浙江省湖州中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

浙江省湖州中学2022学年第一学期高二期中检测

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 抛物线焦点坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.

【详解】由已知可得，且抛物线的开口向下，

故焦点坐标为，

故焦点坐标为，

故选：D

2. 直线的一个方向向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，

又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，

故选：A.

3. 已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出双曲线的标准方程后可求基本量，从而可求渐近线方程，利用公式可求焦点到渐近线的距离.

【详解】由已知得，双曲线的标准方程为，则，，

设一个焦点，而一条渐近线的方程为，

即，所以焦点到渐近线的距离为，

故选：A．

4. 直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由直线方程得到直线斜率，确定斜率的范围，再由斜率的定义，即可得出倾斜角的范围.

【详解】设为直线的倾斜角，当时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角，

当时，直线的斜率＝，

所以直线的倾斜角的取值范围是.

综上所述，.

故选：B.

5. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可

详解：直线分别与轴，轴交于，两点

,则

点P在圆上

圆心为（2，0），则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

则

故答案选A.

点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．

6. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A. ＋＝1 B. ＋＝1

C. ＋＝1 D. ＋＝1

【答案】D

【解析】

【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.

【学科网考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

7. 设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可.

【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，

，，

，

又，，

又为单位向量，，

联立，得或，

，，

.
故选：C.

8. 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．

【详解】设，由，因为 ，，所以

，

因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；

当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 直线的倾斜角为

B. 直线在轴上的截距为

C. 直线恒过定点

D. 过点并在两坐标轴上截距相等的直线方程为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据直线方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系可知A正确；将直线方程化为斜截式，即可确定在轴上的截距，知B错误；根据直线过定点的求法可知C正确；可将所求直线分为经过原点和不经过原点两类，由此可得D错误.

详解】对于A，由得：，即直线斜率，

直线的倾斜角为，A正确；

对于B，由得：，则其在轴上的截距为，B错误；

对于C，由知：直线恒过定点，C正确；

对于D，当直线过坐标原点，即直线为时，其在两坐标轴上截距相等；

当直线不过坐标原点，可设其方程为：，，则其方程为：；

过点并在两坐标轴上截距相等的直线方程为：和，D错误.

故选：AC.

10. 已知曲线方程为，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则为焦点在轴上的双曲线

B. 曲线不可能为一个圆

C. 若为椭圆，则其长轴长为

D. 当时，其渐近线方程为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据圆、椭圆、双曲线的方程和性质，逐项分析判断即可得解.

【详解】对A，由，，

方程满足双曲线方程，

但焦点在轴上，故 A错误；

对B，若要曲线一个圆，则，

而无解，故B正确；

对C，若为椭圆，则，，

又，所以，

所以，故长轴为，故C正确；

对D,由，可得，

令，可得渐近线方程为，故D错误.

故选：BC

11. 已知椭圆过双曲线的焦点，的焦点恰为的顶点，与的交点按逆时针方向分别为，，，，为坐标原点，则（    ）

A. 的离心率为

B. 的右焦点到的一条渐近线的距离为

C. 点到的两顶点的距离之和等于

D. 四边形的面积为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据条件先求解出双曲线方程中的值，由此可求双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可判断选项A和选项B；根据椭圆的定义判断选项C；计算出椭圆和双曲线的交点坐标，由此可求四边形的面积.

【详解】如下图所示，设双曲线的焦距为，

由题意可知：，，所以的离心率为，故A正确；

的右焦点，方程中，所以的渐近线方程为，

不妨取渐近线，所以到的距离为，故B错误；

根据椭圆定义可知：，故C正确；

联立，所以，所以，故D正确；

故选：ACD.

12. 在四棱锥中，底面为菱形，平面，为线段的中点，为线段上的动点，则（    ）

A. 平面平面

B. 三棱锥的体积为

C. 与平面所成角的最小值为

D. 与所成角的余弦值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据特殊位置的点,即可排除A,根据等体积法求三棱锥的体积可求解B，根据线面角的几何法即可找到角，然后在三角形中求解最小值即可判断C，根据平移，用几何法找线线角，即可用三角形的余弦定理求解D    .

【详解】对于D;取中点,连接,

则,故或其补角为与所成角，

由于为边长为2的等边三角形，则,因此故,

在中，由余弦定理可得,故与所成角的余弦值为，D正确；

对于A;由于为线段上的动点，若移动到点时，此时考虑平面与平面是否垂直，若两平面垂直，则其交线为,由于,平面，则平面，平面，故,这显然与D选项矛盾，故平面与平面不垂直，A错误，

对于B;取中点为，则所以平面平面,故平面,因此点到平面的距离与点到平面的距离相等，故,因此，故B正确；

对于C;取中点为,连接,则,所以平面,故为与平面所成角，在直角三角形中，,故当长度最大时，最小，故当运动到与重合时，最大值为，此时最小为，故C正确；

故选：BCD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则____．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：由题设可得双曲线的一个焦点是,故,故应填.

