4.7解三角形中的内切圆、外接圆问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

4.7  解三角形中的内切圆、外接圆问题

【题型解读】

【知识储备】

一．外接圆问题

过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．

外接圆半径的计算：R＝＝＝．

外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接圆半径)．

二．内切圆问题

与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．

内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r．

【题型精讲】

【题型一　三角形中的外接圆问题】

例1  （2022·全国·高三课时练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　　)

A．4π　　　　　　　　B．2π　　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．

例2  （2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足：.

（1）求；

（2）若△ABC面积为，外接圆直径为4，求△ABC的周长.

【题型精练】

1．（2022·全国高三单元测试）在△ABC中，D为边AC上一点，AB＝AC＝6，AD＝4，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC＝_____．

2．（2022·合肥百花中学高三期末）锐角△ABC中，角所对的边分别为，若且.

（1）求△ABC的外接圆直径；

（2）求的取值范围.

3．（2022·全国高三课时练习）已知△ABC的外接圆半径为R，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)·sinB，则△ABC面积的最大值为________．

4．（2022·山东潍坊高三期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，

（1）求证：；

（2）若，的外接圆面积为，求的周长．

【题型二　解三角形中的内切圆问题】

例3　（2022·广西河池·高三期末）已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．

例4　（2022·山东济南·高三期末）．在中，分别为角的对边，且.

（1）求角；

（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.

【题型精练】

1．（2022·河南·高三期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，，求的内切圆半径.

2．（2022·甘肃兰州·高三期中）在中，内角所对的边分别为，且满足.

（1）求的值;

（2）设的内切圆半径为，若求的面积取最大值时的值.

3. （2022·四川资阳市高三月考）已知中，角，，所对的边分别是，，，，且满足.

（1）求；

（2）若，求的内切圆半径.