2022-2023学年江苏省淮安市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省淮安市八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    如图，≌，若，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

3.    下列各组数中，是勾股数的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.    如图，，，则≌的理由是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.    下列命题：等边对等角；一个三角形中最多有一个角是钝角；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．是真命题的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.    如图，已知中，平分，于点若，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，在中，，分别是边，上的点，若≌≌，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.    请用一个词语来评价你在数学课堂的听课表现______．
10. 如图，一块三角形玻璃板破裂成，，三块，现需要买另一块同样大小的一块三角形玻璃，为了方便，只需带第______块碎片比较好．

11. 已知等腰三角形的一个底角为，则顶角的度数是______．
12. 如图，≌，，，则______

13. 如图，在中，是斜边上的中线，如果，那么______．

14. 已知有一个角为的等腰三角形的腰长为，则这个等腰三角形的周长为______．
15. 如图，在中，是的垂直平分线，，，则长是______．

16. 如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，个点中，可以反弹击中球的是______点．

17. 一个等腰三角形的两边长分别是和，它的周长是______．
18. 如图，点为内部任意一点，点与点关于对称，点与点关于对称，，，则的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    已知：如图，在四边形中，，．
    求证：≌．

20. 本小题分
    如图，点在上，≌，求证：平分．

21. 本小题分
    如图所示的一块土地，测量得，，，，，求这块土地的面积．

22. 本小题分
    如图，在中，，是的中点，，，点、分别为垂足．
    求证：是等腰三角形．
    当的度数为______时，是等边三角形．

23. 本小题分
    如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．
    在图中画出与关于直线成轴对称的；
    直接写出的面积______；
    在图中找出点，使得最小，并求出这个最小值．

24. 本小题分
    如图，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面．
    这个梯子底端离墙有多少米？
    如果梯子的顶端下滑的距离，求梯子的底部在水平方向滑动的距离的长．

25. 本小题分
    如图，在中，，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，若，．
    求的度数；
    求的周长．

26. 本小题分
    阅读探索题：
    
    如图，是的平分线，以为圆心任意长为半径作弧，分别交射线、于、两点，在射线上任取一点点除外，连接、．
    求证：≌．
    请你参考以上方法，解答下列问题：
    如图，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系并证明．
27. 本小题分
    定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．
    
    在中，，，．
    如图，若为的中点，则射线 ______的等腰分割线；填“是”或“不是”
    如图，已知的一条等腰分割线交边于点，且，请求出的长度．
    如图，中，为边上的高，为的中点，过点的直线交于点，作，，垂足为，，，，且若射线为的“等腰分割线”，求的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

2.【答案】 

【解析】解：≌，，，
，，
，
故选：．
根据全等三角形的性质，可以得到和的长，然后根据，代入数据计算即可．
本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，不合题意；
B、，能构成直角三角形，符合题意；
C、三边长，，不都是正整数，不是勾股数，不合题意；
D、，不能构成直角三角形，不合题意．
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
在和中，
，
≌，
故选：．
直角三角形的判定定理有，，，，，根据推出两三角形全等即可．
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形还有．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平角的定义计算出，再根据折叠的性质得，所以，根据平行线的性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
【解答】
解：，
，
长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，
，
．
，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：等边对等角，所以为真命题；
一个三角形中最多有一个角是钝角，所以为真命题；
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以为真命题．
故选：．
根据等腰三角形的性质对进行判断；根据三角形内角和定理对进行判断；根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理对进行判断．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

7.【答案】 

【解析】解：过作于，
平分，于点，
，
的面积，
故选：．
根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：≌≌，
，，
，，
，，

．
故选：．
根据全等三角形的性质得出，，根据邻补角定义求出、的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
本题主要考查对全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义等知识，判断的直角三角形是解此题的关键．
 

9.【答案】认真答案不唯一 

【解析】解：请用一个词语来评价你在数学课堂的听课表现：认真答案不唯一．
故答案为：认真答案不唯一．
根据平时知识的积累和课堂的表现做出解答即可．
此题考查了数学常识，解题的关键是根据平时在课堂中的表现作出必要的回答．
 

