）∵∠1，∠2的和与∠7，∠8的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；
故答案为：360°；
（4）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=540°．
故答案为：540°
【变式1-1】（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）540°；（3）2∠P＝∠D+∠B．
【解析】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图，
∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，
①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，
②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
【变式1-2】（2020·广东广州月考）如图，已知BC与DE交于点M，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_______．
【答案】360°
【解析】解：连接BE．
∵△CDM和△BEM中，∠DMC=∠BME，
∴∠C+∠D=∠MBE+∠BEM，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠B+∠MBE+∠BEM+∠E+∠F=∠A+∠F+∠ABE+∠BEF=360°．
故答案为：360°．
【例3】（2020·安徽淮南月考）某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
【答案】这个零件不合格．理由见解析.
【解析】解：如图，连接AD并延长，
∴∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，
∵∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，
∴∠BDC=∠1+∠2，
=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，
=∠B+∠BAC+∠C，
=32°+90°+21°，
=143°，
∵143°≠145°，
∴这个零件不合格．
【变式3-1】（2020·山西盐湖期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）如图，连接AD并延长至点F，
可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；
②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴，，
∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE，
=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE=85°；
③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C=70°，
设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=133°-x°
∴（133-x）+x=70，
∴13.3-x+x=70，
解得x=63，
即∠A的度数为63°.
【变式3-2】（2020·山东岱岳期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
【答案】0
【解析】解：如图1所示，
∴m=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×2+360°=720°
如图2所示，
∴n=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【例4】（2020·唐山市月考）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4平方厘米，则S△BEF的值为（ ）
A．2平方厘米 B．1平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
【答案】B.
【解析】解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×4=2cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE=S△CDE=×2=1cm2，
∴S△BEF=（S△BDE+S△CDE）=×（1+1）=1cm2．
故答案为B．
【变式4-1】（2020·山东历下期中）如图，△ABC的面积为．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少次操作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】解：连接A1C，如图，
∵AB＝A1B，
∴△ABC与△A1BC的面积相等，
∵△ABC面积为1，
∴＝1．
∵BB1＝2BC，
∴＝2，
同理可得，＝2，＝2，
∴＝2+2+2+1＝7；
△A2B2C2的面积＝7×△A1B1C1的面积＝49，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过4次操作．
故答案为：A．
【变式4-2】（2020·台州市月考）在四边形ABCD中，P是AD 边上任意一点，当AP= AD时，与 和 之间的关系式为：________________；一般地，当AP= AD（n表示正整数）时， 与和 之间关系式为：________________．
【答案】；
【解析】解：∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴，
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA，
∴
；
当AP=AD（n表示正整数）时，
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴，
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴，
∴
；
故答案为：；．
【例5】（2020·庆云县月考）探究与发现：
（探究一）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系，并证明你探究的数量关系．
（探究二）三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图②，在ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．
（探究三）若将ADC改成任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系 ．
【答案】见解析．
【解析】解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD
＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
故答案为：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；探究二：∠P＝90°+∠A；探究三：∠P＝（∠A+∠B）．
【变式5-1】（2020·河南宛城月考）问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上（点在内），使三角板的两条直角边恰好分别经过点和点．试问与是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则________度，_________度，_________度；
（2）类比探索：请探究与的关系；
（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
【答案】（1）130，90，40；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，理由见解析；（3）不成立，∠ACP-∠ABP=90°-∠A
【解析】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°．
故答案为：130，90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）不成立； 存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A．
理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵∠MPN=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABC+∠ACB）-（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A-90°，
即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP-∠ABC-∠PCB=90°-∠A，
∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A．
【变式5-2】（2020·吉林宽城期末）将三角形纸片沿折叠，使点落在点处．
（感知）如图①，若点落在四边形的边上，则与之间的数量关系是 ．
（探究）如图②，若点落在四边形的内部，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
（拓展）如图③，若点落在四边形的外部，，，则的大小为 度．
【答案】感知：∠1=2∠A；探究：2∠A=∠1+∠2，理由见解析；拓展：28
【解析】解：【感知】根据外角定理，易得
【探究】2∠A=∠1+∠2．
理由：连结AA’，
∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，
∴∠1+∠2=∠DAE+∠DA’E，
由翻折，得∠DAE=∠DA’E
∴2∠DAE=∠1+∠2
∴2∠A=∠1+∠2
【拓展】∵∠1=80°
∴∠ADE=∠EDA’ =50°
设∠DEB=x，由∠2=24°，则∠AED=x+24°
∴x+x+24=180°
∴x=78°
∴∠A=78°-50°=28°
故为28度．
三、习题专练
1. （2020·安徽淮南月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝_____．
【答案】360°
【解析】解：如图所示，
∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为360°．
2．（2020·惠州市光正实验学校月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（ ）
A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45°
C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A+∠D
【答案】D
【解析】解：∵四边形的内角和=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），
∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，
∴
∴
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）
故答案为D．
3.（2020·山东潍坊期末）如图，点D是△ABC的边BC的延长线上的一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…，已知∠A＝α，则∠A2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．
【答案】α
【解析】解：在△ABC中，∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝α，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α，
同理可得∠A2＝∠A1＝α，
∠A3＝∠A2＝α，
…
以此类推，∠A2020＝α，
故答案为：α．
4．（2020·信阳市月考）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是_______．
【答案】130°.
