2023届贵州省贵阳第一中学高三上学期高考适应性月考卷（一）数学（理）试题含解析

2023届贵州省贵阳第一中学高三上学期高考适应性月考卷（一）数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的意义，结合交运算即可判断和选择.

【详解】因为，，，

所以，则.

故选：.

2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据所给定义求出，从而求出，最后根据复数的几何意义判断即可.

【详解】解：因为，又“等部复数”的实部和虚部相等，复

数为“等部复数”，所以，所以，

所以，

所以，则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限；

故选：D.

3．在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：

192  907  966  925  271  932  812  458  569  683

257  393  127  556  488  730  113  537  989  431

据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

【答案】B

【分析】从20组数据中找到表示两支豚鼠被感染的组数，利用古典概型求概率公式进行求解.

【详解】20组随机数中，表示有两支被感染的有192，271，932，812，393，127，共有6组，

故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为.

故选：B

4．已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由数量积运算求得，再根据数量积定义求和夹角余弦，从而得夹角．

【详解】，所以，

，而，所以．

故选：C．

5．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，x的系数为（    ）

A．10 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二项式展开式的通项公式，通过赋值即可求得结果.

【详解】展开式的通项为，，

令，解得，所以二项式展开式中，x的系数为.

故选：.

6．已知的三个内角，，所对边分别为，，，则“”是“为直角三角形”的是（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由正弦定理可得，利用三角形的内角和及和角的正弦公式化简可得C为直角，结合充分条件及必要条件进行判断即可.

【详解】因为，

由正弦定理可得，，即，

所以，

所以，

因为，， 所以，，

则，为直角三角形，

但为直角三角形时不一定是，

所以是△ABC为直角三角形充分不必要条件，

故选：A.

7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据图像判断函数是一个偶函数，再根据图像趋势知道区间一开始是单调递减的，由此判断选项中哪个符合即可.

【详解】由图可知，该函数是一个偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，是偶函数，根据，可知BD错误；在区间先是单调递减的，在区间是单调递减的，因此符合图形先单调递减.

故选:C

8．是边长为6的等边三角形，点，分别在边，上，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件建立平面直角坐标系，表示出各点坐标，将向量转化为坐标运算，进而求出最小值.

【详解】

以所在的边为x轴、垂直平分线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，

设，则，，

则，

所以，

则

则的最小值为，

故选：D.

9．在正方体中，棱长为4，为的中点，点在平面内运动，则的最小值为（    ）

A．6 B． C． D．10

【答案】A

【分析】作点关于平面的对称点，将点与同侧点距离之和问题转化为相对点距离问题即可.

【详解】如图作点关于的对称点，

，则的最小值为，根据题中数据可知

故选:A

10．函数在上的最大值与最小值的和为8，则的值为（    ）

A． B．2 C．4 D．6

【答案】B

【分析】构造函数，，得到为奇函数，从而得到，从而得到当时，，列出方程，求出答案.

【详解】因为，

所以，

令，

因为的定义域为，

令，得：，

故的定义域为，关于原点对称，

且，

所以为奇函数，

所以，

即，

故时，

所以当时，，

所以，解得：.

故选：B

11．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，结合椭圆定义可得椭圆的短半轴为2，再根据正弦定理求得长半轴，即可由求得离心率

【详解】如图所示，伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，伞沿是一个半径为2的圆，故椭圆的短半轴长，

圆心到伞柄底端距离，阳光与地面夹角，直径，，则，

由正弦定理得，得，

故

故选：B

12．已知f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导数，满足f′(x)＝f(x)，且f(0)＝2，设函数g(x)＝f(x)－lnf3(x)的一个零点为x0，则以下正确的是(　　)

A．x0∈(0，1) B．x0∈(1，2) C．x0∈(2，3) D．x0∈(3，4)

【答案】A

【分析】设f(x)＝kex，先求出k=2,得g(x)＝2ex－3(x＋ln2)，再证明g(0)＜0，g(1)＞0，g(2)＞0，g(3)＞0，g(4)＞0，即得解.

