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    2023届贵州省贵阳第一中学高三上学期高考适应性月考卷(一)数学(理)试题含解析

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    这是一份2023届贵州省贵阳第一中学高三上学期高考适应性月考卷(一)数学(理)试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届贵州省贵阳第一中学高三上学期高考适应性月考卷(一)数学(理)试题

     

    一、单选题

    1.设集合,则(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据集合的意义,结合交运算即可判断和选择.

    【详解】因为

    所以,则.

    故选:.

    2.如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为等部复数,若复数(其中)为等部复数,则复数在复平面内对应的点在(    

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    【答案】D

    【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数,再根据所给定义求出,从而求出,最后根据复数的几何意义判断即可.

    【详解】解:因为,又等部复数的实部和虚部相等,复

    等部复数,所以,所以

    所以

    所以,则复数在复平面内对应的点为,位于第四象限;

    故选:D.

    3.在一个实验中,某种豚鼠被感染病毒的概率均为40%,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率:先由计算机产生出之间整数值的随机数,指定1234表示被感染,567890表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数:

    192  907  966  925  271  932  812  458  569  683

    257  393  127  556  488  730  113  537  989  431

    据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为(    

    A0.2 B0.3 C0.4 D0.5

    【答案】B

    【分析】20组数据中找到表示两支豚鼠被感染的组数,利用古典概型求概率公式进行求解.

    【详解】20组随机数中,表示有两支被感染的有192271932812393127,共有6组,

    故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为.

    故选:B

    4.已知平面向量满足,则向量的夹角为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】由数量积运算求得,再根据数量积定义求和夹角余弦,从而得夹角.

    【详解】,所以

    ,而,所以

    故选:C

    5.二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨度克·牛顿于1664~1665年间提出,据考证,我国至迟在11世纪,北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.的二项式展开式中,x的系数为(    

    A10 B C D

    【答案】C

    【分析】根据二项式展开式的通项公式,通过赋值即可求得结果.

    【详解】展开式的通项为

    ,解得,所以二项式展开式中,x的系数为.

    故选:.

    6.已知的三个内角所对边分别为,则为直角三角形的是(    

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【分析】由正弦定理可得,利用三角形的内角和及和角的正弦公式化简可得C为直角,结合充分条件及必要条件进行判断即可.

    【详解】因为

    由正弦定理可得,,即

    所以

    所以

    因为, 所以

    为直角三角形,

    为直角三角形时不一定是

    所以△ABC为直角三角形充分不必要条件,

    故选:A.

    7.著名数学家华罗庚先生曾说过:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,我们经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征,如某体育品牌的LOGO,可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函数中,其图象大致可完美局部表达这条曲线的函数是(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】首先根据图像判断函数是一个偶函数,再根据图像趋势知道区间一开始是单调递减的,由此判断选项中哪个符合即可.

    【详解】由图可知,该函数是一个偶函数,是奇函数,是偶函数,是奇函数,是偶函数,根据,可知BD错误;区间先是单调递减的,区间是单调递减的,因此符合图形先单调递减.

    故选:C

    8是边长为6的等边三角形,点分别在边上,且,则的最小值为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】根据条件建立平面直角坐标系,表示出各点坐标,将向量转化为坐标运算,进而求出最小值.

    【详解】

    所在的边为x轴、垂直平分线为y轴建立如图所示平面直角坐标系,

    ,则

    所以

    的最小值为

    故选:D.

    9.在正方体中,棱长为4的中点,点在平面内运动,则的最小值为(    

    A6 B C D10

    【答案】A

    【分析】作点关于平面的对称点,将点与同侧点距离之和问题转化为相对点距离问题即可.

    【详解】如图作点关于的对称点

    ,则的最小值为,根据题中数据可知

    故选:A

    10.函数上的最大值与最小值的和为8,则的值为(    

    A B2 C4 D6

    【答案】B

    【分析】构造函数,得到为奇函数,从而得到,从而得到当时,,列出方程,求出答案.

    【详解】因为

    所以

    因为的定义域为

    ,得:

    的定义域为,关于原点对称,

    所以为奇函数,

    所以

    时,

    所以当时,

    所以,解得:.

    故选:B

    11.油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为60°时,在地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,若该椭圆的离心率为,则    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】由题意,结合椭圆定义可得椭圆的短半轴为2,再根据正弦定理求得长半轴,即可由求得离心率

    【详解】如图所示,伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,伞沿是一个半径为2的圆,故椭圆的短半轴长

    圆心到伞柄底端距离,阳光与地面夹角,直径,则

    由正弦定理得,得

    故选:B

    12.已知f′(x)是函数f(x)(xR)的导数,满足f′(x)f(x),且f(0)2,设函数g(x)f(x)lnf3(x)的一个零点为x0,则以下正确的是(  )

    Ax0∈(01) Bx0∈(12) Cx0∈(23) Dx0∈(34)

    【答案】A

    【分析】f(x)kex,先求出k=2,g(x)2ex3(xln2),再证明g(0)0g(1)0g(2)0g(3)0g(4)0,即得解.

