【中考复习】2023年中考数学一模复习专题（含答案解析）

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有理数 2
实数 41
整式的加减 73
整式的乘除 104
二次根式 137
分式 156
不等式（组） 198
一元一次方程 250


有理数
[知识要点]
知识点一 有理数基础概念
n 有理数
正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。
[易错点]
1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线。
2）-a可能是正数、负数或0。(①当a是正数时，-a是负数；
②当a是负数时，-a是正数；
③当a=0时，-a=0， 0不分正负。)
3）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等。
[如何判断一组词是否具有相反意义的量]解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
热考题型一 理解正数与负数
[解题思路]1）大于0的数叫做正数。小于0的数叫做负数。
2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
典例1．（2022·云南·中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（    ）
A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃
变式1-1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（    ）
A．(−1)2 B．|−3| C．−(−5) D．3−8
变式1-2．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
有理数的分类：

[易错点]
1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333….等）
2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数。(例如：π)
3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。
4）最小的正整数 _____1_______。最大的负整数 ______-1______。最小的自然数 ______0______。
热考题型二 理解有理数
[解题思路]理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例2．（2021·广西来宾·中考真题）下列各数是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（2021·山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．零 D．非正数
变式2-2．（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数
变式2-3．（2019·四川乐山·中考真题）一定是（ ）
A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确
n 数轴
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。
[易错点]
1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。
2）数轴的三要素缺一不可。
3）同一数轴上的单位长度要统一。
4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。
5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应。
利用数轴比较两个数大小：
依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。
热考题型三 用数轴上的点表示有理数
[解题思路]任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　）

A．﹣2 B．﹣12 C．2 D．3
变式3-1．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示2xx+2−x2−4(x+2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是(   )

A．① B．② C．③ D．①或②
变式3-2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（   ）

A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
变式3-3．（2020·江苏盐城·中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
变式3-4．（2020·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）

A．2 B．-1 C．-2 D．-3
变式3-5．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负
[解题思路]数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例4．（2022·宁夏·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（　　）

A．−2 B．−1 C．0 D．2
变式4-1．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　）

A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
变式4-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（    ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
变式4-3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ）

A．a+b0,则a+b=+|a|+|b|；若a0,b0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（    ）
A．5 B．2 C．1 D．0
变式13-3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
热考题型十四 有理数混合运算
[解题思路]掌握有理数的混合运算运算顺序
典例14．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．

变式14-1．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．

变式14-2．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：−1−−32=________．
变式14-3．（2022·浙江丽水·中考真题）计算：9−(−2022)0+2−1．
变式14-4．（2022·广西·中考真题）计算：(−1+2)×3+22+−4．
变式14-5．（2022·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
变式14-5．（2022·山东临沂·中考真题）计算：
(1)−23÷49×16−13；(2)1x+1−1x−1．
n 科学记数法
形式一：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（注意：用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1。）
形式二：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)
[易错点（表示小于1的数）]
n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）
[解题小技巧]科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
n9x−6−6第二步
4x−9x>−6−6+2第三步
−5x>−10第四步
x>2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
易错点总结：

知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：

一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
[备注]去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
考查题型二 求一元一次不等式解集
题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x−2 B．x2 D．x8 C．k≤8 D．kbc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,cc。
基本性质6：如果，，那么.
[注意]
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。
2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。
不同点：
1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。
2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。
[总结]
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则bb，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c0 D．1−2mn−2，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴−12m0，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴1−2mb，则下列四个选项中一定成立的是（    ）
A．a+2>b+2 B．−3a>−3b C．a4b+2，故原选项正确，此项符合题意；
B．因为a>b，不等边两边同时乘-3得到−3ab，不等边两边同时除以4得到a4>b4，故原选项错误，此项不符合题意；
D．因为a>b，不等边两边同时减1得到a−1>b−1，故原选项错误，此项不符合题意．
故选：A．
[名师点拨]本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解答关键．不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．
题型1-2．（2022年浙江省杭州市中考数学真题）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则（    ）
A．a+c>b+d B．a+b>c+d C．a+c>b−d D．a+b>c−d
[答案]A
[提示]根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误．
[详解]解：A、∵a>b， c=d，∴a+c>b+d．故此选项符合题意；
B、∵a>b， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+bb， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=-4，则a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，∴a+cb， c=d，如a=-2,b=-3,则a+b=-5,c-d=0，∴a+b