红岭中学2023届高三上学期第二次统一考数学试题及解析

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红岭中学2022－2023学年度第一学期高三第二次统一考试
数学试卷
第Ⅱ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1. 已知集合，集合，则A∩B＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合B，再求集合A,B交集即可.
【详解】∵集合，集合，
∴.
故选：B.
2. 欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据公式，可求出，进而可知，求解即可.
【详解】，所以.
故选：B.
【点睛】本题考查新定义，考查复数的模，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
3. 函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. (1，2) B. (2，3) C. (3，3.5) D. (3.5，4)
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的单调性与零点的存在性定理判断即可；
【详解】解：因为函数在上单调递增，
所以，在上单调递增，
因为，，
所以，函数只有一个零点，且位于区间内.
故选：A．
4. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，以下命题：①若m∥，m⊥，则⊥；②若，则；③若⊥，m∥，n∥，则m⊥n；④若，则.其中正确的是（ ）
A. ①④ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】对于①，根据线面平行性质，结合面面垂直的判定定理，可得答案；
对于②、③，利用线面垂直判定定理，举反例，可得答案；
对于④，根据线面平行的性质，结合异面直线的定义，可得答案.
【详解】对于①，由m∥，则存在直线，使得，，，则，故①正确；
对于②，当时，存在，此时，，且，，则，，符合条件，故②错误；
对于③，由，则，当，且，时，，，符合条件，故③错误；
对于④，由，则任意直线，直线与直线之间的位置关系为异面或平行，，且，，故④正确.
故选：A.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；又因为，排除C项；又因为，排除D项，即可得到答案.
【详解】由题意知，函数，满足，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B选项错误；
又因为，所以C选项错误；
又因为，所以D选项错误，
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6. 在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，，且.若函数f(m)(m∈R)的最小值为，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得||的最小值为AB边上的高，由函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为，可求出∠ACB＝120°，即可求出||的最小值.
【详解】法一：由＝x＋y， 且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，
所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，
且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为.
又AC＝1，所以∠ACB＝120°，在中，，
从而可得||的最小值为.
故选：C.
法二：由＝x＋y， 且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，
所以||的最小值为AB边上的高.
设的夹角为，所以

依题，可得，因为是钝角，所以.
在中，，
从而可得||的最小值为.
故选：C.
7. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将题设等式转化为，讨论的大小，结合对数函数的性质判断a、b的关系即可.
【详解】由题设，且，
所以，
当时，，则与条件矛盾；
当时，，显然与条件矛盾；
所以且，即，故只有B符合要求；
故选：B.
【点睛】关键点点睛：将等量关系转化为，结合对数函数的性质研究参数的大小关系.
8. 已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取中点，作，设点轨迹所在平面为，设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，则可得平面平面，且四点共面，求出三棱锥外接球半径和到平面的距离，从而可求出平面截外接球所得截面圆的半径，进而可得结果.
【详解】取中点，连接，
则，平面
∴平面，，又，
∴，
则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，

设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
解Rt ，得，又，
则三棱锥外接球半径，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.
故答案为：.
二、多选题（共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有两项以上是符合题目要求的）
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A. ，使得
B. 命题“”的否定是“”
C. 设，，则
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.举例判断；B.由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；C.举例判断；D.利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：A. 当时，成立，故正确；
B. 命题“”是全称量词命题，其否定是“”，故正确；
C. 当时，则，但 不成立，故错误；
D. “”则“”，故充分；当时，或，故不必要，故正确；
故选：ABD
10. 已知直线是函数的一条对称轴，则( )
A. 的图象关于点中心对称
B. 在上有两个零点
C. 在上单调递减
D. y＝f(x)与的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】由条件先求出f(x)的解析式，根据是否为0可判断A；根据正弦函数零点性质可判断B；根据正弦型函数的单调性可判断C；作出两个函数的图象，根据图象即可判断D．
【详解】对于A，∵直线是f(x)=sin(2x+φ)(0