2022届湖北省部分重点中学9+N新高考联盟高三上学期新起点联考数学试题含解析

2022届湖北新高考9+N联盟湖北省部分重点中学高三新起点联考

数学试题

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】B

【分析】化简集合A，利用交集的运算律求.

【详解】∵不等式的解集为，

∴   ，又，

∴  

故选：B.

2. 若复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.

【详解】因为，则，因此，.

故选：B.

3. 已知，则向量的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【分析】利用向量模的计算公式，化简求得，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由题意，向量，

可得，解得，

又由，可得.

故选：C.

4. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【分析】分别根据指数函数、对数函数与正弦函数的性质，求得的取值范围，即可求解.

【详解】由指数函数的图象与性质，可得，

由对数函数的图象与性质，可得，

由正弦的性质，可得，

所以.

故选：B.

5. 已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则（    ）

A. 关于点对称

B. 关于直线对称

C. 为奇函数

D. 为偶函数

【答案】D

【分析】根据图象求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，可得，

根据图形走势，可得，解得，

令，可得，所以，

由，所以A不正确；

由，可得不是函数的对称轴，所以B不正确；

由，此时函数为非奇非偶函数，所以C不正确；

由为偶函数，所以D正确.

故选：D .

6. 已知：“，”，：“，且的图象不过第一象限”，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数的图象胶充分必要条件的定义判断．

【详解】，时，的图象不过第一象限，，时， 的图象也不过第一象限．

因此是的充分不必要条件．

故选：A．

7. 已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】设根据，且，结合双曲线的定义求得 ，再 在中，利用勾股定理求解.

【详解】设因为，且，

所以，

由双曲线的定义得：，，

因为，

所以，

解得，

所以在中，，

即，

解得，

故选：D

8. 定义空间直角坐标系中的任意点的“数”为：在点的坐标中不同数字的个数，如：，若点的坐标，则所有这些点的“数”的平均值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【分析】根据题意，分为三类：（1）恰有3个相同数字；（2）恰有2个相同数字；（3）恰有0个相同数字，结合平均数的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，点的坐标中不同数字的个数，可分为三类：

（1）恰有3个相同数字的排列为种，则共有个；

（2）恰有2个相同数字的排列为种，则共有个；

（3）恰有0个相同数字的排列为种，则共有个；

所以平均值为

故选：A.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知，则(    )

A. 的最大值为 B. 的最小值为

C.  D. 的最小值为

【答案】BC

【分析】由不等式性质判断C，由二次函数性质判断D，由基本不等式结合指数函数，对数函数性质判断A，B.

【详解】解：，则，当且仅当时，取等号，故A错误；

，当且仅当时，取等号，故B正确；

，故C正确；

，则当时，有最小值为，故D错误；

故选：BC.

10. 已知为R上的偶函数，且是奇函数，则（    ）

A. 关于点对称 B. 关于直线对称

C. 的周期为 D. 的周期为

【答案】AD

【分析】由偶函数的性质及奇函数的性质，分析函数的周期性和对称性，由此判断各选项.

【详解】∵  为偶函数

∴  图象关于轴对称，

又∵  是奇函数  ∴ 

∴   ，

∴ 

∴ 函数的图象关于轴对称，为周期函数且周期为，

故选AD.

11. 已知，，且，则（    ）

A.

B.

C.

D. 若，则

【答案】ACD

【分析】根据得出，即可求出的值，从而判断出选项A正确；

由同角三角函数关系式及正弦的二倍角公式可求，从而判断出选项B错误；

根据余弦的二倍角公式可求的值，从而判断出选项C正确；

由同角三角函数关系式及正切的和差公式可求的值，从而判断出选项D正确.

【详解】因为，所以，

即，解得或（舍），故选项A正确；

由得，所以 ，故选项B不正确；，故选项C正确；

若，则，所以，

所以，故选项D正确.

故选：ACD.

12. 如图，菱形边长为2，，E为边AB的中点.将沿DE折起，使A到，且平面平面，连接，.则下列结论中正确的是（    ）

A.  B. 四面体的外接球表面积为

C. BC与所成角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为

【答案】BCD

【分析】将沿折起，使到，且平面平面，连接，，则，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

【详解】解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，

，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

对于，，0，，，，，，0，， 2，，，

，，，，，，

，与不垂直，故错误；

对于，取中点，连接，

，，

过作平面，四面体的外接球球心在直线上，

设，由，得，解得，，

四面体的外接球表面积为：，故正确；

对于，，，，，，，

设与所成角的为，

则，

与所成角的余弦值为，故正确；

对于，，0，，，，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

直线与平面所成角的正弦值为：

，故正确．

故选：．

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度（‰）对亩产量（吨）的影响，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如下表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为，则___________

【答案】

【分析】根据平均数的计算公式求得样本中点，把样本中心代入回归方程，即可求解.

【详解】由表格中的数据，可得，，

把点代入回归方程，可得，解得.