10.【答案】 

【解析】解：只需带上即可，因为中，可以测量出三角形的两角以及夹边的大小，三角形的形状和大小是确定的，
故答案为：．
根据全等三角形的判定方法即可判定．
本题主要考查了全等三角形的应用，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的底角为，
顶角的度数为：．
故答案为：．
由已知底角为，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出顶角的度数．
此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的底角相等是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：≌，，
，
，
，
故答案为：．
根据全等三角形的性质定理得出，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，是斜边上的中线，如果，
．
故答案为：．
已知的长，则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得的长．
此题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意知，这个三角形为等边三角形，
周长为，
故答案为：．
根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形，即可得出答案．
本题主要考查了等边三角形的判定，判断出此三角形是等边三角形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

16.【答案】点 

【解析】解：
可以瞄准点击球．
故答案为：点．
要击中点，则需要满足点反弹后经过的直线过点，画出反射路线即可得出答案．
本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．分是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】
解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长，
综上所述，它的周长是．
故答案为．  

18.【答案】 

【解析】解：点和点关于对称，点和点关于对称，
，且．
是直角三角形，
的面积为，
故答案为：．
根据轴对称的性质，可得、的长度等于的长，的度数等于的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．
本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
 

19.【答案】证明：在和中，
，
≌． 

【解析】根据证明全等即可．
此题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是正确解答本题的关键．
 

20.【答案】证明：≌，
，，
，
，
平分． 

【解析】根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据角平分线的定义证明即可．
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接，

，，
，
，
，，
，
是直角三角形，
即，
这块土地的面积


，
答：这块土地的面积是． 

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再分别求出和的面积即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出是直角三角形是解此题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】证明：连接，如图，
，是的中点，
平分，
，，
，
是等腰三角形；
解：，
，
是等腰三角形，
当，为等边三角形，
此时，
即的度数为时，是等边三角形．
故答案为：．
连接，如图，先根据等腰三角形的“三线合一”得到平分，再根据角平分线的性质得到，然后根据等腰三角形的定义得到结论；
由于，则，根据等边三角形的判定方法，当，为等边三角形，从而得到此时．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求．

的面积为，
故答案为：；
如图所示，点即为所求，最小值为．
分别作出点、关于直线的对称点即可得出答案；
根据三角形的面积公式求解即可；
连接，与直线的对称点即为所求，再根据勾股定理求解即可．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
 

24.【答案】由题意知米，米，米，
在直角中，，
，
米，
这个梯子底端离墙有米；
已知米，则米，
在直角中，，
，
米，
米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了． 

【解析】由题意得米，米，根据勾股定理可求出梯子底端离墙有多远．
由题意得此时米，由勾股定理可得出此时的．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
，
平分，平分，
，
；
平分，
，
，
，
，
，
同理可得，，
，
，，
，
的周长． 

【解析】根据三角形的内角和为及角平分线的定义即可得出答案；
根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，，进而可得，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

26.【答案】证明：在和中，
，
≌．
证明如下：
在上截取，
在中，，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
，
，
，
．
 

【解析】根据以为圆心任意长为半径作弧，交射线，为，两点，是的平分线，运用判定≌即可；
先截取，连接，根据判定≌，得出，由，得出，进而得出结论；
本题主要考查了全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导．
 

27.【答案】是 

【解析】解：中，，是的中点，
，
射线是的等腰分割线，
故答案为：是；
设，则，
在中，，
，
解得，
．
如图，过点作于点．

为边上的高，
．
，
不是等腰三角形．
为的“等腰分割线”，
和中至少有一个是等腰三角形．
是等腰三角形，且．

，
于，
．
为的中点，
，
在和中，

≌，
．
在和中，，
，，
，
，
即，
，
的最大值为．
由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
设，由勾股定理得出，解方程可得出答案；
过点作于点由勾股定理求出，证明≌，由全等三角形的性质得出由直角三角形的性质可得出，，则可得出答案．
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．