    【详解】f(x)kex,则f(x)满足f′(x)f(x)

    f(0)2k2f(x)2ex

    g(x)2exln(2ex)32ex3(xln2)

    g(0)23ln20g(1)2e33ln20.

    易知g(2)0g(3)0g(4)0

    g(x)(01)上存在零点,

    故选A.

    【点睛】本题主要考查导数的运算和函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.

     

    二、填空题

    13.曲线围成的平面区域如图所示,向正方形中随机投入一个质点,则质点落在非阴影区域的概率为___________.

    【答案】

    【分析】利用定积分求出阴影部分区域的面积,再利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

    【详解】

    阴影部分区域的面积为

    正方形的面积为

    故质点落在非阴影区域的概率为.

    故答案为:.

    14.中国书法一般分为篆书、隶书、行书、楷书和草书这5种字体,其中篆书分大篆和小篆,隶书分古隶和汉隶,草书分章草、今草和狂草,行书分行草和行楷,楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化,某书法协会采用楷书、隶书和草书3种字体书写6个福字,其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写,草书字体的福字分别用章草、今草和狂草书写,楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排,要求相同类型字体的福字相邻,则不同的排法种数为___________.

    【答案】72

    【分析】利用捆绑法,结合排列数的计算,求解即可.

    【详解】分别将隶书、草书、楷书当作整体,排法总数为

    隶书内部顺序,草书内部顺序

    故方法总数为.

    故答案为:.

    15.在中,的中点,.沿折起得到三棱锥,使得,则该三棱锥的外接球的表面积为___________.

    【答案】

    【分析】先求出,设外接圆圆心为,外接球球心为,由正弦定理求得外接圆半径,再结合,由勾股定理求得外接球半径,即可求解.

    【详解】解:如图,易得,则

    外接圆圆心为,外接圆半径为,三棱锥外接球球心为,外接球半径为,连接

    ,易得几何体中,由正弦定理得

    解得.平面,则平面

    平面,则.

    ,则,则,则三棱锥的外接球的表面积为.

    故答案为:

    16.同学们,你们是否注意到,自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为(其中是非零常数,无理数),对于函数以下结论正确的是______.(填序号)

    是函数为偶函数的充分不必要条件;是函数为奇函数的充要条件;

    如果,那么为单调函数;如果,那么函数存在极值点.

    【答案】②③④

    【分析】根据与函数奇偶性的关系判断充要条件,借助于导数分类讨论判断单调性即可

    【详解】对于时,函数定义域为R关于原点对称

    ,故函数为偶函数,

    当函数为偶函数时,

    ,又因为定义域为R,所以不为,故

    所以是函数为偶函数的充要条件,故错误.

    对于时,函数定义域为R关于原点对称,故函数为奇函数

    当函数为奇函数时,因为

    .所以是函数为奇函数的充要条件,故正确.

    对于因为

    恒成立,则为单调递增函数,

    恒成立,则为单调递减函数,

    ,函数为单调函数,故正确.

    对于

    ,令,又因为

    ,函数为单调递减.

    ,函数为单调递增.

    故函数 存在唯一的极小值.

    ,函数为单调递增.

    ,函数为单调递减.

    故函数存在唯一的极大值.

    所以函数存在极值点,故正确.

    故答案为:②③④

    【点睛】函数的奇偶性是函数的一个整体性质,函数具备奇偶性的前提是定义域必须关于原点对称.

    判断奇偶性牢牢把握的和差与奇偶性的关系.

    利用导数判断函数单调性时,注意关注导数值的正负,得到原函数的单调性.

    分类讨论时注意巧用分类依据所对应的范围,准确判断导数的正负,为得到函数的单调性和极值相关结论创造必要条件.

     

    三、解答题

    17.为了满足同学们多元化的需求,某校食堂每周开发一次新菜品,为了了解学生对新菜品的喜爱情况,他们采用给新菜品打分的方式(分数为整数,满分100分),在全校学生中随机选取1200名同学进行打分,发现所给数据均在内,现将这些数据分成6组并绘制出如图所示的样本频率分布直方图.

     

    喜欢

    不喜欢

    合计

    男同学

     

     

     

    女同学

     

     

     

    合计

     

     

     

     

    (1)请将样本频率分布直方图补充完整,并求出样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

    (2)从这1200名同学中随机抽取,经统计其中有男同学70人,其中40人打分在,女同学中20人打分在,根据所给数据,完成上面的列联表,并在犯错概率不超过0.100的条件下,能否认为对新菜品的喜爱程度与性别有关(分数在内认为喜欢新菜品)?

    附:.

    0.100

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

     

     

    【答案】(1)73.5

    (2)没有把握在犯错率不过0.1的条件下认为喜爱程度与性别有关.

     

    【分析】1)利用频率和为1,补全频率直方图,通过(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)求出平均数.

    2)根据题意填得列联表,代入公式计算可得.

