2023届天津市耀华中学高三上学期第一次大统练数学试题含解析

2023届天津市耀华中学高三上学期第一次大统练数学试题

一、单选题

1．已知，则“”是“对恒成立”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先求出“对恒成立”的的范围，结合范围大小进行判断.

【详解】因为对恒成立，所以或，即；

由于“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】本题主要考查四种条件的判定，把提供的语句进行化简是求解的关键，二次型恒成立问题一般结合图象进行求解.

2．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用对数函数的性质，求出集合中不等式的解集，确定出集合，利用指数函数的性质确定出集合，由全集，求出的补集，找出与补集的公共部分，即可确定出所求的集合

【详解】易知，，则，

故选：.

【点睛】本题属于以考查不等式的解法为平台，考查了交､并､补集的混合运算，是高考中常考的基本题型.

3．设函数，则不等式的解集是（    ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】A

【分析】利用解析式先算出，然后分和两种情况讨论，算出对应的范围，即可得到答案

【详解】解：由函数的解析式可得，

当时，不等式即，即，解得，此时；

当时，不等式即，解得，此时；

综上可得，的取值范围是或，

故选：.

4．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可.

【详解】解：函数的定义域为，，

所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，

因为当时，，

所以当时，，时，，故排除D，

当趋近于时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值趋近于，故排除A选项，

故选：C

5．化简的值为（         ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式

，

故选：B

6．已知函数，则的增区间为（   ）

A．（–∞，–1） B．（–3，–1）

C．[–1，+∞） D．[–1，1）

【答案】B

【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.

【详解】由，得，

当时，函数单调递增，所以函数单调递增；

当时，函数单调递减，所以所以函数单调递减，

故选：B.

7．三个数的大小顺序是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由题意得，，故选D.

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造和，利用导数判断其单调性，利用作商法判断大小.

【详解】设

则，

，，

在上单调递增，

，即，，

，，

，

又，所以.

设，

则，

所以在上单调递增，

所以，

所以，，

所以，，

，

又，故，

综上：，

故选：D

9．设函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据在上的单调递减，所以分段函数的两段都是各自定义域内的减函数，即，且，即可求解.

【详解】因为在上的单调递减，

所以 ，即，

所以实数的取值范围为，

故选：B

【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于中档题.

10．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】题目考察分段函数单调递减的问题，要保证每一段都是单调递减的，且在衔接处也单调递减即可

【详解】由可得：函数在定义域内为减函数，当时，为减函数，则；当时，根据指数函数的性质可知，为减函数，若在R上为减函数，还需要，解得：，综上可得，的取值范围为

故选：D

11．奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（  ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】先利用奇函数化简不等式得到，再结合题意画出的图像，通过观察图像即能得到答案

【详解】解：因为是奇函数，所以，

将代入即，所以，即与同号，

又∵奇函数在上为增函数，且，∴可画图如下，

由图可知：或，

故选：C

12．关于函数，有下列命题：

①的最小正周期为；    ②函数的图象关于对称；

③在区间上单调递增；

④将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合．

其中正确的命题是（    ）

A．①②③ B．②④ C．①③ D．①②④

【答案】A

【分析】先化简函数，然后结合所给命题进行逐个验证.

【详解】

所以的最小正周期为，①正确；

当时，，所以②正确；

当时，，此时为增函数，所以③正确；

将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数解析式为

，所以④不正确；

故选：A.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象及性质，把函数化为最简形式是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.

13．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】,    且 ，所以函数为单调递减的奇函数，因此

即 ，选A.

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内

14．已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求导确定在上单调递减，由得到，

构造函数得在上单调递减，即在上恒成立，

参变分离后求出a的取值范围即可.

【详解】由题意知，定义域为，，又，故，在上单调递减，

不妨设，对，恒有，即，，

令，由上可知在上单调递减，则在上恒成立，

从而恒成立，设，，

当时，单减；当时，单增；

，故.

故选：D.

【点睛】本题关键点在于由的单调性，将转化为，从而得到在上单调递减，

即在上恒成立，参变分离后求出a的取值范围即可.

15．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】作出函数与函数的图象，讨论直线与曲线、相切以及过点的情况，求出对应的实数的值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.

【详解】作与图象如下：

由整理得，

当直线与圆相切时，则，解得，对应图中分界线①；

再考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，

对函数求导得，则所求切线的斜率为，

所求切线的方程为，直线过定点，

将点的坐标代入切线方程得，解得，

所以，切点坐标为，，对应图中分界线③；

当直线过点时，则有，解得，对应图中分界线②.

