2023届河南省名校联考高三一轮复习诊断考试（一）数学（理）试题含解析

2023届河南省名校联考高三一轮复习诊断考试（一）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】求出集合，由图可知，阴影部分表示集合中除去与集合中相同的元素，从而可得出答案.

【详解】解：，

由图可知，阴影部分表示集合中除去与集合中相同的元素，

所以图中阴影部分所表示的集合为.

故选：B.

2．命题“”的否定是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：命题“”为全称量词命题，

其否定为：；

故选：C

3．《墨经・经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射.下者之人也高，高者之之人也下.足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这对小孔成像有了第一次的描述.如图为一次小孔成像实验，已知物距：像距=6：1，，，则像高为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由成像原理结合余弦定理求解被成像物高，则可求解像的高.

【详解】解：由题可知，

所以，又

由余弦定理可得：

所以，则小孔成像的被成像物高为9

又物距：像距=6：1，故原像高为.

故选：B.

4．设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分别解出两个不等式，若令的解集为，的解集为，则由是的必要不充分条件，可得，从而可求出实数的取值范围.

【详解】由，得，解得，令，

由，得，令，

因为是的必要不充分条件，所以，

所以，解得，

即实数的取值范围是，

故选：C

5．函数的部分图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数为偶函数，排除选项D，再利用排除选项B，再分析即得解.

【详解】解：由题得函数的定义域为，定义域关于原点对称.

设，

所以，

所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项D.

又，所以排除选项B.

当时，，所以此时.

故选：A

6．二叉树（Binary tree）是计算机中数据结构的一种，是树形结构的一个重要类型，许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，形式如图，其中节点是包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息，树中所有节点的层次最大值称为树的高度，经实验验证，节点数与树的高度呈指数关系，二叉树的高度与节点数的关系为，若经测算，一个二叉树的节点大约有800个，则二叉树的高度约为（，结果保留整数）（    ）

A．14 B．16 C．18 D．20

【答案】D

【分析】先对关系式两边取对数，再将，代入求解即可.

【详解】两边取对数得：，

将代入上式得：.

故选：D

7．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据复合函数单调性的判断方法可知在上单调递增且恒大于；分别在、、和的情况下去掉绝对值符号，结合二次函数单调性可得结果.

【详解】令，

在上单调递增，在上单调递增，

在上单调递增且恒大于；

①当时，若，；若，；

当时，，在上单调递增且，满足题意；

②当时，，在上单调递增且，满足题意；

③当时，若，；若，；

当时，，则当时，单调递减，不合题意；

当时，若，则，则其对称轴为，

若在上单调递增且，则，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：B.

8．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数利用单调性可判断AB；构造函数利用单调性可判断CD

【详解】对于AB：令，则，

由得，由得，

所以在递减，在递增，

当 时，，即，也即，则A错误；

当 时，，即，也即，则B错误；

对于CD：令，则在上恒成立，

所以在上递减，

又，

所以，即，也即，故C错误，D正确；

故选：D

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，代入利用两角和的正余弦公式展开，与等式的左边合并整理，逆用两角和与差的正余弦公式化简整理，得到，两边同除整理即可得到答案.

【详解】因为,

所以

又因为，

所以，

对等式两边去括号，并移项整理得，

，

所以，

所以，

即，

所以.

故选：A.

10．已知中，，过点的直线分别交射线于不同的两点，则与 的面积之比的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】利用共线定理可得，设，，且，可得，用面积公式得，再用基本不等式求得最值即可.

【详解】解：如图，连接

在，所以

则

过点的直线分别交射线于不同的两点，

则设，，且

所以

所以

则

所以

因为，

所以

即，所以 ，当且仅当，即时，等号成立.

则与 的面积之比的最小值为.

故选：C.

11．已知的内角所对的边分别为，记的面积为.若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角形的面积公式可得，由余弦定理化简得，结合二倍角公式以及辅助角公式即可求得，从而得到

【详解】由，得，

由余弦定理得

即，（其中）

因为，所以当时，，所以

所以

故选:C.

12．若，，， 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由对数的运算法则把转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而的真数的大小关系，最后利用的单调性判断的大小.

【详解】由对数的运算法则得，.

令函数，则，即函数在是单调递减.

令函数，则，

令函数，则，

在上单调递减，且，

，     所以在上单调递增，在单调递减.

又     在恒成立

，即在上单调递增    ，则    当时，.

又在上单调递增

故选：C

【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：

在构造函数时需要视具体情况而定

在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.

二、填空题

13．已知向量，，. 若， 则_____.

【答案】

【分析】根据可得，代入进而可计算.

【详解】由，得,

又向量，且，

所以，解得，

所以，可得.

故答案为：.

14．设全集，集合，.若集合中有且仅有一个整数，则实数的最小值为_____.

【答案】

【分析】解不等式可求得集合，由补集和交集定义可确定唯一的整数元素，由此可得范围，进而得到最小值.

【详解】由得：，，；

中有且仅有一个整数，，，

，则实数的最小值为.

故答案为：.

15．已知函数的最小正周期为，的一个极值点为.若 ，则的最大值是_____.

【答案】

【分析】根据函数的一个极值点为，可得，再由，可得，从而求得结果.

【详解】因为函数，则

且的一个极值点为，则

即

得

又因为，且

则

所以当时，

故答案为:

16．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是_____.

①；

②；

③；

④.

【答案】①②④

【分析】设，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断②的正误；分析可知，结合基本不等式可判断①的正误；构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可判断③④的正误.

【详解】设，其中，则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，函数的极大值为，且当时，，

作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，②对；

因为，则，由图可知，则，

所以，，①对；

令，其中，由图可知，

，

当时，，则，此时函数单调递增，

所以，，即，

因为，，且函数在上单调递减，

所以，，则，故，③错④对.

