2022-2023学年湖北省荆州市荆州区高三年级（上）数学期末模拟测试（word版）含答案

荆州市荆州区2022-2023学年高三年级（上）期末模拟测试

数学

一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共 40分。下列各题，每小题只有一个选项符合题意。）

1. 设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2. 已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3. 已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（    ）

A. － B. － C.  D.

4. 小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（    ）

A. 0.954 B. 0.956 C. 0.958 D. 0.959

5. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知正项等比数列前项和为，，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（    ）

A. 3 B.  C.  D.

二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称

C. 在区间上单调递增 D. 的值域为

10. 三角形 中， 角 的对边分别为 ， 下列条件能判断 是钝角三角形的有 （    ）

A.  B.

C.  D.

11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（    ）

A. 双曲线的离心率为2

B. 若，且，则

C. 以线段，为直径的两个圆外切

D. 若点P第二象限，则

12. 如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（    ）

A. 三棱锥的体积恒为定值

B. 存在唯一的点E，使得截面的周长取得最小值

C. 不存在点E，使得平面

D. 若点E满足，则在棱上存在相应的点G，使得∥平面

三.填空题(共4题，总计 16分)

13. 等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______．

14. 定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.现有甲､乙､丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：

①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128；

②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；

③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125.

则数学成绩一定优秀的同学是___________.

15. 设A1，A2，B1分别是椭圆的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H．若H到x轴的距离为，则C的离心率为______．

16. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）

四.解答题(共6题，总计74分)

17. 已知数列{an}满足，且．

（1）请你在①，②中选择一个证明：

①若，则{bn}是等比数列；

②若，则{bn}是等差数列．

注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．

（2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．

18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．

（1）求角A；

（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．

19. 长江是我国第一大河，永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展的千秋大计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令，是我国保护长江的百年大计，是保护后代子孙生活环境的重大举措.某科研机构发现：在理想状态下，鱼群数量随时间的增长满足指数模型：，其中表示初始时刻的鱼群数量，表示鱼群的增长率.该科研机构在某个监测站从2021年1月到2021年7月每个月测一次数据，数据整理如下：

（1）根据上表与参考数据，建立理相状态下鱼群的数量关于时间的回归方程；

（2）科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率与某个环境指标满足关系：（其中与每年禁渔的总时间（单位：月）有关，.）

（i）在2020年起实施全年禁渔令以后，若希望鱼群数量增加，如何控制环境指标的取值范围？

（ii）在2020年之前，长江每年的禁渔时长为3个月，请说明我国在2020年起实施全年禁渔令的科学性.

参考数据

其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

20. 在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．

（1）求证：AD⊥PC；

（2）求二面角P-AB-C的余弦值；

21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点、是双曲线的两个实轴顶点，点是双曲线上异于、的任意一点，直线交于，直线交于，证明：直线的倾斜角为定值．

22. 已知函数，．

（1）设函数，求的最大值；

（2）证明：．

荆州市荆州区2022-2023学年高三年级（上）数学期末模拟测试

参考答案及解析

一.单项选择题

1.【答案】：C

2.【答案】：C

3.【答案】：C

4.【答案】：B

5.【答案】：C

6.【答案】：B

7.【答案】：B

8.【答案】：B

二. 多选题

9.【答案】：BD

10.【答案】：BC

11.【答案】：ACD

12.【答案】：ABD

二. 填空题

13.【答案】： 4

14.【答案】： 乙

15.【答案】： .

16.【答案】： （，n为奇数）.

四.解答题

17【答案】：

（1）详见解析；   

（2），.

【解析】：

【小问1详解】

选择①，由，可得，

∴，又，

∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列；

选择②，∵，，

∴，又

∴数列{bn}是等差数列.

【小问2详解】

由上可知，即，

∴

，

∴

.

18【答案】：

（1）   

（2）最大值为，此时

【解析】：

【小问1详解】

∵，

由正弦定理知，，

由余弦定理知，.

【小问2详解】

由（1）以及，得是等边三角形．

设，则．

余弦定理可得：，

则．

故四边形面积．

∵，∴，

∴当时，S取得最大值为，

故平面四边形面积的最大值为，此时．

19【答案】：

（1）   

（2）（i）；（ii）答案见解析

【解析】：

【小问1详解】

解：由，两边同时取自然对数得，

设，可得，

因为，

所以，

又由，解得，

即关于的回归方程为.

【小问2详解】

解：（i）当实施禁渔令以后，，要使得鱼群数量增加，

则，解得，

（ii）根据题意知，

设函数，则，

令，可得，

当时，；当时，，

所以当时，取得最大值.

此时说明鱼群数量随时间会逐渐减少，因此我国在2020年起实施全年禁渔令是科学的.

20【答案】：

（1）证明见解析   

（2）

【解析】：

【小问1详解】

证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，

∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，
∴AD⊥PC；

【小问2详解】

在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，
∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，
以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，

∵DH⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为，又，，设平面PAB的一个法向量为，
由，取，则，
∴，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，
∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；

21【答案】：

（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】：

【小问1详解】

解：由题意得，解得，所以，椭圆的标准方程为．

【小问2详解】

解：由（1）知，双曲线方程为．

设，则，则，

因为、，所以．

设直线的方程为，

联立，消去得，

由韦达定理可得，则，

直线的方程为，

联立，消去可得，

由韦达定理可得，则，

所以，直线的倾斜角为.

22【答案】：

（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】：

【小问1详解】

解：因为，所以．

当时，；当时，．

所以在上为增函数，在上为减函数，从而．

【小问2详解】

证明：原不等式等价于，

则，令，则，

所以，在上单调递增．

令，则，，

所以，存在唯一使得，即，

当时，；当时，

此时在上单调递减，在上单调递增，

要证，即要证．

于是原问题转化为证明不等式组，

由，得，代入．

对两边取对数得，代入，得．

因为，当且仅当，时，等号成立，

所以．

【拓展提高】：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.