故答案：.

14. 直线与圆相交于，若，则___________.

【答案】或

【分析】利用三角形的面积公式，求得，得到或，分类讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，即可求解.

【详解】由圆，可得圆心为，半径为，

根据三角形的面积公式，可得，

所以，可得或，

当，可得圆心到直线的距离为，即，解得；

当，可得圆心到直线的距离为，即，解得，

综上可得或.

故答案为：或.

15. 已知等比数列前项和分别记为，且，则___________.

【答案】

【分析】分别令，，列方程求出以及的公比，由等比数列的通项公式即可求解.

【详解】令可得，设，；

令可得，解得①；

令可得，即②；

由①②可得：，

所以，，经检验，，适合题意.

所以，

故答案：.

16. 点在函数的图象上，若满足到直线的距离为的点只有个，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】设与平行的直线与函数相切于，利用导数的几何意义求得切点，利用点到直线的距离公式计算即可.

【详解】依题意设在函数点处切线斜率为，

，即，解得，则对应的切点为

要满足题意，只需满足：到直线的距离小于

即有，解得.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 数列的前项和为，，，等差数列的公差大于0.已知，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，利用数列通项公式和前n项和的关系，得到，再利用等比数列的定义求解；

（2）根据和成等比数列，求得，再由，再利用裂项相消法求解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

即，

当时，，所以，

所以是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以.

（2）设公差为，由，得，

因为成等比数列，

所以，即，

解得或（舍去），

所以，

所以.

所以，

因为，

所以，

.

18. 从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.

（1）求，，的值；

（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得.如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求.

附：，，.

【答案】（1），，；（2）；（3）.

【分析】（1）根据频数的总和为1000和频率的和为1可求，根据直方图的纵轴上数据的计算方法可求.

（2）利用组中值可求样本平均数.

（3）设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数，依题意知，利用公式可求的期望，从而可求.

【详解】解：（1）结合频率分布表可以得到，，

（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数为：

.

（3）因为，由（2）知，

从而，

设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数.

依题意知，所以，

所以

答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为.

19. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足，若

（1）求角B；

（2）若周长为6，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据余弦定理和题设条件，化简得到，由正弦定理和三角形的内角和定理、两角和的正弦公式化简得到，求得，即可求解；

（2）由（1）得到是直角三角形，根据题设求得边长，结合面积公式，即可求解.

【详解】（1）由余弦定理，可得，

因为，可得，

因为，所以，

又由正弦定理得，

又因为，

代入整理得，即，

所以或（舍去），所以，

因，所以.

（2）由（1）知，所以是直角三角形

令，可得，则，解得，

所以.

20. 如图，在三棱锥与三棱锥拼接而成的五面体中，平面，平面平面，是边长为的正三角形，是直角三角形，且

（1）求证：平面；

（2）若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取点为中点，得到，由平面平面，证得平面，又由平面，得到，进而证得平面；

（2）过点作的垂线，连接，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，以及向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）设点为中点，是正三角形，可得，

因为平面平面，平面平面，所以平面，

又因为平面，所以，

又由平面，平面，所以平面.

（2）连接，由，

可得，解得

又由平面平面，过点作的垂线，连接，

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为是边长为的正三角形，是直角三角形，且，

可得，

所以，

设平面BEF的法向量为，则，即，

令，可得，即，

又由，

若与平面所成角为，则,

即直线与平面所成角的正弦值为.

21. 已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分.

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）或.

【分析】（1）将点带入椭圆与抛物线方程，再由直线将的面积分为9：7两部分求出，由即可求解.

（2）设，，将直线与椭圆方程联立消，可得，再由重心坐标公式代入圆可得，整理可得，代入，设，利用基本不等式即可求解.

【详解】解：（1）为椭圆与抛物线的交点，；

；

又直线将的面积分为9：7两部分；

，解之可得：

抛物线的方程为：；椭圆的方程为：

（2）设，，由得

由，得…（※），且

由重心恰好在圆上，得

即，即

∴

化简得，代入（※）得，

又设，，

当且仅当时，取等号

∴，则实数的取值范围为或

22. 已知（）

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先求解出，然后对进行分类讨论：、，分析每一种情况下的取值正负，由此分析出的单调性；

（2）将不等式变形为，构造函数并分析出其最大值，由此得到，再将化简为关于的式子并通过构造函数利用导数求解出最小值为完成证明.

【详解】（1）因为，

当时，，所以在上单调递增，

当时，若时，，单调递增；

若时，，单调递减，

综上：时，上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）因为在上恒成立，所以在上恒成立，

设，所以，

当时，，所以在上单调递增，此时显然不恒成立；

当时，若时，，单调递增；若时，，单调递减，

所以，

所以，

又因为，

令，，所以，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以，

所以的最小值为.

【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于利用分离参数的方法将表示关于的式子，然后在求解的最小值时，可以通过统一变量为利用构造函数的方法求解出其最小值从而完成证明.