【详解】设f(x)＝kex，则f(x)满足f′(x)＝f(x)，

而f(0)＝2，∴k＝2，∴f(x)＝2ex，

∴g(x)＝2ex－ln(2ex)3＝2ex－3(x＋ln2)，

∴g(0)＝2－3ln2＜0，g(1)＝2e－3－3ln2＞0.

易知g(2)＞0，g(3)＞0，g(4)＞0，

即g(x)在(0，1)上存在零点，

故选A.

【点睛】本题主要考查导数的运算和函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题

13．曲线及围成的平面区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在非阴影区域的概率为___________.

【答案】

【分析】利用定积分求出阴影部分区域的面积，再利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由得，

阴影部分区域的面积为，

正方形的面积为，

故质点落在非阴影区域的概率为.

故答案为：.

14．中国书法一般分为篆书､隶书､行书､楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草､今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书､隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草､今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为___________种.

【答案】72

【分析】利用捆绑法，结合排列数的计算，求解即可.

【详解】分别将隶书､草书､楷书当作整体，排法总数为，

隶书内部顺序，草书内部顺序，

故方法总数为种.

故答案为：.

15．在中，，，是的中点，.将沿折起得到三棱锥，使得，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.

【答案】

【分析】先求出，设外接圆圆心为，外接球球心为，由正弦定理求得外接圆半径，再结合，由勾股定理求得外接球半径，即可求解.

【详解】解：如图，易得，则，

设外接圆圆心为，外接圆半径为，三棱锥外接球球心为，外接球半径为，连接，，，，

由，易得几何体中，由正弦定理得，

解得，，.又，，平面，则平面，

又平面，则.

又，则，则，则三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：

16．同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是______.（填序号）

①是函数为偶函数的充分不必要条件；②是函数为奇函数的充要条件；

③如果，那么为单调函数；④如果，那么函数存在极值点.

【答案】②③④

【分析】①和②根据，与函数奇偶性的关系判断充要条件，③和④借助于导数分类讨论判断单调性即可

【详解】对于①当时，函数定义域为R关于原点对称

，故函数为偶函数，

当函数为偶函数时，故

，又因为定义域为R，所以不为，故

所以是函数为偶函数的充要条件，故①错误.

对于②当时，函数定义域为R关于原点对称，故函数为奇函数

当函数为奇函数时，因为，

故.所以是函数为奇函数的充要条件，故②正确.

对于③因为

若则恒成立，则为单调递增函数，

若则恒成立，则为单调递减函数，

故，函数为单调函数，故③正确.

对于

④，令得，又因为

若

当，，函数为单调递减.

当，，函数为单调递增.

故函数 存在唯一的极小值.

若

当，，函数为单调递增.

当，，函数为单调递减.

故函数存在唯一的极大值.

所以函数存在极值点，故④正确.

故答案为：②③④

【点睛】①函数的奇偶性是函数的一个整体性质，函数具备奇偶性的前提是定义域必须关于原点对称.

②判断奇偶性牢牢把握，的和差与奇偶性的关系.

③利用导数判断函数单调性时，注意关注导数值的正负，得到原函数的单调性.

④分类讨论时注意巧用分类依据所对应的范围，准确判断导数的正负，为得到函数的单调性和极值相关结论创造必要条件.

三、解答题

17．为了满足同学们多元化的需求，某校食堂每周开发一次新菜品，为了了解学生对新菜品的喜爱情况，他们采用给新菜品打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组并绘制出如图所示的样本频率分布直方图.

(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同学中20人打分在，根据所给数据，完成上面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对新菜品的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢新菜品）？

附：，.

【答案】(1)73.5

(2)没有把握在犯错率不过0.1的条件下认为喜爱程度与性别有关.

【分析】（1）利用频率和为1，补全频率直方图，通过（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）求出平均数.

（2）根据题意填得列联表，代入公式计算可得.

【详解】（1）各组数据频率之和为1，故组频率，所以纵坐标为.样本频率分布直方图如下图.

样本的平均数

（2）

.

故没有把握在犯错率不过0.1的条件下认为喜爱程度与性别有关.

