《新高考数学大二轮复习课件》思想方法 第3讲 分类讨论思想

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思想概述　分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.
方法一　由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
例1　(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是
思路分析　利用等比数列求和公式求S3，S6，S9→讨论q＝1和q≠1两种情况
解析　若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.又S3＋S6＝2S9，①
∴1－q3＋1－q6＝2(1－q9)，即2q6－q3－1＝0，
思路分析　令f(x)＝0→2x－a＝0或－3x－a＝0→方程无解→得出结论
当x≤0时，令2x－a＝0，解得a＝2x∈(0,1]，若方程无解，可得a>1或a≤0，
所以a的取值范围是(1，＋∞)∪{0}.
函数没有零点，即等价于方程无解，对于分段函数，f(x)有多种形式的表达式，所以需按条件分类讨论，最后结果取交集还是并集是易错点.
解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.本题中，等比数列求和公式的两种情形，分段函数中自变量的不同范围均构成分类的标准.
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究.
方法二　由图形位置或形状引起的讨论
解析　若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，又|PF1|>|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，并没有说明哪个点是直角顶点，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键.
圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.
方法三　由参数变化引起的分类讨论
思路分析　f′(x)→f′(x)＝0的根→看f′(x)＝0的根的大小关系以及与0的关系→讨论m
解　由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当m≤0时，mx－1<0，由f′(x)>0，得01.∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞).
当m＝1时，f′(x)≥0，∴函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.
若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.