广东省广州市番禺区执信中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份广东省广州市番禺区执信中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市番禺区执信中学九年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若一元二次方程x2﹣5x+b＝0的一个根是x＝3，则另一个根是（　　）
A．6 B．5 C．﹣3 D．2
3．抛物线y＝2x2﹣5x+6的对称轴是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（　　）

A．100° B．110° C．120° D．140°
5．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　）

A．90° B．100° C．130° D．140°
6．如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数k的最大值是（　　）
A．1.5 B．0 C．﹣1 D．1
7．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（　　）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
8．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD．若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
9．抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，﹣1），B（﹣1，0），C（3，0）三点，下面结论中正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．当x＝1时，y取最小值
C．当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个相等实根
D．直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜3
10．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中结论正确有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为 　 　．
12．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为 　 　．
13．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，2）为圆心，2为半径的圆与y轴的位置关系为 　 　．
14．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为 　 　．

15．如图1，△ABC中，AB＞AC，D是边BC上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AB的长为 　 　．

16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，﹣3）为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是 　 　．

三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤）
17．解方程：x2﹣4＝﹣2x．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，方程的两个根互为倒数？
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．

20．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．

21．如图，抛物线的顶点为C（1，9），与x轴交于A，B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交点为D，求S△BCD．

22．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时两段铁丝的长度；若不存在，请说明理由．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC中点．
（1）尺规作图：以AC为直径作⊙O，交AB于点E（保留作图痕迹，不需写作法）；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若AC＝8，AB＝10，求O到CE的距离．

24．给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 　 　（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形．
（2）如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC．
①连接AD，当n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．
②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求AC的长度．


25．如图抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．直线y＝2x+2经过点A，C．
（1）抛物线的解析式为 　 　，点B的坐标为 　 　；
（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，连接BP并延长交直线AC于点E，当CE＝AC时，求点P的横坐标．
（3）若点G是抛物线上一点，点H是x轴上一点，是否存在这样的点G，H，使以点A，C，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．若一元二次方程x2﹣5x+b＝0的一个根是x＝3，则另一个根是（　　）
A．6 B．5 C．﹣3 D．2
【分析】利用根与系数的关系求得方程的另一根．
解：设方程的另一根为x，
则x+3＝5，
解得x＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
3．抛物线y＝2x2﹣5x+6的对称轴是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣
【分析】利用二次函数的对称轴公式可直接求解．
解：已知抛物线解析式为一般式，根据对称轴公式得，对称轴x＝＝．
故选：A．
【点评】主要考查了求抛物线的对称轴的方法．
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（　　）

A．100° B．110° C．120° D．140°
【分析】先利用互余计算出∠BAC＝50°，再根据旋转的性质得到∠ABA′＝∠CBC′＝40°，BA＝BA′，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠BAA′＝70°，然后计算∠BAC+∠BAA′即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠ABA′＝∠CBC′＝40°，BA＝BA′，
∵BA＝BA′，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣∠ABA′）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA′＝∠BAC+∠BAA′＝50°+70°＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
5．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　）

A．90° B．100° C．130° D．140°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解∠A，再根据圆内接四边形的性质即可得解．
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°．
又∠ABC＝50°，
∴∠A＝40°，
∵四边形ABDC为圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝140°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．
6．如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数k的最大值是（　　）
A．1.5 B．0 C．﹣1 D．1
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵方程有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）•2≥0，且k﹣1≠0，
解得：k≤1.5且k≠1，
故整数k的最大值为0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
7．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（　　）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在﹣3≤x≤2的范围内函数取最小值时x的值，进而求解．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），
∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，
∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，
解得c＝3或c＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
8．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD．若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】连接OB，OA，根据切线的性质可得∠OBP＝∠OAP＝90°，再根据四边形的内角和可先求出∠BOA的度数，然后利用HL证明Rt△BPO≌Rt△APO，从而可得得∠BOC＝∠COA＝∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答．
【解答】解；连接OB，OA，

∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∵∠APB＝80°，
∴∠BOA＝360°﹣∠OBP﹣∠OAP﹣∠APB＝100°．
∵PO＝PO，OB＝OA，
∴Rt△BPO≌Rt△APO（HL），
∴∠BOC＝∠COA＝∠AOB＝50°，
∴∠ADC＝∠AOC＝25°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，﹣1），B（﹣1，0），C（3，0）三点，下面结论中正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．当x＝1时，y取最小值
C．当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个相等实根
D．直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜3
【分析】由点A，B，C坐标可得抛物线解析式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而判断选项A，B，C，作出直线与抛物线的函数图象，结合图象及点A，C坐标可判断选项D．
解：∵抛物线经过B（﹣1，0），C（3，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将（0，﹣1）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣1＝﹣3a，
解得a＝，
∴抛物线开口向上，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣，
∴x＝1时，函数有最小值为y＝﹣，
∴m＞﹣时，ax2+bx+c＝m有两个不相等实数根，
如图，直线与抛物线交于点A，C，

可得0＜x＜3时，kx+c＞ax2+bx+c，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中结论正确有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】连接OO′，过点O作OD⊥BO′，垂足为D，由旋转的性质可得∠OBO′＝60°，BO＝BO′，根据等边三角形的性质可得∠OBO′﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，从而证明ΔO′BA≌△OBC，即可判断①正确，证明△BOO′是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得∠BOO′＝60°，根据全等三角形的性质可证△AOO′是直角三角形，即可判断③正确；在Rt△BOD中，求出OD的长，然后根据S四边形AOBO′＝S△BOO′+S△AOO进行计算即可判断④正确；将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至点的位置，连接OE，过点A作AF⊥OE，垂足为F，由面积和差关系，即可判断⑤正确．
解：连接OO′，过点O作OD⊥BO′，垂足为D，如图，

由旋转得∠OBO′＝60°，BO＝BO′，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBO′﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
∴∠O′BA＝∠COB，
∴ΔO′BA≌△OBC（SAS），
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，所以①正确；
∵∠OBO′＝60°，BO＝BO′，
∴△BOO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4，
∴OO′＝4；所以②正确；
∵△BOO′是等边三角形，
∴∠BOO′＝60°，
∵ΔO′BA≌△OBC，
∴AO′＝OC＝5，
∴AO2+OO′2＝AO′2，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠BOO′+∠AOO′＝150°，所以③正确；
S四边形AOBO′＝S△BOO′+S△AOO′＝×42+×3×4＝4+6，所以④错误；
如图，

将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，
同理可得S△AOC+S△AOB＝S四边形AOBO′＝×32+×4×3＝6+，所以⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为 　（﹣2，3）　．
【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．
解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
所以：点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为 　y＝2（x﹣2）2+5　．
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝2（x﹣2）2+5．
故答案为：y＝2（x﹣2）2+5．
【点评】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
13．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，2）为圆心，2为半径的圆与y轴的位置关系为 　相离　．
【分析】根据题意，点（﹣3，2）到y轴的距离为3，而圆的半径为2，则点（﹣3，2）到y轴的距离大于圆的半径，可判断圆与y轴的位置关系是相离．
解：∵点（﹣3，2）到y轴的距离为3，且以点（﹣3，2）为圆心的圆的半径为2，
∴点（﹣3，2）到y轴的距离大于圆的半径，
∴该圆与y轴的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，正确理解和掌握根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断圆与直线的位置关系的方法是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为 　8　．

【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S＝AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．
解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝8﹣x，
则：S＝AC•BD＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+8，
当x＝4时，S最大＝8；
所以，四边形ABCD的面积最大值为8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
15．如图1，△ABC中，AB＞AC，D是边BC上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AB的长为 　2　．

【分析】从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，
当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：

过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，
∴AH＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，﹣3）为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是 　　．

【分析】连接BP，如图，先解方程﹣x2+1＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OE为△ABD的中位线，得到OE＝AD，利用点与圆的位置关系，AD过圆心C时，AD最大，如图，点D运动到D′位置时，AD最大，然后计算出AD′即可得到线段OE的最大值．
解：连接BP，如图，
当y＝0时，﹣x2+1＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵E是线段BD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE＝AD，
当AD最大时，OE最大，
而AD过圆心C时，AD最大，如图，点D运动到D′位置时，AD最大，
∵AC＝＝5，
∴AD′＝AC+CD′＝5+2＝7，
∴线段OE的最大值是．
故答案为：．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤）
17．解方程：x2﹣4＝﹣2x．
【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可．
解：方程整理得：x2+2x﹣4＝0，
这里a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∵Δ＝22﹣4×1×（﹣4）
＝4+16
＝20＞0，
∴x＝＝﹣1±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，方程的两个根互为倒数？
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可得出Δ＝（t﹣3）2≥0，进而可证出：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）设方程的两根分别为m，n，则mn＝t﹣2，结合方程的两个根互为倒数，即可得出关于t的方程，解之即可得出t的值．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（t﹣1），c＝t+2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）＝t2﹣6t+9＝（t﹣3）2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根．
（2）解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t﹣2，
∵方程的两个根互为倒数，
∴mn＝1，即t﹣2＝1，
解得：t＝3，
∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．

