2023河南省TOP二十名校高三上学期12月调研考试数学(文)含解析
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高三文科数学试卷
注意事项:
1.本试卷共4页,考试时间120分钟,卷面总分150分。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。
3.全部答案写在答题卡上,答在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,则( )
A. B. C. D.
2.若复数z满足,则( )
A. B.1 C. D.2
3.设x,y满足约束条件则的最小值为( )
A. B.2 C.4 D.6
4.下列点中,曲线的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
5.已知,则( )
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图,若输出的S为1,则判断框内应该填入的条件是( )
A. B. C. D.
7.有一组样本数据,该样本的平均数和方差均为2,在该组数据中加入1个数2得到新的样本数据,则两组样本数据相同的为( )
A.平均数和中位数 B.中位数和方差 C.方差和极差 D.平均数和极差
8.已知函数的定义域为R,若为奇函数,为偶函数.设,则( )
A. B.0 C.1 D.2
9.已知正方体的棱长为2,E,F分别为的中点,则( )
A. B.平面平面
C.点E到平面的距离为1 D.三棱锥的体积为
10.已知数列满足,则的前n项积的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知O为坐标原点,,则( )
A.的极小值为 B.的最大值为
C.的最小值为1 D.的最大值为2
12.已知抛物线的焦点为F,A是C的准线与x轴的交点,P是C上一点,的平分线与x轴交于点B,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线的一条切线经过点,则该切线的斜率为____________.
14.已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在y轴上,离心率为2,写出C的一个方程____________.
15.已知四面体的各顶点都的球O的表面上,,E,F分别为的中点,O为的中点.若,直线与所成的角为,,则球O的表面积为____________.
16.在中,D为边上一点,,若,则____________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
电机(或变压器)绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级,电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7个级别:
耐热等级 | Y | A | E | B | F | H | C |
绝缘耐温() |
某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响,分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取50件,测量各件产品的绝缘耐温(单位:),其频率分布直方图如下:
(1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件,估计其中耐热等级达到C级的产品数;
(2)若规定产品耐热等级达到C级为合格,除此之外均为不合格.完成以下表格,并判断是否有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关?
| 合格 | 不合格 |
甲 |
|
|
乙 |
|
|
参考公式:,其中.
参考数据:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
18.(本小题满分12分)
已知数列为等差数列,数列满足,且.
(1)求的通项公式;
(2)证明:.
19.(本小题满分12分)
如图,在平行四边形中,.以为折痕将折起,使点M到达点D的位置,E,F分别为的中点.
(1)证明:;
(2)设,求.
20.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)若,求a的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆的长轴比短轴长2,焦距为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知,过点P的直线l与C交于A,B两点,延长到D,延长到E,且满足轴.证明:D,E两点到直线的距离之积为定值.
(二)选考题:共10分。请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4:坐标系与参数方程】(10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程分别为(t为参数),(为参数).
(1)将的参数方程化为普通方程;
(2)以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,设的第一象限的交点为A,求以为直径的圆的极坐标方程.
23.【选修4-5:不等式选讲】(10分)
已知函数.
(1)设,求不等式的解集;
(2)若恒成立,求m的取值范围.
2022-2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考
高三文科数学参考答案
1.【答案】C
【解析】,则.故选C.
2.【答案】A
【解析】因为,所以,所以.故选A.
3.【答案】C
【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,结合图形可知,当直线过点时,z取最小值,.
4.【答案】C
【解析】.令,则,即,故对称中心可以是.故选C.
5.【答案】D
【解析】,所以.
6.【答案】C
【解析】执行该程序框图,,执行第1次循环;执行第2次循环;执行第3次循环;当时不满足,输出.故选C.
7.【答案】D
【解析】新样本的平均数为,方差;因为加入的2是原样本数据的平均值,故不是最大和最小的数,所以极差不变但中位数有可能发生改变.故选D.
8.【答案】A
【解析】因为为奇函数,所以,所以的图象关于点对称.因为为偶函数,所以,即,所以的图象关于直线对称.则有,即.故选A.
9.【答案】D
【解析】连接,由,可知与不平行,A选项不正确;连接交于点G,连接,因为,所以,则四边形为平行四边形,则有,因为,所以,因为,F为的中点,所以,所以平面,故平面平面,B选项不正确;因为平面,所以的长度即为点E到平面的距离,,C选项不正确;由等体积变换可知,D选项正确.故选D.
