广东省2023届高三上学期第一次联考数学试题

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2023届广东普通中学第一次联合考试试题数学命题人：深圳市高级中学  审题人：高中数学组本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设集合，集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求解集合，再根据集合的运算性质即可得到结果【详解】故选：C2. 已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分析可知存在唯一的，使得，由已知可得，即，解方程，求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.【详解】因为函数在上是单调函数，则存在唯一的，使得，对于方程，则，可得，所以，函数在上是增函数，由，可得，，因此，.故选：C.3. 已知则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先用作差法及基本不等式判断、，再由幂函数的性质得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、.【详解】解：因为，即，所以，即，又，令，则，所以当时，当时，所以，即，当且仅当时取等号，所以，令，则，所以当时，所以在上单调递增，显然，又，所以，即，所以，即；故选：C4. 在数列中，，，则A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：在数列中，故选A.5. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中①+与1+1是一对相反向量；②-1与-1是一对相反向量；③1+1+1+1与+++是一对相反向量；④-与1-1是一对相反向量．正确结论的个数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点，①+与+不是一对相反向量，错误；②-与-不是一对相反向量，错误；③1+1+1+是一对相反向量,正确；④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误．即正确结论的个数为1个故选：A6. “k<2”是“方程表示双曲线”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义，双曲线方程的定义进行分析即可【详解】∵方程为双曲线，∴，∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故选：A.7. 已知函数的图象在处与直线相切，则函数在上的最大值为（    ）A.  B. 0 C.  D. 1【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、，从而得到函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值；【详解】解：由，得，所以，解得；所以，． 时，．在上单调递减，则．故选：C8. 已知平面向量，，满足，且，则最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据，得到，不妨设，利用坐标法求解.【详解】解：因为，所以，又，所以，如图所示：不妨设，则，所以，因为，所以，即，表示点C在以为圆心，以2为半径的圆上，所以最小值为，故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分）9. 若，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】设，其中，对于A：根据范围求解；对于B：代辅助角公式化简求解；对于CD：换元，令，根据单调性求解；【详解】由题知，，设，其中，对于A： ，所以，即，所以A正确；对于B ：，，所以，所以，所以，即，所以B错误；对于C： 令，则，所以，又，，所以，所以，所以， 其中，令，对称轴为，所以在单调递增，所以当时，有最大值为3，即，所以C正确；对于D： 令，则，所以，又，，所以，所以，所以，令，则，因为，所以，所以在单调递减，所以最小值为，即，所以D正确.故选：ACD.
 10. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（    ）A. 该人第五天走的路程为12里B. 该人第三天走的路程为42里C. 该人前三天共走的路程为330里D. 该人最后三天共走的路程为42里【答案】AD【解析】【分析】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，由此可求出首项，然后逐个分析判断【详解】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，所以，解得，所以，对于A，因为，所以A正确，对于B，因为，所以B错误，对于C，，所以C错误，对于D，该人最后三天共走路程为，所以D正确，故选：AD11. 设与是两个不共线向量，关于向量，，，则下列结论中正确的是（    ）A. 当时，向量，不可能共线B. 当时，向量，可能出现共线情况C. 若，且为单位向量，则当时，向量，可能出现垂直情况D. 当时，向量与平行【答案】BD【解析】【分析】根据向量共线或垂直可构造方程确定的值，由此可确定各选项的正误.【详解】对于A，假设与共线，则，解得：或，则当时，向量，可能共线，此时，A错误；对于B，假设与共线，则，解得：，则当时，向量，可能共线，此时，B正确；对于C， ，向量，不可能垂直，C错误；对于D，当时，，又，，则向量与平行，D正确.故选：BD.12. 已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值可以是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】分析可知，分、解方程，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，因为方程有两个不相等的实根，则方程在和时各有一个实根，则，当时，由得，可得；当时，由可得，可得.由题意可得，解得，故选：BC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 的展开式中，的系数为，则___________．【答案】##【解析】【分析】写出二项式展开式的第项，由的系数为列出方程，解出值即可．【详解】的展开式中的第项为：，令，则，解得，即；故答案为：14. 在中，，，，则的长度为__________．【答案】【解析】【分析】由三角形内角和可求得，利用正弦定理可求得结果.【详解】，由正弦定理可得：.故答案为：.15. 