故答案为：①②④.

【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：

（1）证明（或）：

①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；

②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；

③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；

（2）证明（或）（、都为正数）：

①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；

②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；

③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；

（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到；

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

三、解答题

17．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，点分别是与的图象上连续相邻的、自左向右的三个交点（点在轴的下方），且的面积为.

(1)求实数的值；

(2)若点为延长线上一点，且，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，根据诱导公式以及二倍角公式，化简三角函数，结合函数图象变换以及函数交点求解，可设点的坐标，进而根据三角形面积公式，可得答案；

（2）由等腰三角形的性质，求得三角形的内角大小，进而得出外角，结合余弦定理，可得答案.

【详解】(1)因为，

所以.

令，整理得，

①，则，显然不成立；

②，则，

故，可设，，，

则，中边上的高，

所以，所以.

(2)由（1）可知，为等腰三角形，，，

因为，所以，所以.

根据余弦定理， 可得.

18．在中，内角的对边分别为，设的面积为，满足.

(1)求角；

(2)若，求周长的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角形的面积公式，由结合余弦定理，整理可得，求得角；

（2）由已知条件，利用正弦定理角化边可得，进一步根据余弦定理可得，利用基本不等式可得，得到的最大值，进而得到三角形周长的最大值.

【详解】(1)因为， 所以.

因为， 所以， 所以.

由余弦定理， 得， 整理， 得.

由余弦定理， 得，

因为， 所以；

(2)因为， 所以根据正弦定理， 得， 所以.

在中， 由余弦定理， 得，整理得，

因为， 所以，

整理可得即，当且仅当时等号成立，

所以取得最大值是，当时取到,

所以周长的最大值为 .

19．已知函数为二次函数，点分别为函数图像上的三点，点为图像上的任一点.

(1)求的最小值；

(2)若是以为直径的圆的一条直径，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由待定系数法求得函数的解析式，然后将利用坐标运算表示出来，结合二次函数的最值即可求得结果.

（2）利用向量的线性表示将用表示出来，再结合坐标运算，即可求得结果.

【详解】(1)根据题意， 设， 代入三点的坐标可得

，

设， 则.

所以.

因为， 所以在上单调递增.

所以， 当时，等号成立. 故的最小值为.

(2)设的中点为. 因为为圆的直径， 所以.

利用向量的线性表示， 可得，

所以

因为，当时等号成立

所以

所以的取值范围为

20．如图，在平面四边形中，，，.

(1)若，，求对角线的长；

(2)当，时，求平面四边形的面积的最大值及此时的值.

【答案】(1)；

(2)最大值为，此时.

【分析】（1）先求出，再利用余弦定理求解；

（2）利用正弦定理求出，再求出，即得解.

【详解】(1)解：因为

所以.

又因为， 所以.

在中，由余弦定理得，

故， 即对角线的长为.

(2)解：因为， 所以，连接.

又， 所以为的平分线，

所以，

在中， 由正弦定理得.

所以四边形的面积

，

因为， 所以.

所以当， 即时，取到最大值，最大值为.

21．已知函数，.

(1)若方程在区间上恰有两个不同的实根，求实数的最大值；

(2)当时，判断函数与的图象是否存在公切线? 若存在，请判断有几条公切线，并写出其中一条公切线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，有2条公切线，其中一条公切线的方程为.

【分析】（1）构造函数，求导，得到函数只有一个极值点，且为极小值点，从而根据函数有2个零点，得到不等式组，求出实数的最大值；

（2）设出切点，，求出两曲线的切线方程，根据与的图象存在公切线，列出方程组，求出，构造函数，研究其单调性，极值和最值情况，确定有两个解，确定与的图象有2条公切线，观察到是其中一个解，求出此时的公切线即可.

【详解】(1)令， 则在上有两个不同的零点.

因为，

所以易知只有一个极值点.

要使得在上有两个不同的零点， 则， 即 .

当时，单调递减; 当时，单调递增，

所以在时取得极小值， 极小值为.

所以,解得，

所以实数的最大值为；

(2)因为函数， 所以.

设切线与函数的图象相切的切点坐标为，则，

所以切线方程为， 即

当时， ， 所以.

设切线与函数的图象相切的切点坐标为， 则，

所以切线方程为， 即.

若函数与的图象存在公切线，

则，所以

设.

令，得. 当时，; 当时，，

所以在上单调递增， 在上单调递减， 最大值为，

因为，

所以方程有2个不同的解，

所以与的图象有2条公切线.

可以观察为方程的一个解，

此时，所以其中一条公切线的方程为.

【点睛】两函数有公切线的问题，转化为函数解得个数问题，构造函数，利用导函数研究其单调性，极值和最值情况，从而求出答案.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)设，若函数至少有两个不同的零点，求证：.

【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数导数，分解因式解不等式即可得解；

（2）由题意可转化为至少有两个相异实数根，设，利用导数研究函数的增减性及极值，由图象交点个数建立不等式求解即可.

【详解】(1)当时，，

所以.

由， 得或; 由， 得.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)， 函数至少有两个不同的零点等价于方程 ， 即至少有两个相异实数根.

设， 则等价于直线与函数的图象至少有两个不同的交点. .

令， 则.

由， 得; 由， 得.

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以函数的最小值为.

又所以当时，，又，

因此必存在唯一，使得，

当变化时，的变化情况如下表

当时，有极大值， 当时，有极小值.

又， 且时，，

所以当直线与函数的图象至少有两个交点时， 必须满足， 即，所以.

【点睛】关键点点睛：函数零点个数问题，可转化为方程的根的个数，也可转化为两个函数图象交点的个数，故本题关键点在于利用导数研究的增减性、极值，据此可知应满足的条件得出问题的解.