    【详解】1)各组数据频率之和为1,故组频率,所以纵坐标为.样本频率分布直方图如下图.

    样本的平均数

    2

     

    喜欢

    不喜欢

    合计

    男同学

    40

    30

    70

    女同学

    20

    30

    50

    合计

    60

    60

    120

     

    .

    故没有把握在犯错率不过0.1的条件下认为喜爱程度与性别有关.

    18.已知数列满足.

    (1)求数列的通项公式;

    (2),数列的前项和为,求.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)由前n项与前项的等式作差可得 ,验证即可;

    2)由裂项相消法求和即可

    【详解】1

    ①-② ,当时,符合,

    故数列的通项公式为

    2,故

    19.如图,在四棱锥中,的中点.

    (1)证明:平面平面

    (2)若平面平面,且,三棱锥的体积为1,求的长.

    【答案】(1)证明见解析;

    (2)3.

     

    【分析】(1)证明,再由线面垂直判定定理证明AE平面,即可得证;

    (2)利用线面平行判定定理和性质定理证明,由此可得,再结合体积公式求.

    【详解】1

    为等边三角形,

    的中点,

    平面平面

    平面平面平面

    2)因为平面平面,所以平面

    平面

    所以平面,又平面,平面平面,

    所以

    平面

    平面

    平面,又平面

    平面平面

    点到平面的距离等于点到平面的距离,

    解得

    20.如图,已知抛物线)的焦点为,双曲线的斜率大于0的渐近线为,过点作直线,交抛物线A两点,且.

    (1)求抛物线的方程;

    (2)若直线,且与抛物线相切于点,求的值.

    【答案】(1)

    (2)2

     

    【分析】1)确定渐近线的方程,设,写出直线方程为,与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得,由弦长公式可求得得抛物线方程;

    2)设切线方程为,与抛物线方程联立,消元后由求得,从而得切线坐标,由(1)得直线方程为,代入可得结论.

    【详解】1)由题意直线的方程为

    因此直线方程为

    ,得

    ,则

    所以抛物线方程为

    2)设直线方程为

    ,所以,从而

    由(1)直线方程为

    【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系问题,相交弦长问题,对直线与抛物线的交点有关问题,一般设出直线方程,代入抛物线方程整理后应用韦达定理得,然后由弦长公式求弦长,同样在求斜率之积时,也是利用代入计算,一般不是直接求出交点坐标计算.

    21.已知函数.

    (1)的极值点;

    (2)若对任意的,不等式恒成立,求的最大值.

    【答案】(1)极小值点为,无极大值点;

    (2)2.

     

    【分析】1)求出函数的导数,利用导数与函数单调性的关系即得;

    2)由题可得上恒成立,设,利用函数的导数求函数的最值即得.

    【详解】1

    ,得

    时,,此时函数单调递减;

    时,,此时函数单调递增,

    所以是函数的极小值点,无极大值点.

    2)不等式,对任意的恒成立,

    ,即

    ,则

    ,则,函数上单调递增,

    所以存在唯一的,使得,即

    时,,所以函数单调递减;

    时,,所以函数单调递增,

    所以当时,函数有极小值,同时也为最小值,

    因为

    所以整数 k 的最大值是.

    【点睛】方法点睛:恒(能)成立问题的解法:若在区间D上有最值,则

    1)恒成立:

    2)能成立:.

    若能分离常数,即将问题转化为:(或),则

    1)恒成立:

    2)能成立:.

    22.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线,过点的直线l的参数方程t为参数),直线l与曲线C交于PQ两点.

    (1)写出曲线C的直角坐标方程、直线的普通方程;

    (2)成等差数列,求a的值.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据极坐标转化为直角坐标的公式求得曲线的直角坐标方程;消去参数来求得直线的普通方程.

    2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,化简写出根与系数关系,结合直线参数方程中参数的几何意义以及等差数列的知识列方程,从而求得的值.

    【详解】1)曲线

    所以曲线C的直角坐标方程为

    直线l的参数方程t为参数),两式相减并化简得

    所以直线l的普通方程为.

    2)把代入,得

    因为点M在抛物线的开口方向,所以方程必有两个实根,

    分别为PQ对应的参数,且PQ的下方,则

    由参数t的几何意义可知,

    因为成等差数列,所以

    故有,整理得

    把上式代入,解得.

    23.函数

    (1)求函数的最小值;

    (2)若(1)中的最小值为,且实数满足.求证:

    【答案】(1), 的最小值为3

    (2)证明见解析

     

    【分析】1)利用零点分段讨论法即可求解;

    2)由绝对值三角不等式可得的最小值,进而有,又,从而利用柯西不等式即可证明.

    【详解】1)解:当时,为单调增函数,所以此时的最小值为

    时,,所以此时没有最大、最小值;

    时,为单调减函数,所以此时为最小值.

    综上,当, 的最小值为3.

    2)解:因为,当且仅当时取等号,

    所以

    由柯西不等式可知

    所以(当时等号).

     

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