【解析】解：∠BDC=90°+ ∠BAC=130°.
5．（2020·惠州市月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________________度．
【答案】180.
【解析】解：∵∠2是△OBC的外角，
∴∠B+∠C=∠2，
∵∠1是△AEF的外角，
∴∠A+∠E=∠1，
∵∠1+∠2+∠D=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180．
6.（2020·商城县月考）如图，△ABC的两个内角平分线相交于点P，过点P向AB，AC两边作垂直线l1、l2，若∠1=40°，则∠BPC=_________．
【答案】110°.
【解析】解：如下图所示：
∠MPN=180°-∠1=140°，
四边形AMPN中，∠A=360°-90°-90°-140°=40°，
∵PC、PB分别是∠ACB和∠ABC的角平分线，
∴∠2+∠3=∠ACB+∠ABC=(∠ACB+∠ABC)=(180°-∠A)=×140°=70°，
∴在△PBC中，∠CPB=180°-(∠2+∠3)=110°，
故答案为：110°．
7.（2020·临沭县月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．
【答案】540°.
【解析】解：由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8，
又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°， ∠4+∠5+∠8+∠9=360°，∠10+∠9=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.
8.（2020·霍林郭勒市月考）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018为_____．
【答案】
【解析】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A1=α，
同理理可得∠A2=∠A1=α，
则∠A2018=．
故答案为：．
9．（2020·四川师范大学附属中学期中）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC＝140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，OnB平分∠ABOn﹣1，OnC平分∠ACOn﹣1，…，以此类推，则∠BO1C＝_____°，∠BO2017C＝_____°．
【答案】100；[60+（）2017×80]．
【解析】解：如图，
∵∠BOC＝140°，
∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°．
∴∠ABO+∠ACO＝180°﹣60°﹣40°＝80°
∵点O1是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠BO1C＝180°﹣（×80°+40°）＝100°．
∴∠BO2C＝180°﹣[120°﹣（∠ABO2+∠ACO2）＝80°．
依次类推，∠BO2017C＝180°﹣[120°﹣（）2017×80°]＝60°+（）2017×80°
故答案为：100，[60+（）2017×80]．
10．（2020·重庆月考）如图，分别为四边形的边的中点，并且图中四个小三角形的面积之和为，即，则图中阴影部分的面积为____．
【答案】1
【解析】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴S△BCE＝S△ACE，S△ADG＝S△ACG，S△ABH＝S△DBH，S△CDF＝S△BDF，
∴S△BCE+ S△ADG＝S△DBH+ S△BDF＝S四边形ABCD，
∴S1+ S四边形BMNF+ S4+ S2+ S四边形HQPD+ S3＝S四边形BMNF+ S阴影+ S四边形HQPD，
∴S1+ S4+ S2+ S3＝S阴影，
∵S1+ S2+ S3+ S4＝1，
∴S阴影＝1．
故答案为：1．
11．（2020·江苏邗江期末）（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E=∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）2∠G=∠ABE+∠CDE
【解析】解：（1）如图，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH=∠ABE，
∵EH∥AB，CD∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠DEH=∠CDE，
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE；
（2）2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°，
理由：由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°，
∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-（∠ABE+∠CDE），
∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，
∴∠EBD=2∠DBF，∠EDB=2∠BDF，
∴2∠DBF+2∠BDF=180°-（∠ABE+∠CDE），
∴∠DBF+∠BDF=90°-（∠ABE+∠CDE），
在△BDF中，∠F=180°-（∠DBF+∠BDF）=180°-[90°-（∠ABE+∠CDE）]=90°+（∠ABE+∠CDE），
即：2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°；
（3）2∠G=∠ABE+∠CDE，理由：
由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵BG是∠EBD的平分线，
∴∠DBE=2∠DBG，
∵DG是∠EDP的平分线，
∴∠EDP=2∠GDP，
∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2（∠GDP-∠DBG），
∴∠GDP-∠DBG=∠BED=（∠ABE+∠CDE）
∴∠G=∠GDP-∠DBG=（∠ABE+∠CDE），
∴2∠G=∠ABE+∠CDE．
12．（2020·莆田月考）如图，点D为△ABC的边BC的延长线上一点．
（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度数；