18．已知数列满足（）.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由前n项与前项的等式作差可得 ，验证即可；

（2）由裂项相消法求和即可

【详解】（1） ①， ②，

①-②得 ，当时，符合，

故数列的通项公式为；

（2），，故

19．如图，在四棱锥中，，，，是的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若平面平面，且，三棱锥的体积为1，求的长.

【答案】(1)证明见解析；

(2)3.

【分析】(1)证明，，再由线面垂直判定定理证明AE⊥平面，即可得证；

(2)利用线面平行判定定理和性质定理证明，由此可得，再结合体积公式求.

【详解】（1）∵，，∴，

又∵，∴为等边三角形，

又∵，是的中点，

∴，，，

又∵，，平面，∴平面，

平面，平面平面；

（2）因为平面平面，所以平面，

又，平面

所以平面，又平面，平面平面,

所以，

∵平面，∴，

又∵，，平面，

∴平面，又∵平面，

∴，∵，∴，

又∵，，，平面，∴平面，

∵，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，

∴，

又∵，

解得．

20．如图，已知抛物线：（）的焦点为，双曲线：的斜率大于0的渐近线为，过点作直线，交抛物线于A，两点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线，且与抛物线相切于点，求的值.

【答案】(1)；

(2)2．

【分析】（1）确定渐近线的方程，设，写出直线方程为，与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，由弦长公式可求得得抛物线方程；

（2）设切线方程为，与抛物线方程联立，消元后由求得，从而得切线坐标，由（1）得直线方程为，，代入可得结论．

【详解】（1）由题意直线的方程为，，

因此直线方程为，

由，得，

设，则，，

，，

所以抛物线方程为；

（2）设直线方程为，

由得，所以，，，从而，

即，

由（1）直线方程为，，，

．

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系问题，相交弦长问题，对直线与抛物线的交点有关问题，一般设出直线方程，代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，然后由弦长公式求弦长，同样在求斜率之积时，也是利用代入计算，一般不是直接求出交点坐标计算．

21．已知函数.

(1)求的极值点；

(2)若对任意的，，不等式恒成立，求的最大值.

【答案】(1)极小值点为，无极大值点；

(2)2.

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系即得；

（2）由题可得在上恒成立，设，利用函数的导数求函数的最值即得．

【详解】（1），

令，得，

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增，

所以是函数的极小值点，无极大值点.

（2）不等式，对任意的，恒成立，

∴，即，

设，则，

令，则，函数在上单调递增，

又，

所以存在唯一的，使得，即，

当时，，，所以函数单调递减；

当时，，，所以函数单调递增，

所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，

因为，

又，∴，

所以整数 k 的最大值是.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线，过点的直线l的参数方程（t为参数），直线l与曲线C交于P､Q两点.

(1)写出曲线C的直角坐标方程、直线的普通方程；

(2)若，，成等差数列，求a的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据极坐标转化为直角坐标的公式求得曲线的直角坐标方程；消去参数来求得直线的普通方程.

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化简写出根与系数关系，结合直线参数方程中参数的几何意义以及等差数列的知识列方程，从而求得的值.

【详解】（1）曲线，

，，

所以曲线C的直角坐标方程为，

直线l的参数方程（t为参数），两式相减并化简得，

所以直线l的普通方程为.

（2）把代入，得①，

因为点M在抛物线的开口方向，所以方程①必有两个实根，

设，分别为P，Q对应的参数，且P在Q的下方，则，，

由参数t的几何意义可知，，，，

因为，，成等差数列，所以，

故有，整理得，

把上式代入，，解得.

23．函数．

(1)求函数的最小值；

(2)若（1）中的最小值为，且实数，，满足．求证：．

【答案】(1)当时, 的最小值为3

(2)证明见解析

【分析】（1）利用零点分段讨论法即可求解；

（2）由绝对值三角不等式可得的最小值，进而有，又，从而利用柯西不等式即可证明.

【详解】（1）解：当时，，为单调增函数，所以此时的最小值为；

当时，，所以此时没有最大、最小值；

当时，，为单调减函数，所以此时为最小值.

综上，当时, 的最小值为3.

（2）解：因为，当且仅当时取等号，

所以，

由柯西不等式可知，

所以（当，，时等号）.