【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可，再根据三角形的面积公式求出△A1C1C2的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积＝4×8﹣×3×2﹣×2×8﹣×4×5＝11．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，坐标与图形变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
20．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．

【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH＝CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．


【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
21．如图，抛物线的顶点为C（1，9），与x轴交于A，B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交点为D，求S△BCD．

【分析】（1）先把解析式设为顶点式y＝a（x﹣1）2+9，再把B（4，0）代入解析式求出a的值即可；
（2）由函数解析式求出D点坐标，再用待定系数法求直线BD的解析式，再求出对称轴与BD的交点E的坐标，然后用分割法求△BCD面积．
解：（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+9，
把B（4，0）代入解析式得：a（4﹣1）2+9＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式y＝﹣（x﹣1）2+9；
（2）设对称轴直线x＝1与直线BD相交于E，如图所示：

令x＝0，则y＝8，
∴D（0，8），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+8，
∴当x＝1时，y＝﹣2+8＝6，
∴E（1，6），
∴CE＝9﹣6＝3，
∴S△BCD＝CE•OB＝×3×4＝6．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是用待定系数法求函数解析式．
22．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时两段铁丝的长度；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设其中一段铁丝长为xcm（0＜x≤10），则另一特殊段长为（20﹣x）cm，根据这两个正方形的面积之和等于17cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，取其符合题意的值，再将其代入（20﹣x）中，可求出另一段铁丝的长度；
（2）设其中一段铁丝长为acm（0＜a≤10），则另一段铁丝长为（20﹣a）cm，两个正方形的面积之和为wcm2，利用正方形的面积计算公式，可找出w关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设其中一段铁丝长为xcm（0＜x≤10），则另一段铁丝长为（20﹣x）cm，
根据题意得：（）2+（）2＝17，
整理得：x2﹣20x+64＝0，
解得：x1＝4，x2＝16（不符合题意，舍去），
∴20﹣x＝20﹣4＝16．
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm，16cm．
（2）设其中一段铁丝长为acm（0＜a≤10），则另一段铁丝长为（20﹣a）cm，两个正方形的面积之和为wcm2，
根据题意得：w＝（）2+（）2，
即w＝（a﹣10）2+，
∵＞0，
∴当a＝10时，w取得最小值，此时20﹣a＝20﹣10＝10，
答：两个正方形的面积之和存在最小值，此时两段铁丝的长度均为10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值问题，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC中点．
（1）尺规作图：以AC为直径作⊙O，交AB于点E（保留作图痕迹，不需写作法）；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若AC＝8，AB＝10，求O到CE的距离．

【分析】（1）根据语句作图即可；
（2）连接OE，CE，根据圆周角定理可得∠CEB＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝ED，进而可以解决问题；
（3）过点O作OF⊥CE于点F，根据垂径定理证明OF是△ACE的中位线，所以OF＝AE，然后利用三角形的面积求出CE的长，再利用勾股定理可得AE，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：如图，⊙O即为所求；

（2）证明：如图，连接OE，CE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∵D是BC中点，
∴CD＝ED，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OED＝∠OEC+∠DEC＝∠OCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：如图，过点O作OF⊥CE于点F，
∴F是CE的中点，
∵O是AC的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF＝AE，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴10CE＝8×6，
∴CE＝4.8，
∴AE＝＝＝6.4，
∴OF＝3.2，
∴O到CE的距离为3.2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
24．给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 　②③　（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形．
（2）如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC．
①连接AD，当n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．
②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求AC的长度．