（2）若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．试探究∠PCM与∠A的数量关系．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵∠A∶∠ABC=3∶4，
设∠A=3k，∠ABC=4k．
∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°，
∴3k+4k=140°，
解得k=20°，
∴∠A=3k=60°．
（2）∵∠MCD是△MBC的外角，
∴∠M=∠MCD－∠MBC．
同理可得：∠A=∠ACD－∠ABC．
∵MC，MB分别平分∠ACD，∠ABC，
∴．
∵CP⊥BM，
∴∠PCM=90°－∠A．
13. （2019·全国月考）如图，四边形ABCD中，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD = β．
（1）如图①，若α＋β = 150°，求∠MBC＋∠NDC的度数；
（2）如图①，若BE与DF相交于点G，∠BGD = 30°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图②，若α = β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）150°；（2）β﹣α=60°；（3）BE∥DF，理由见解析
【解析】（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=150°，
∴∠MBC+∠NDC=150°；
（2）β﹣α=60°
理由：连接BD，
由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=∠MBC，∠CDG=∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，
在BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，
在BDG中， ∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，
(α+β)+180°﹣β+30°=180°，
∴β﹣α=60°；
(3)平行，
理由：延长BC交DF于H，
由（1），∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB=(α+β)，
∵α=β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB=(β+β)=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF．
14.（2020·贵州赫章期末）数学问题：如图，在中，的等分线分别交于点根据等分线等分角的情况解决下列问题：
（1）求的度数．
（2）求的度数．
（3）直接写出的度数．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∵分别是和的二等分线，
，
∴．
（2）∵分别是和的四等分线，
，
，
（3）∵分别是和的n等分线，
，
，
．
15.（2020·山西月考）综合与实践：
阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在中，，图1，图2，图3中的的内角平分线或外角平分线都交于点，请直接写出下列角的度数如图1，_________；如图2，_________；如图3，_________；如图4，，的三等分线交于点，，连接，则_________．
（2）如图5，点是两条内角平分线的交点，求证：．
（3）如图6，在中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
如图2，∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴
∵，
∴
如图3，∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
如图4，∵，的三等分线交于点，，
∴，．
∵平分，平分，∴平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：120°；30°；60°；50°．
（2）证明：∵平分，平分，
∵，，
∴．
（3）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
16.（2019·福建永安期末）（1）如图1．在△ABC中，∠B=60°，∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O，则∠O= °，
（2）如图2，若∠B=α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O的大小；
（3）如图3，若∠B=α，，则∠P= （用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠O=60°；（2）90°－；（3）
【解析】解：（1）∵∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O，且∠B=60°，
∴，
∴∠O=60°.
（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β
∵CO平分∠ACE
同理可得：
∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，
∴
；
（3）∵∠B=α，，
∴.
17.（2019·重庆市璧山区青杠初级中学校初二期中）如图，在△ABC中，已知于点D，AE平分
（1）试探究与的关系；
（2）若F是AE上一动点，当F移动到AE之间的位置时，，如图2所示，此时的关系如何？
（3）若F是AE上一动点，当F继续移动到AE的延长线上时，如图3，，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠EAD=（∠C-∠B）.理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC= [180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD= [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=（∠C-∠B）．
（2）∠EFD=（∠C-∠B）.理由如下：
过A作AG⊥BC于G
由（1）可知∠EAG=（∠C-∠B）
∵，
∴FD∥AG
∴∠EAG=∠EFD
∴∠EFD=（∠C-∠B）
（3）∠AFD=（∠C-∠B）．理由如下：
过A作AH⊥BC于H
由（1）可知∠EAH=（∠C-∠B）
∵，
∴FD∥AH
∴∠EAH=∠AFD
∴∠AFD=（∠C-∠B）.