考点：抛物线和双曲线的几何性质及运用．

14. 圆与圆的公共弦长为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.

【详解】 两圆方程分别为： ①，

②，

由- 可得： ，即，

两圆的公共弦所在的直线方程为：，

的圆心坐标为 ，半径为 ，

圆心到公共弦的距离为： ，

公共弦长为： .

综上所述，公共弦长为：

故答案为：.

15. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________.

【答案】

【解析】

【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.

考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

16. 过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，若，则双曲线离心率的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】设点，分别联立两组直线方程，求出的坐标，然后利用向量的数量积，推出离心率的范围即可.

【详解】因为双曲线的渐近线方程为：，

即，设点，可得：，

联立方程组，解得：，

同理可得：，

所以，

因为，所以，

所以，由题意可得：，

所以，故离心率，又因为双曲线的离心率，

所以双曲线离心率的取值范围为，

故答案为：.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知圆，直线.

（1）写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；

（2）若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程.

【答案】（1）圆心坐标为，半径为，直线与圆相交   

（2）或

【解析】

【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交；

（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出，求出直线方程.

【小问1详解】

整理得：，

故圆的圆心坐标为，半径为，

直线变形为，故直线过定点，

因为，故在圆内，所以直线与圆相交；

【小问2详解】

圆心到的距离为，

由垂径定理得：，

解得：，

故直线的方程为或.

18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且.

（1）求；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；

（2）求出平面的法向量，及直线的方向向量，然后利用空间向量的夹角公式进行求解即可.

【小问1详解】

平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、，

则，，

，则，解得，

故；

【小问2详解】

由（1）可知，，，，，

设平面的法向量为，则，，

由，取，可得，

，设直线与平面所成角为，

则，

故设直线与平面所成角的正弦值为.

19. 如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?

【答案】（1）；   

（2）该船有触礁的危险．

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出点A，B坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答.

（2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.

【小问1详解】

依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点，

又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则，

设过O，A，B三点的圆C的方程为，

则，解得，

所以圆C的方程为．

【小问2详解】

因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则，

而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为，

由（1）知，圆C的圆心为，半径，

则圆心C到直线l的距离，则，

所以该船有触礁的危险.

20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；

【详解】（1）[方法一]：几何法

因为，所以．

又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，

过E作的平行线分别与交于其中点，连接，

因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，

易证，则．

又因为，所以．

又因为，所以平面．

又因为平面，所以．

 [方法二] 【最优解】：向量法

因为三棱柱是直三棱柱，底面，

，，，又，平面．所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

，．

由题设（）．

因为，

所以，所以．

  [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．

（2）[方法一]【最优解】：向量法

设平面的法向量为，

因为，

所以，即．

令，则

因为平面的法向量为，

设平面与平面的二面角的平面角为，

则．

当时，取最小值为，

此时取最大值为．

所以，此时．

 [方法二] ：几何法

如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．

作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．

设，过作交于点G．

由得．

又，即，所以．

又，即，所以．

所以．

则，

所以，当时，．

[方法三]：投影法

如图，联结，

在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．

设，在中，．

在中，，过D作的平行线交于点Q．

在中，．

在中，由余弦定理得，，，

，，

当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．

【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.

第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．

21. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

【答案】（1） （2）

【解析】

【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.

试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，

所以，.

又

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）解：设

由题意可设直线的方程为：，

联立消去得，

当，所以，即或时

.

所以

点到直线的距离

所以，

设，则，

，

当且仅当，即，

解得时取等号，

满足

所以的面积最大时直线的方程为：或.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.

22. 已知双曲线的中心为原点，左右焦点分别是，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.

（1）求实数的值；

（2）求证：直线与直线的斜率之积是定值，并求出此定值；

（3）点的纵坐标为1，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足，试问：点是否恒在一条定直线上，若是，请求出这条定直线，否则，请说明理由

【答案】（1）   

（2）   

（3）是，

【解析】

【分析】（1）根据双曲线关系即可.

（2）根据已知条件表示出斜率化简整理即可

（3）设出的坐标，根据向量共线进行表示，解方程组即可得到点的横纵坐标所满足的线性关系.

【小问1详解】

解：由已知离心率，又因为

所以，解得.

【小问2详解】

证明：由（1）可知，，

设，，因为

所以 所以

在双曲线上，所以

所以与直线的斜率之积是定值为

【小问3详解】

过点过点的直线与双曲线右支交于不同的两点

设， ，因为在双曲线上.

所以，

故，

设，则

得 由，得

将，代入

得， 将带入得

恒在定直线上.

【点睛】（1）圆锥曲线第一问通常是涉及基本量的计算.

（2）定值问题首先根据题意将等量关系进行表示后在化简，必要时借助于直曲联立，通过韦达定理减少计算量.