浙江省台州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

台州市2021学年第一学期高一年级期末质量评估试题

数学

2022.01

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B. {-1，0，2} C. {-1，0} D. {-1，0，1}

【答案】D

【解析】

【分析】根据交集运算法则进行计算.

【详解】

故选：D

2. 设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（    ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性进行求解.

【详解】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以.

故选：A

3. 不等式的解集为（    ）

A. （∞，0） B.  C. （0，1） D. （∞，1）

【答案】C

【解析】

【分析】直接解分式不等式即可

【详解】由，得，

得，

所以不等的解集为，

故选：C

4. （    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】逆用正弦的差角公式进行求解.

【详解】

故选：A

5. 函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】确定奇偶性排除两个选项，再由函数值的正负排除一个后可得结论．

【详解】函数定义域为R，关于原点对称，

∵，是偶函数，∴排除A，B选项，

又∵当时，，∴排除D选项.

故选：C．

6. 设，则“是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】由不能推出，例如，，故充分性不成立；

由不能推出，例如，故必要性不成立；

则“是“”的既不充分也不必要条件

故选：D

7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知甲天体的星等是26.7，甲天体与乙天体的亮度的比值为，则乙天体的星等是（    ）

A. 1.45 B. 1.45 C. 2.9 D. 11.9

【答案】B

【解析】

【分析】由已知条件代入公式中直接求解

【详解】设甲天体的星等为，亮度为，乙天体的星等为，亮度为， 则,

由，得

，

所以，

故选：B

8. 已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（    ）

A. [4，4] B. [2，8] C. [4，8] D. [4，8]

【答案】C

【解析】

【分析】先讨论，再结合二次函数的图象与性质分析时，的最大值与最小值，同理可得时的情况即可得解.

【详解】若，，函数为增函数，时，则，所以，

当时，作图如下，

为使取最大，应使尽量大，尽量小，此时，

由，

即，

所以，

所以，即，

当时，即时，此时在对称轴同侧时最小，由抛物线的对称性，不妨设都在对称轴右侧，

则由，

解得，

，

当且仅当 ,即时取等号，但，等号取不到，

，

时，同理，当时，，当时，，

综上，的取值范围是，

故选：C

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数中，定义域为的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由题意利用基本初等函数的定义域，得出结论.

【详解】对于A， 函数的定义域为，符合题意；

对于B，函数的定义域为，符合题意；

对于C，函数的定义域为，不符合题意；

对于D，函数的定义域为R，不符合题意.

故选：AB

10. 设函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 点是函数图象的一个对称中心

B. 函数的最小正周期为π

C. 是函数图象的一条对称轴

D. 函数在上单调递增

【答案】ABC

【解析】

【分析】由函数，结合正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数，

令，解得，

当时，可得，所以点是图象的一个对称中心，所以A正确；

函数的最小正周期为，所以B正确；

令，解得，

当时，可得，所以是函数图象的一条对称轴，所以C正确；

由，可得，

当，即时，函数单调递增，

当，即时，函数单调递减，所以D不正确.

故选：ABC.

11. 若，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由不等式性质直接推导可判断AB，C选项可取值验证，D选项作差配方可得.

【详解】选项A中， ， ，，又，，故A正确；

选项B中，，，又，，故B正确；

选项C中，取，则，，显然C不正确；

选项D中，，所以D正确.

故选：ABD

12. 若存在，使得函数在区间[0，]上均单调递增，则可能成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意先求出的范围，进而得到的范围，然后通过数形结合求得答案.

【详解】因为在区间上单调递增，所以，

因为在区间上单调递增，所以，

所以.

设，根据函数的周期性，现只考虑的情况.如图所示：

由图可知，时，；时，.

故选：BC.

三､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13. 若实数a满足，则___________.

【答案】6

【解析】

【分析】对等式两边同时平方即可得解.

【详解】由题，两边同时平方可得：，

所以

故答案为：6.

14. 设函数，若，则实数a的值为___________.

【答案】5

【解析】

【分析】先求，再求，列出方程，求出a的值.