专题01 活用几何基本图形，解题事半功倍
几何题目图形千变万化，但有一些经典图形经常在这些题目里直接或间接到的出现. 因此，灵活掌握和运用这些图形是学好几何的必备技能.
一、基本图形
1. “8字”形
结论：∠A+∠B=∠C+∠D；
2. 双垂直
结论：∠CAD=∠CBE；
结论：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD；
结论：∠CAD=∠CBE.
3. 与角平分线有关的三个重要结论
（1）双内角平分线
条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC=90°+∠A；
证明：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，
即：∠A+2∠2+2∠4=180°，∠2+∠4=90°－∠A，
∴∠BOC=180°－（∠2+∠4）=90°+∠A；
（2）一内角平分线，一外角平分线
条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠O=∠A；
证明：∠4=∠2+∠O，2∠4=2∠2+∠A，
可得：∠O=∠A；
（3）双外角平分线
条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC=90°－∠A；
证明：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，
即：∠A+180°－2∠2+180°－2∠4=180°，∠2+∠4=90°+∠A，
∴∠BOC=180°－（∠2+∠4）=90°－∠A；
4. 四边形外角
∠1与∠2是四边形ABCD的外角，结论：∠1+∠2=∠A+∠B；
5. 飞镖模型
∠BOC=∠A+∠B+∠C
6. 与面积相关
如上图所示，D、E、F分别是△ABC各边的中点
结论：图中，S△AOF= S△AOE= S△BOF= S△COE =S△BOD= S△COD
二、典例解析
【例1-1】（2020·安徽淮南月考）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A=( ).
A．60° B．80° C．70° D．50°
【答案】A
【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°
故答案为A.
【例1-2】（2020·平原县月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝( )
A．90°－α B．90°＋α C．α D．360°－α
【答案】C
【解析】解：由四边形的内角和定理知：∠ABC+∠BCD=360°－（∠A＋∠D）=360°－α，
由角平分线的定义可得：∠PBC+∠PCB=，
∴∠P=，
故答案为C ．
【变式1-1】（2020·陕西西安·高新一中月考）已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．
【答案】∠ACB的大小始终保持45°．
【解析】解：作∠ABO的平分线交AC于点D，
则∠BDA＝180°-(∠DAB+∠DBA)＝180°- (∠OAB+∠OBA)＝135°，
因为BD，BE分别是∠OBA和∠YBA的平分线，
所以BD⊥CB，
所以∠ACB＝∠BDA-∠DBC＝135°-90°＝45°．
即∠ACB的大小始终为45°．
【变式1-2】（2020·武城县月考）如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
（1）若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．
【答案】（1）∠D=30°；（2）∠D=（∠M+∠N﹣180°）；
【解析】解：
（1）∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2(∠DCE−∠DBC)，∠D=∠DCE−∠DBC，
∴∠A=2∠D，
∵∠ABC=75°，∠ACB=45°
∴∠A=60°
∠D=30°
(2)
理由：延长BM、CN交于点A，
则∠A=∠BMN+∠CNM－180°
∴∠D= ∠A=（∠M+∠N-180°）.
【例2-1】（2020·广东模考）如图所示，∠的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A.
【解析】解：如图：
∠1=30°+20°=40+∠，则∠=10°，
故答案为A.
【例2-2】（2020·霍林郭勒市月考）如图1所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D
利用这个结论，完成下列填空.
(1)如图 (2)，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ；
(2)如图（3），∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ；
(3)如图（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ ；
(4)如图（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ．
【答案】（1）180°，（2）180°，（3）360°，（4）540°
【解析】解：如图：（1）∵∠1，∠2的和与∠D，∠E的和相等，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°；
故答案为：180°；
（2）∵∠1，∠2的和与∠D，∠E的和相等，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°；
故答案为：180°；
（3）∵∠1，∠2的和与∠7，∠8的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；
故答案为：360°；
（4）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=540°．
故答案为：540°
【变式1-1】（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）540°；（3）2∠P＝∠D+∠B．
【解析】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图，
∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，
①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，
②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
【变式1-2】（2020·广东广州月考）如图，已知BC与DE交于点M，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_______．
【答案】360°
【解析】解：连接BE．
∵△CDM和△BEM中，∠DMC=∠BME，
∴∠C+∠D=∠MBE+∠BEM，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠B+∠MBE+∠BEM+∠E+∠F=∠A+∠F+∠ABE+∠BEF=360°．
故答案为：360°．
【例3】（2020·安徽淮南月考）某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
【答案】这个零件不合格．理由见解析.