一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然常数，则________.【答案】【解析】【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线一定过该点，即可求出参数.【详解】经过变换后，得到，根据题意，故，又，故，，故，于是回归方程为一定经过，故，解得，即，于是.故答案为：.16. 已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为_____．【答案】【解析】【详解】试题分析：设正六棱柱的底面边长为，高为，则，正六棱柱的体积，当且仅当时，等号成立，此时，可知正六棱柱的外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，则半径为，所以外接球的表面积为．考点：六棱柱的性质；外接球的表面积．【方法点晴】本题主要考查了六棱柱的结构特征、棱柱外接球的的表面积的计算、基本不等式求最值等知识点的应用，其中解答中，利用正六棱柱的结构特征，外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，得出外接球的半径是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知向量．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在△ ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若，求 ()的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由，可得，化简可得，再代值计算即可，（2）由题意利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简可得，再利用正弦定理可求得，从而可得，由，得，再利用正弦函数的性质可求得其范围【小问1详解】因为，，所以，所以，所以【小问2详解】因为，所以，所以，在△ ABC中，，所以由正弦定理得，，得，因为，所以角为锐角，所以，所以 ，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以 ()的取值范围为18. 如图，在四棱锥中，，，，E是棱PA的中点，且平面.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，由面面平行判定定理证得面面，由面面平行的性质定理证得，再有题目证得面，则面.（2）以点为坐标原点，建立如图所示得空间直角坐标，分别求出平面和平面的法向量，由面面角的公式带入即可求出答案.【小问1详解】取中点，连接，因为E是棱PA的中点，所以，面，面，∴面，∵面，.∴面面，面面，面面，所以，，，故，.∴面，，∴面.【小问2详解】因为面，，所以，建立如图所示得空间直角坐标系，，，，，，，，设平面法向量为，，所以，则，设平面法向量为，，所以 ，则设平面和平面所成角为，所以.二面角的余弦值为.19. 某寻宝游戏的棋盘路线图上，依次标有起点､第1站､第2站､…､第20站，选手通过抛掷均匀硬币，从起点（不同于第1站）依序向第1站､第2站､…､第20站前进：若掷出正面，棋子从所在站点前进到下1站停留；若掷出反面，棋子则从所在站点连续前进2站停留，直到到达第19站或第20站，游戏结束，设游戏过程中棋子停留在第站的概率为.（1）从游戏开始计算，若抛掷均匀硬币3次后棋子停留在第X站，求X的分布列与数学期望；（2）甲､乙两人约定：由裁判员通过不断抛掷硬币，让棋子从起点出发，并按上述规则依序前进，直到游戏结束.若棋子最终停留性第19站，则甲选手获胜；若棋子最终停留在第20站，则乙选手获胜.试分析这个约定对甲､乙两人是否公平.【答案】（1）分布列见解析，；    （2）不公平【解析】【分析】（1）求出棋子所走站数之和X得可能取值及其概率，从而可得X得概率分布列和数学期望；（2）由题可得递推关系，比较即可得解.【小问1详解】由条件可知可能得取值为3，4，5，6，，，，，所以X的分布列为X3456pX的数学期望为：【小问2详解】由题知：当时，，所以，因为，所以，所以甲获胜的概率较大，游戏不公平.20. 已知等差数列的前n项和为，.（1）求；（2）若集合，将中所有元素按从小到大顺序排列，构成数列.设数列的前n项和为，求.【答案】（1）    （2）846【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质可解得，进而可得，，根据等差数列得通项公式即得；（2）先弄清楚以的前33项中，各有多少项A,B中的元素，再分组求和即可.【小问1详解】等差数列中，，∴，，∴.【小问2详解】因为，，A，B中没有共同的元素，所以的前33项中，有5项B中的元素，28项A中的元素，故.21. 如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）    （2）存在，定点【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义及其离心率即可求出椭圆的方程；（2）直线与椭圆联立即可求出点的坐标,将与直线联立即可求出点的坐标，假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M，即可知，对等式变形可得，可得.【小问1详解】由椭圆的定义可知△，的周长为，即，∵，∴，又∵，∴，故椭圆C的方程为：，【小问2详解】将联立，消元可得，∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，∴，∴，此时，，∴由得，假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，设，则，，，整理得，对任意实数m，k恒成立，则，故在x轴上存在定点，使得以为直径圆恒过点.22. 已知函数，．（1）若，判断函数的单调性；（2）若函数的导函数有两个零点，证明：．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，可得到函数y的解析式，对函数进行求导，由导函数的正负可得关于x的取值范围，故可得y的单调区间；（2）对函数进行求导，由有两个零点，可得到函数的判别式及a的取值范围，由，可得到的取值范围，对原题中不等式进行转换，再利用换元得到，对进行求导判断单调性，则可得的最大值，故可证得不等式成立。【小问1详解】若，则，所以，由，得；由，得．所以在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】因为函数，所以，所以．若函数有两个零点，则方程的判别式，，所以．又，所以，即，，欲证，只需证，即证．设，其中，由，得．因为，所以，由得；由得．所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，从而成立．