【详解】，，解得：.

故答案为：5

15. 在△ABC中，若，，则cosC=___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据三角函数的特殊值，求出，进而求解，进而求解.

【详解】因为△ABC中，，因为，所以，则因为，则，所以，故

故答案为：

16. 设，若，则的最大值为___________.

【答案】1

【解析】

【分析】利用基本不等式及对数的运算可得解.

【详解】，，

又

利用基本不等式知

当且仅当，即，即时等号成立，

所以的最大值为1

故答案为：1

四､解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，集合.

（1）求集合A；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解绝对值不等式，求出解集即可；（2）根据题干条件得到，代入后求出a的取值范围.

【小问1详解】

所以集合；

【小问2详解】

且，

，解得：，

∴实数a的取值范围是.

18. 已知函数，.

（1）当时，求的最小值；

（2）求使成立的x的取值集合.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简函数，结合，得到，即可求解；

（2）由函数，得到，结合三角函数的性质，即可求解.

小问1详解】

解：由函数，

因为，可得，则，

所以.

【小问2详解】

解：由函数，即，

可得，解得∴，

所以的取值集合为.

19. 已知函数，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数g（x）的图象.

（1）求函数g（x）解析式和值域；

（2）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1），值域为[1，2]   

（2）[3，+∞）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数图象变换求出的解析式及值域；（2）换元后参变分离，利用对勾函数求出函数的最值，进而求出实数m的取值范围.

【小问1详解】

由题意可知函数g（x）的解析式为

∵，.

所以函数g（x）值域为[1，2]；

【小问2详解】

记，则

由恒成立，可知恒成立.

即恒成立，因为，所以

令，因为h（t）在[1，]上单调递减，在上单调递增.

又..

当时，不等式恒成立.

所以实数m的取值范围是[3，+∞）.

20. 一家农产品网店要对指定的四件商品进行优惠促销活动，商品原价分别为110元､75元､50元､m元.促销方案如下：若购买的商品总价超过100元，则可享受8折优惠；享受8折优惠后，若满200元可再减免x元（）；但顾客享受的优惠总额不得超过所购商品原总价的30%.

（1）若m=200，x=25，且顾客只选购了其中的两件商品，求优惠总额最多时顾客支付的金额；

（2）若顾客支付220元恰好买齐这四件商品，求m的最小值.

【答案】（1）223元   

（2）52.5

【解析】

【分析】（1）根据题意，求得2件商品的原总价为250元时、2件商品的原总价为275元时和当2件商品的原总价为310元时的优惠总额，即可求解；

（2）由题意得到买齐这四种商品的原总价为，以及付款金额，列出不等式组，求得的取值范围，即可求解.

【小问1详解】

解：因为m=200，x=25，所以顾客选购的2件商品的原总价可能为250，275，310（元）

当2件商品的原总价为250元时，，，

优惠总额为元；

当2件商品的原总价为275元时，，，优惠总额为元；

当2件商品的原总价为310示时，，，优惠总额为元

所以优惠总额最大为87元，此时顾客需支付的金额为223元.

【小问2详解】

由题意得，买齐这四种商品的原总价为，超过了100元，享受8折优惠后应付款金额为，

因为求m的最小值，所以m应满足，

解得，所以m的最小值为52.5.

21. 已知函数为自然对数的底数）.

（1）当时，判断函数单调性和零点个数，并证明你的结论；

（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）函数的零点个数为1个，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用函数单调性证明，再利用零点存性定理即可知零点个数.

（2）将转化为，构造函数，

转化为，即，即，求解即可.

【小问1详解】

函数的定义域为.

当时，函数在上单调递减，证明如下：

任取，且，

∵，∴，

∴，即.

所以函数在上单词递减.

又

∴在区间上存在零点，且为唯一的零点.

∴函数的零点个数为1个

【小问2详解】

可化为.

可化为.

可化为.

令，可知在R单调递增，

所以有，即

令，可知在上单调递增.

即在上单调递增，

，

所以实数a的取值范围是.

【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图像在 上方即可)；

③讨论最值或恒成立.