【解析】解：如图，连接AD并延长，
∴∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，
∵∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，
∴∠BDC=∠1+∠2，
=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，
=∠B+∠BAC+∠C，
=32°+90°+21°，
=143°，
∵143°≠145°，
∴这个零件不合格．
【变式3-1】（2020·山西盐湖期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）如图，连接AD并延长至点F，
可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；
②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴，，
∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE，
=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE=85°；
③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C=70°，
设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=133°-x°
∴（133-x）+x=70，
∴13.3-x+x=70，
解得x=63，
即∠A的度数为63°.
【变式3-2】（2020·山东岱岳期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
【答案】0
【解析】解：如图1所示，
∴m=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×2+360°=720°
如图2所示，
∴n=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【例4】（2020·唐山市月考）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4平方厘米，则S△BEF的值为（ ）
A．2平方厘米 B．1平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
【答案】B.
【解析】解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×4=2cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE=S△CDE=×2=1cm2，
∴S△BEF=（S△BDE+S△CDE）=×（1+1）=1cm2．
故答案为B．
【变式4-1】（2020·山东历下期中）如图，△ABC的面积为．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少次操作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】解：连接A1C，如图，
∵AB＝A1B，
∴△ABC与△A1BC的面积相等，
∵△ABC面积为1，
∴＝1．
∵BB1＝2BC，
∴＝2，
同理可得，＝2，＝2，
∴＝2+2+2+1＝7；
△A2B2C2的面积＝7×△A1B1C1的面积＝49，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过4次操作．
故答案为：A．
【变式4-2】（2020·台州市月考）在四边形ABCD中，P是AD 边上任意一点，当AP= AD时，与 和 之间的关系式为：________________；一般地，当AP= AD（n表示正整数）时， 与和 之间关系式为：________________．
【答案】；
【解析】解：∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴，
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA，
∴
；
当AP=AD（n表示正整数）时，
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴，
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴，
∴
；
故答案为：；．
【例5】（2020·庆云县月考）探究与发现：
（探究一）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系，并证明你探究的数量关系．
（探究二）三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图②，在ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．
（探究三）若将ADC改成任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系 ．
【答案】见解析．
【解析】解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD
＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
故答案为：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；探究二：∠P＝90°+∠A；探究三：∠P＝（∠A+∠B）．
【变式5-1】（2020·河南宛城月考）问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上（点在内），使三角板的两条直角边恰好分别经过点和点．试问与是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则________度，_________度，_________度；
（2）类比探索：请探究与的关系；
（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
【答案】（1）130，90，40；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，理由见解析；（3）不成立，∠ACP-∠ABP=90°-∠A
【解析】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°．
故答案为：130，90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）不成立； 存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A．
理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵∠MPN=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABC+∠ACB）-（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A-90°，
即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP-∠ABC-∠PCB=90°-∠A，
∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A．
【变式5-2】（2020·吉林宽城期末）将三角形纸片沿折叠，使点落在点处．
（感知）如图①，若点落在四边形的边上，则与之间的数量关系是 ．
（探究）如图②，若点落在四边形的内部，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
（拓展）如图③，若点落在四边形的外部，，，则的大小为 度．
【答案】感知：∠1=2∠A；探究：2∠A=∠1+∠2，理由见解析；拓展：28
【解析】解：【感知】根据外角定理，易得
【探究】2∠A=∠1+∠2．
理由：连结AA’，
∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，
∴∠1+∠2=∠DAE+∠DA’E，
由翻折，得∠DAE=∠DA’E
∴2∠DAE=∠1+∠2
∴2∠A=∠1+∠2
【拓展】∵∠1=80°
∴∠ADE=∠EDA’ =50°
设∠DEB=x，由∠2=24°，则∠AED=x+24°
∴x+x+24=180°
∴x=78°
∴∠A=78°-50°=28°
故为28度．
三、习题专练
1. （2020·安徽淮南月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝_____．
【答案】360°
【解析】解：如图所示，
∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为360°．
2．（2020·惠州市光正实验学校月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（ ）
A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45°
C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A+∠D
【答案】D
【解析】解：∵四边形的内角和=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），
∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，
∴
∴
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）
故答案为D．
3.（2020·山东潍坊期末）如图，点D是△ABC的边BC的延长线上的一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…，已知∠A＝α，则∠A2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．
【答案】α
【解析】解：在△ABC中，∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝α，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α，
同理可得∠A2＝∠A1＝α，
∠A3＝∠A2＝α，
…
以此类推，∠A2020＝α，
故答案为：α．
4．（2020·信阳市月考）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是_______．
【答案】130°.
