天津市红桥区2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份天津市红桥区2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共12页。

第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9小题，每小题4分，共36分.
一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集＝{－1，0，2，3}，集合＝{－1，3}，＝{0}，则 （ ）
A. B. {0}
C. {0，2}D. {－1，0，3}
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意先求出补集，再求出并集即可.
【详解】因为＝{－1，0，2，3}，S＝{－1，3}，
所以，而＝{0}，所以.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】将存在改为任意，再否定结论即可得到答案.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：C.
3. 设p：x > y，q：，则p是q成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不必要也不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断与是否成立，进而判断答案.
【详解】先验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立；
再验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立
故选：D.
4. 下列各式不正确的是（ ）
A. sin(α＋180°)＝－sinα
B. cs(－α＋β)＝－cs(α－β)
C. sin(－α－360°)＝－sinα
D. cs(－α－β)＝cs(α＋β)
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式逐个判断即可
【详解】解：对于A，sin(α＋180°)＝－sinα，正确；
对于B，，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D正确，
故选：B
【点睛】此题考查诱导公式的应用，属于基础题.
5. 如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设圆的半径为，则有，可得，所以这个圆心角所对的弧长为，故选A．
6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．
【详解】∵函数，
∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．
故选A．
7. 有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确是（ ）
A. ①②B. ②④
C. ①③D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的定义即可求得答案.
【详解】由对数定义可知，，①正确；，②正确；
对③，，错误；对④，，错误.
故选：A.
8. 面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图象以及函数的单调性确定正确选项.
【详解】根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合.
ACD选项都是单调函数，不符合.
故选：B
9. 函数，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则
A. x1＜x2＜x3B. x2＜x1＜x3
C. x2＜x3＜x1D. x3＜x1＜x2
【答案】C
【解析】
【分析】首先将函数零点转化为两个不同函数的交点，如图，判断零点大小.
【详解】求的零点，即求的实根，转化为和的交点，同理的零点转化为与的交点，以及的零点转化为与的交点，
作出y＝x与，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知.
故选：C
【点睛】本题考查函数零点，重点考查数形结合分析函数零点，属于中档题型.
第Ⅱ卷
注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
10. 计算：=______________ ；______________ ．
【答案】 ①. ②. -2
【解析】
【分析】根据诱导公式求出，再根据对数的运算性质求出.
【详解】，
.
故答案为：.
11. 在中，，则__________．
【答案】-1
【解析】
【详解】因为，所以，则，所以，则，应填答案．
点睛：本题以三角形内的三角函数值为背景，精心设置了一道考查同角三角函数关系、诱导公式及两角和的正切公式等基础知识和基本公式的综合运用的求值问题．解答时充分利用题设条件，先利用同角三角函数关系求出，进而求出，然后再运用两角和正切公式求出，最后利用诱导公式求出，使得问题获解，体现了所学知识及数学思想方法的综合运用．
12. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.
【详解】当时，，满足题意；
当时，
则，即，
解得：，
综上：.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查一元二次方程恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
13. 若函数的两个零点是2和3，则不等式 的解集为________ ．
【答案】
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系求出a,b，进而解出不等式即可.
【详解】根据题意，，则不等式可化为.
故答案为：.
14. 若函数是定义域为的奇函数．当时，．则函数的所有零点之和为______ ．
【答案】-6
【解析】
【分析】由题意，首先确定函数的零点个数及零点之和，然后结合函数图象平移的性质即可求得答案.
【详解】当时，易知函数只有一个零点为，而奇函数满足，结合函数的对称性可知函数有3个零点，设它们分别为，则，当把函数的图象向左平移2个单位之后得到函数的图象，所以函数的零点之和为.
故答案为：-6.
15. 已知函数，若存在，，使成立，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
【详解】当时，
当时，若，则恒成立，满足条件，
若，则，
若存在，，使成立，则
即
若，则，满足条件，
综上所述，
点睛：本题考查了分段函数的单调性，依据题意进行分类讨论参量的取值范围，若，若，若三种情况，结合题意当满足时成立即可求出参数范围．
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 已知：．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得.
（2）利用两角和的余弦公式求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，
所以.
【小问2详解】
.
17.
已知函数.
（1）若，且，求值；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(1) ;(2) ,
【解析】
【详解】试题分析：(1)由，且,求出角的余弦值,再根据函数,即可求得结论.
(2) 已知函数,由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角函数的化一公式,将函数化简.根据三角函数周期的公式即可的结论.根据函数的单调递增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.
试题解析： (1)因为所以.所以
(2)因为,所以.由得.所以的单调递增区间为.
考点：1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.
18. 已知函数，.
（1）若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围；
（2）若.
（ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）设，，，当时，试比较，，的大小．
【答案】（1）（2）（ⅰ）2（ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析：将二次函数的解析式进行配方,根据其开口方向的对称轴得到该函数的单调区间, 函数在上不具有单调性，说明二次函数的对称轴在区间内，由此便可求出的取值范围；
（2）（ⅰ）由建立方程可解实数的值；
（ⅱ）分别根据二次函数、对数函数、指数函数的性质求出当时，，，各自的取值范围，进而比较它们的大小.
试题解析：解：（1）∵抛物线开口向上，对称轴为，
∴函数在单调递减，在单调递增，
∵函数在上不单调
∴，得，
∴实数的取值范围为
（2）（ⅰ）∵，
∴
∴实数的值为.
（ⅱ）∵，
，
，
∴当时，，，，
∴
考点：二次函数、指数函数、对数函数的性质.
19. 某小组4位同学准备打车去30千米外的地方参加社会实践活动．已知该城市出租车的收费标准是：起步价11元（乘车不超过3千米）；行驶3千米后，每千米车费2.2元；行驶10千米后，每千米车费2.8元．
（1）写出车费（单位：元）与路程（单位：千米）的函数关系式；
（2）为了节省支出，他们设计了三种乘车方案：
①不换车：乘一辆出租车行30千米；
②分两段乘车：先乘一辆车，行15千米后，换乘另一辆车，再行15千米；
③分三段乘车：每乘10千米后，换乘一次车．问哪一种方案最省钱？
【答案】（1）；
（2）方案③最省钱.
【解析】
【分析】（1）根据题意，分、和三种情况求出函数的解析式；
（2）结合（1）求出三种方案的车费，进而比较大小后确定最省钱的方案.
【小问1详解】
设出租车行驶千米的车费为元 ．则
当时，，
当时，，
当时,，
.
小问2详解】
方案①，不换车车费为：（元），
方案②，行驶两个15千米的车费为：（元），
方案③，行驶三个10千米的车费为：（元），
因为82.4 > 80.8 > 79.2,所以方案③最省钱.