《新高考数学大二轮复习课件》专题一 第6讲 母题突破3 零点问题

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母题　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2).(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
解　当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
思路分析一❶f(x)有两个零点↓❷f(x)的图象与x轴有两个交点↓❸求导函数f′(x)，确定函数f(x)的性质
❶f(x)有两个零点↓
解　方法一　f′(x)＝ex－a.①当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.故f(x)至多存在一个零点，不符合题意.②当a>0时，由f′(x)＝0，可得x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a).
因为f(－2)＝e－2>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上存在唯一零点.由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0，
故f(x)在(ln a，＋∞)上存在唯一零点.从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点.
当x∈(－1，＋∞)时，φ′(x)<0，所以φ(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，
所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时，φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→0，
在(0，e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增；在(e，＋∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，
又g(1)＝0，当x→＋∞时，g(x)→0，∴曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，
这即是0等价于x2－1－2sin x＝0.设g(x)＝x2－1－2sin x，x∈(0，π)，则g′(x)＝2x－2cs x.
h′(x)＝2＋2sin x>0，
所以当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
综上所述，函数t(x)在定义域内只有一个零点.
(1)三步求解函数零点(方程根)的个数问题第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；第三步：结合图象求解.(2)已知零点求参数的取值范围：①结合图象与单调性，分析函数的极值点；②依据零点确定极值的范围；③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.
1.(2021·安庆模拟)已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R).(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；
解　由f(x)＝ln x－aex＋1，知x∈(0，＋∞).
显然f′(x)在(0，＋∞)上单调递减.
当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，所以x0是f(x)＝ln x－ex＋1的极大值点，且是唯一极值点.
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减.
2.已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)ex，a∈R，若0令g(x)＝1－ax2ex(x>0)，∴g′(x)＝－ax·(x＋2)ex<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝1－ae>0，
∴当x∈(0，x0)时，g(x)>0，∴f′(x)>0，
当x∈(x0，＋∞)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(x0)>f(1)＝0，∵f(1)＝0，∴f(x)在(0，x0)上有唯一零点1，
易证ln x1)，
∴f(x)在(x0，＋∞)上有唯一零点，综上，f(x)有两个零点.
f′(x)＝x2－6x－3.
(2)证明：f(x)只有一个零点.
证明　因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，
当且仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.
综上所述，f(x)只有一个零点.
2.(2021·广州模拟)已知函数f(x)＝xln x－ax2＋x(a∈R).(1)证明：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点；
证明　f′(x)＝ln x－2ax＋2，则f′(1)＝2－2a，即切线斜率为2－2a，又f(1)＝1－a，则切线l的方程为y－(1－a)＝(2－2a)(x－1)，
证明　∵x1，x2是f(x)的零点，x2>2x1，且x1>0，x2>0，
∴g(t)>g(2)＝3ln 2，