【解析】解：∠BDC=90°+ ∠BAC=130°.
5．（2020·惠州市月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________________度．
【答案】180.
【解析】解：∵∠2是△OBC的外角，
∴∠B+∠C=∠2，
∵∠1是△AEF的外角，
∴∠A+∠E=∠1，
∵∠1+∠2+∠D=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180．
6.（2020·商城县月考）如图，△ABC的两个内角平分线相交于点P，过点P向AB，AC两边作垂直线l1、l2，若∠1=40°，则∠BPC=_________．
【答案】110°.
【解析】解：如下图所示：
∠MPN=180°-∠1=140°，
四边形AMPN中，∠A=360°-90°-90°-140°=40°，
∵PC、PB分别是∠ACB和∠ABC的角平分线，
∴∠2+∠3=∠ACB+∠ABC=(∠ACB+∠ABC)=(180°-∠A)=×140°=70°，
∴在△PBC中，∠CPB=180°-(∠2+∠3)=110°，
故答案为：110°．
7.（2020·临沭县月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．
【答案】540°.
【解析】解：由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8，
又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°， ∠4+∠5+∠8+∠9=360°，∠10+∠9=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.
8.（2020·霍林郭勒市月考）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018为_____．
【答案】
【解析】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A1=α，
同理理可得∠A2=∠A1=α，
则∠A2018=．
故答案为：．
9．（2020·四川师范大学附属中学期中）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC＝140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，OnB平分∠ABOn﹣1，OnC平分∠ACOn﹣1，…，以此类推，则∠BO1C＝_____°，∠BO2017C＝_____°．
【答案】100；[60+（）2017×80]．
【解析】解：如图，
∵∠BOC＝140°，
∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°．
∴∠ABO+∠ACO＝180°﹣60°﹣40°＝80°
∵点O1是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠BO1C＝180°﹣（×80°+40°）＝100°．
∴∠BO2C＝180°﹣[120°﹣（∠ABO2+∠ACO2）＝80°．
依次类推，∠BO2017C＝180°﹣[120°﹣（）2017×80°]＝60°+（）2017×80°
故答案为：100，[60+（）2017×80]．
10．（2020·重庆月考）如图，分别为四边形的边的中点，并且图中四个小三角形的面积之和为，即，则图中阴影部分的面积为____．
【答案】1
【解析】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴S△BCE＝S△ACE，S△ADG＝S△ACG，S△ABH＝S△DBH，S△CDF＝S△BDF，
∴S△BCE+ S△ADG＝S△DBH+ S△BDF＝S四边形ABCD，
∴S1+ S四边形BMNF+ S4+ S2+ S四边形HQPD+ S3＝S四边形BMNF+ S阴影+ S四边形HQPD，
∴S1+ S4+ S2+ S3＝S阴影，
∵S1+ S2+ S3+ S4＝1，
∴S阴影＝1．
故答案为：1．
11．（2020·江苏邗江期末）（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E=∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）2∠G=∠ABE+∠CDE
【解析】解：（1）如图，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH=∠ABE，
∵EH∥AB，CD∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠DEH=∠CDE，
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE；
（2）2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°，
理由：由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°，
∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-（∠ABE+∠CDE），
∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，
∴∠EBD=2∠DBF，∠EDB=2∠BDF，
∴2∠DBF+2∠BDF=180°-（∠ABE+∠CDE），
∴∠DBF+∠BDF=90°-（∠ABE+∠CDE），
在△BDF中，∠F=180°-（∠DBF+∠BDF）=180°-[90°-（∠ABE+∠CDE）]=90°+（∠ABE+∠CDE），
即：2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°；
（3）2∠G=∠ABE+∠CDE，理由：
由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵BG是∠EBD的平分线，
∴∠DBE=2∠DBG，
∵DG是∠EDP的平分线，
∴∠EDP=2∠GDP，
∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2（∠GDP-∠DBG），
∴∠GDP-∠DBG=∠BED=（∠ABE+∠CDE）
∴∠G=∠GDP-∠DBG=（∠ABE+∠CDE），
∴2∠G=∠ABE+∠CDE．
12．（2020·莆田月考）如图，点D为△ABC的边BC的延长线上一点．
（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度数；