由于函数有三个零点，由图象可知，实数的取值为.

故选：A.

【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，解题时要考查直线与曲线相切，考查数形结合思想的应用，属于难题.

二、填空题

16．若复数满足：，则______.

【答案】

【分析】利用复数的除法求出后可得其模.

【详解】因为，故，故，填.

【点睛】本题考查复数的除法及复数的模，属于容易题.

17．在的展开式中，项的系数为________（用数字作答）．

【答案】

【分析】根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解.

【详解】因为的展开式的通项为，

令，则，

所以项的系数为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.

18．已知，，且，则最小值为__________．

【答案】

【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.

【详解】，

结合可知原式，

且

，

当且仅当时等号成立.

即最小值为.

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

19．已知函数的图象关于对称，且函数在上单调递减，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得在时恒成立，故解得m的取值范围．

【详解】函数的图象关于对称，

函数的图象关于对称，即函数为奇函数，

不等式变为:

，

即，

，

又函数在上单调递减，

在R上单调递减，

则在时恒成立，

在上递增，

，

故．

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于难题.

20．已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若直线与函数的图象恰有7个不同的公共点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】先求得，再分别计算，，，上的解析式，分别求解与函数的交点个数即可.

【详解】当时，，

，

则当时，，

即，

若，则，

则，

若，则，

则，

若，则，

则，

若，则，

则，

是定义在上的奇函数，

若直线与函数的图象恰有7个不同的公共点，

则等价为当时，若直线与函数的图象恰有3个不同的公共点，

作出函数在时的图象如图：

则当时，，即，

当时，，即，

当直线经过点时，此时当时，两个函数有3个交点，此时，

当直线经过点时，此时当时，两个函数有4个交点，此时，

则若两个函数在时，有3个交点，

则.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

21．已知函数 ，若函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】数形结合，分析与的交点个数为3时实数的取值范围即可.

【详解】由题意，函数有三个零点即有三个解，即与的交点个数为3.

作出与的图象，易得当时不成立，故.

当时与必有一个交点，则当有2个交点.

当时，因为恒过定点，此时与或有2个交点.

①当与有2个交点时，考虑临界条件，当与相切时，.

设切点，则，解得，此时切点，；

又最高点为，故此时.

故.

②当与有2个交点时，考虑临界条件，当与相切时，，即，此时，即，解得，由图可得，故.

此时

综上

故答案为：.

22．已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围为_______________________.

【答案】

【解析】讨论的取值，分类利用函数单调性以及最值之间的关系列不等式求解．

【详解】（2），

当时，，

若，则当时为增函数，此时无最小值，不合题意；

若，当时，，当时，，此时无最小值，不合题意；

若，当时，为减函数，此时（2），

当时，为增函数，且此时，要使有最小值，

则，即，，则；

若，当时为减函数，此时（2），

当时，为减函数，且，要使有最小值，

则，即，则．

综上所述，或，

实数的取值范围是，，．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：分类讨论思想的常见类型 

（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 

（2）问题中的条件是分类给出的； 

（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 

（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

三、双空题

23．设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为______.

【答案】     6    

【解析】先作出函数的大致图象，结合图形可知：

（1）当时，与函数有三个不同的交点，由对称性可知这三个根的和；

（2）由图知，若方程有四个不相等的实根，则这四个根关于直线对称，不妨令，则有，，，故有，，换元，求其范围即可.

【详解】作出图象如下：可知当时，与函数有三个不同的交点，，且；

∵时，，

∴在与上的图象关于对称，

不妨令，

可得，，∴.

∴，，，

∴

，，

令，

则原式化为：，，

其对称轴，开口向上，故在递增，

∴，

∴的取值范围是.

故答案为：（1）6；（2）.

【点睛】关键点睛：本题的关键是能够通过数形结合，将转化为，，再应用换元法求解二次函数的值域.

四、解答题

24．中，内角，，所对的边分别为，已知的面积为，，．

（1）求和的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；；（2）．

【分析】（1）先利用平方关系求出，结合面积公式和已知可得，然后利用余弦定理可求，利用正弦定理可得的值；

（2）先求解，利用倍角公式可得，，结合和角公式可求的值．

【详解】（1）在中，由，可得，

的面积为，可得：，可得．

又，解得：，或，（舍去），

，，

∴，

∴，

又，解得；

所以；；

（2）由（1）知：，所以，

所以，

，

，

．

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理求解三角形及三角求值问题，倍角公式及和角公式的熟练应用是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.