【分析】（1）由勾股四边形的定义得出至少有一个内角是直角四边形必是勾股四边形，即可得出答案；
（2）①只要证明△DAE是直角三角形，再利用勾股定理/旋转的性质即可解决问题．
②如图2中，延长BC交FE的延长线于H．由△FPE≌△BPA，推出PE＝PA＝5，由CA＝CE，推出CP⊥AE，推出∠APC＝90°，根据AC＝计算即可．
【解答】（1）解：∵一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，
∴此四边形的内角中至少有一个角为直角，
①∵平行四边形的内角不一定有直角，
∴平行四边形不一定是勾股四边形；
②∵矩形的四个角都为直角，
∴矩形是勾股四边形；
③∵有一个角为直角的任意凸四边形，
∴此四边形为勾股四边形；
④∵有一个角为60°的菱形，
∴菱形的四个内角分别为60°，120°，60°，120°，
∴有一个角为60°的菱形不是勾股四边形，
故答案为：②③；

（2）①证明：如图1中，连接AE．

∵△ABC绕点C顺时针旋转了60°到△DCE，
∴AC＝BC，∠ACE＝60°，
∴△ACE是等边三角形．
∴AE＝AC，∠ACE＝60°，
∵∠DCB＝60°，∠BAD＝30°
∴∠ABC+∠ADC＝270°，
∴∠ADC+∠CDE＝170°，
∴∠ADE＝90°，
在Rt△DAE中，AD2+DE2＝AE2，
∵DE＝AB，AC＝AE，
∴AD2+AB2＝AC2，
∴四边形ABCD是勾股四边形；

②解：如图2中，延长BC交FE的延长线于H．

∵∠DCH＝180°﹣n°＝（180﹣n）°，∠DEF＝（180﹣n）°，
∴∠DEF＝∠DCH，
∵∠DEF+∠DEH＝180°，
∴∠DEH+∠DCH＝180°，
∴∠CDE+∠H＝180°，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴∠ABC+∠H＝180°，
∴AB∥FH，
∴∠F＝∠ABP，
∵DE＝EF＝AB，∠EPF＝∠APB，
∴△FPE≌△BPA（AAS），
∴PE＝PA，
∵AE＝PE+PA＝8，
∴PE＝PA＝4，
∵CA＝CE，
∴CP⊥AE，
∴∠APC＝90°，
∴AC＝＝＝2．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解本题的关键是理解勾股四边形的定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．如图抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．直线y＝2x+2经过点A，C．
（1）抛物线的解析式为 　y＝﹣x2+x+2　，点B的坐标为 　（4，0）　；
（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，连接BP并延长交直线AC于点E，当CE＝AC时，求点P的横坐标．
（3）若点G是抛物线上一点，点H是x轴上一点，是否存在这样的点G，H，使以点A，C，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求出二次函数表达式，进而求解；
（2）证明△ABC为直角三角形，得到AB＝EB＝5，进而求解；
（3）当AC是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：0+2＝n+0，解得：n＝2，进而求解；当AH、AG是平行四边形的对角线时，同理可解．
解：（1）对于y＝2x+2，令y＝2x+2＝0，解得x＝﹣1，令x＝0，则y＝2，
故点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，2），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：
，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①，
令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝4或﹣1，
故点B（4，0）；
故答案为：y＝﹣x2+x+2；（4，0）；

（2）由点A、B、C的坐标知，AB＝5，AC2＝5，BC2＝20，
即AB2＝AC2+BC2，即△ABC为直角三角形，
即BC⊥AE，
而CE＝AC，
故AB＝EB＝5，
设点E（m，2m+2），
则（m﹣4）2+（2m+2）2＝25，
解得x＝﹣1（舍去）或1，
故点E（1，4），
由B、E的坐标得，直线BE的表达式为：y＝﹣x+②，
联立①②并解得：x＝4（舍去）或，
即点P的横坐标为；

（3）存在，理由：
设点G（m，n），n＝﹣m2+m+2，
当AC是平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式得：0+2＝n+0，解得：n＝2，
即n＝﹣m2+m+2＝2，解得：n＝0（舍去）或3，
即点G（3，2）；
当AH是平行四边形的对角线时，
同理可得：0+0＝n+2，解得n＝﹣2，
则点G（，﹣2）；
当AG是平行四边形的对角线时，
同理可得，点G（3，2）；
综上，点G的坐标为：（，﹣2）或G（3，2）．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了勾股定理的运用、中垂线的性质、二次函数图象与平行四边形相结合等，其中（3）分类求解是本题解题的关键．