10.【答案】B
【解析】由类比得,两式相除得,即.
由,得,设的前n项积为,则有,…,则数列是以3为周期的数列,的最大值为2.故选B.
11.【答案】D
【解析】由,可得点A的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,根据向量减法的几何意义,由,可得点B的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,如图所示.当点B在坐标原点位置时,取最小值0,当点B在射线与圆A的交点位置时,取最大值2,A,B选项错误.根据向量数量积的几何意义,当点B在坐标原点位置时,在方向上的投影取最小值0,此时取最小值0,当点B在射线与圆A的交点位置时,在方向上的投影取最大值2,此时取最大值2,C选项错误,D选项正确.故选D.
12.【答案】B
【解析】不妨设点P在第一象限,作垂直准线于点,则有,由角平分线定理得,当直线与抛物线相切时,最大,最大,设直线的方程为,由整理得,由,得,则当直线与抛物线相切时,则,设O为原点.则,由上可知,,整理得,则,当直线与抛物线相切时取最大值.故选B.
13.【答案】
【解析】设切点的坐标为,由题意得,则该切线的斜率,解得,则切线的斜率.
14.【答案】(答案不唯一)
【解析】由题意可知,即,所以C的方程可以为.
15.【答案】
【解析】依题意,作出球O的内接正四棱柱.因为,所以或,又,则.因为,则,在中,,则,则球O的表面积.
16.【答案】
【解析】在中,由正弦定理可得.又,可得,且,则有①.又②,①②联立,得,即,则,整理得,解得或(舍去).故.
17.【答案】见解析
【解析】(1)由频率分布直方图可知,
65万件产品中,耐热等级达到C级的产品数为(万件),
故耐热等级达到C级的产品数约为52万件.
(2)由频率分布直方图可知,
采用甲工艺生产的产品中,达到C级的件数为,
未达到C级的件数为.
采用乙工艺生产的产品中,达到C级的件数为,
未达到C级的件数为.
完成表格如下:
| 合格 | 不合格 |
A | 40 | 10 |
B | 30 | 20 |
由列联表可得,,
所以有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关.
18.【答案】见解析
【解析】(1)由,可知数列为等差数列,且的公差相等,设为d.
由,得,则.
由,得,即.
因为,所以,则有,则,
故数列的通项公式为,则
数列的通项公式.
(2)由(1)可知,
则
.
19.【答案】见解析
【解析】(1)取的中点G,连接.
因为,所以.
因为,所以.
又,
所以平面.
又平面,所以.
(2)在中,.
由余弦定理得,,则.
因为,所以.
因为,
所以平面,
又因为平面,
所以平面平面.
作垂直于H,连接.
所以平面,又平面,
所以.
由题意可知,
在中,.
20.【答案】见解析
【解析】(1)当时,,
,设,
,
当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增.
故的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由,得.
当时,.
令,
当时,,
在上单调递增;
当时,,
在上单调递减,
故.
此时,满足题意.
综上,实数a的取值范围为.
21.【答案】见解析
【解析】(1)由长轴比短轴长2,则,即①,
由焦距为,则,即 ②,
①②联立,得,
则,
所以C的方程为.
(2)由题意可知,直线l的斜率不为0.
当l的斜率不存在时,直线l的方程为,
由对称性可知,四边形为矩形,
则D,E两点到直线的距离之积为.
当l的斜率存在时,设l的方程为,
结合题意可设.
由,可得,
整理得,
.
由A,Q,D三点共线,可知,即 ①,
由B,Q,E三点共线,可知,即 ②,
①×②得:,
又,则.
,
则.
故D,E两点到直线的距离之积为定值.
22.【答案】见解析
【解析】(1)由的参数方程得,
两式相减得,
所以的普通方程为.
由的参数方程得的普通方程为.
(2)由得到
所以A的直角坐标为.
以为直径的圆的圆心的极坐标为,半径为1,
则为直径的圆的极坐标方程为,
所以所求圆的极坐标方程为.
23.【答案】见解析
【解析】(1)由,则,
当时,,则;
当时,成立,则,
综上,不等式的解集为.
(2)因为恒成立,所以恒成立,
设
当时,在上单调递增,
当时,.
所以函数的最小值为m,以,
故m的取值范围为.
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