（2）若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．试探究∠PCM与∠A的数量关系．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵∠A∶∠ABC=3∶4，
设∠A=3k，∠ABC=4k．
∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°，
∴3k+4k=140°，
解得k=20°，
∴∠A=3k=60°．
（2）∵∠MCD是△MBC的外角，
∴∠M=∠MCD－∠MBC．
同理可得：∠A=∠ACD－∠ABC．
∵MC，MB分别平分∠ACD，∠ABC，
∴．
∵CP⊥BM，
∴∠PCM=90°－∠A．
13. （2019·全国月考）如图，四边形ABCD中，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD = β．
（1）如图①，若α＋β = 150°，求∠MBC＋∠NDC的度数；
（2）如图①，若BE与DF相交于点G，∠BGD = 30°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图②，若α = β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）150°；（2）β﹣α=60°；（3）BE∥DF，理由见解析
【解析】（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=150°，
∴∠MBC+∠NDC=150°；
（2）β﹣α=60°
理由：连接BD，
由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=∠MBC，∠CDG=∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，
在BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，
在BDG中， ∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，
(α+β)+180°﹣β+30°=180°，
∴β﹣α=60°；
(3)平行，
理由：延长BC交DF于H，
由（1），∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB=(α+β)，
∵α=β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB=(β+β)=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF．
14.（2020·贵州赫章期末）数学问题：如图，在中，的等分线分别交于点根据等分线等分角的情况解决下列问题：
（1）求的度数．
（2）求的度数．
（3）直接写出的度数．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∵分别是和的二等分线，
，
∴．
（2）∵分别是和的四等分线，
，
，
（3）∵分别是和的n等分线，
，
，
．
15.（2020·山西月考）综合与实践：
阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在中，，图1，图2，图3中的的内角平分线或外角平分线都交于点，请直接写出下列角的度数如图1，_________；如图2，_________；如图3，_________；如图4，，的三等分线交于点，，连接，则_________．
（2）如图5，点是两条内角平分线的交点，求证：．
（3）如图6，在中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
如图2，∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴
∵，
∴
如图3，∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
如图4，∵，的三等分线交于点，，
∴，．
∵平分，平分，∴平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：120°；30°；60°；50°．
（2）证明：∵平分，平分，
∵，，
∴．
（3）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
16.（2019·福建永安期末）（1）如图1．在△ABC中，∠B=60°，∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O，则∠O= °，
（2）如图2，若∠B=α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O的大小；
（3）如图3，若∠B=α，，则∠P= （用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠O=60°；（2）90°－；（3）
【解析】解：（1）∵∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O，且∠B=60°，
∴，
∴∠O=60°.
（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β
∵CO平分∠ACE
同理可得：
∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，
∴
；
（3）∵∠B=α，，
∴.
17.（2019·重庆市璧山区青杠初级中学校初二期中）如图，在△ABC中，已知于点D，AE平分
（1）试探究与的关系；
（2）若F是AE上一动点，当F移动到AE之间的位置时，，如图2所示，此时的关系如何？
（3）若F是AE上一动点，当F继续移动到AE的延长线上时，如图3，，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠EAD=（∠C-∠B）.理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC= [180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD= [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=（∠C-∠B）．
（2）∠EFD=（∠C-∠B）.理由如下：
过A作AG⊥BC于G
由（1）可知∠EAG=（∠C-∠B）
∵，
∴FD∥AG
∴∠EAG=∠EFD
∴∠EFD=（∠C-∠B）
（3）∠AFD=（∠C-∠B）．理由如下：
过A作AH⊥BC于H
由（1）可知∠EAH=（∠C-∠B）
∵，
∴FD∥AH
∴∠EAH=∠AFD
∴∠AFD=（∠C-∠B）.
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