23版新高考一轮分层练案(十)　指数与指数函数

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一轮分层练案(十)　指数与指数函数 A级——基础达标1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)A．(－2)－2＝4    B．2a－3＝C．(－2)0＝－1    D．＝【答案】D　对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，＝，故D正确．2．已知a＝0.860.75，b＝0.860.85，c＝1.30.86，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>c    B．b>a>cC．c>b>a    D．c>a>b【答案】D　∵函数y＝0.86x在R上是减函数，∴0<0.860.85<0.860.75<1，又1.30.86>1，∴c>a>b.3．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是(　　)A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，0<b<1D．0<a<1，b<0【答案】D　法一：由题图可知0<a<1，当x＝0时，a－b∈(0，1)，故－b>0，得b<0.故选D.法二：由题图可知0<a<1，f(x)的图象可由函数y＝ax的图象向左平移得到，故－b>0，则b<0.故选D.4．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减【答案】C　易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x).即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.5．(多选)已知2a＝3b＝6，则a，b可能满足的关系是(　　)A.a＋b＝ab    B．a＋b＞4C．(a－1)2＋(b－1)2＜2    D．a2＋b2＞8【答案】ABD　∵2a＝3b＝6，∴(2a)b＝6b，(3b)a＝6a，即2ab＝6b，3ba＝6a，∴2ab·3ba＝6b·6a，∴6ab＝6a＋b，∴ab＝a＋b，∴A正确；∵ab＝a＋b≥2，又a≠b，∴ab＞2，∴a＋b＝ab＞4，∴B正确；(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2＞2ab－2(a＋b)＋2＝2，∴C不正确；∵a2＋b2＞2ab＞8，∴D正确．6．(多选)已知实数a，b满足等式18a＝19b，下列选项有可能成立的是(　　)A．0＜b＜a    B．a＜b＜0C．0＜a＜b    D．b＜a＜0【答案】AB　实数a，b满足等式18a＝19b，即y＝18x在x＝a处的函数值和y＝19x在x＝b处的函数值相等，由下图可知A、B均有可能成立．7．(多选)(必修第一册155页习题9题改编)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　)A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80 m2D．若浮萍蔓延到2 m2，4 m2，8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1＋t3【答案】AD　将点(1，3)的坐标代入函数y＝at的解析式，得a1＝3，函数的解析式为y＝3t.对于A，由＝2可得浮萍每月的增长率为2，A选项正确；对于B，浮萍第1个月增加的面积为31－30＝2(m2)，第2个月增加的面积为32－31＝6(m2)，2≠6，B选项错误；对于C，第4个月时，浮萍的面积为34＝81>80，C选项错误；对于D，由题意可得3＝2，3＝4，3＝8，因为42＝2×8，所以(3)2＝3×3，即3＝3＋t3，所以2t2＝t1＋t3，D选项正确．故选A、D.8．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．解析：若函数f(x)＝是R上的减函数，则解得a∈.【答案】9．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1).【答案】(1，＋∞)　f(－4)＞f(1)10．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)因为f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在(－∞，1]上恒成立．又因为y＝与y＝在(－∞，1]上均为减函数，所以y＝＋在(－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.B级——综合应用11．函数f(x)＝·2x的图象大致形状是(　　)【答案】B　由函数f(x)＝·2x＝可得函数在(0，＋∞)上单调递增，且此时函数值大于1；在(－∞，0)上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零．结合所给的选项，只有B项满足条件，故选B.12．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)A．K的最大值为0    B．K的最小值为0C．K的最大值为1    D．K的最小值为1【答案】D　根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.13．(多选)关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是(　　)A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形【答案】ACD　函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)关于点对称，所以D正确．14．若ea＋πb≥e－b＋π－a，则a与b的关系式为________．解析：令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.【答案】 a＋b≥015．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1).(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，对于定义域内任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f(x)＞0，则x3＞0，即＋＞0，即＞0，则ax＞1.又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0在定义域上恒成立．C级——迁移创新16．已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，且a≠1，b∈R).(1)若f(x)为偶函数，求实数b的值；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a，b应满足的条件．解：(1)因为f(x)为偶函数，所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x).即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.(2)记h(x)＝|x＋b|＝①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b≤2，b≥－2；②当0<a<1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，实数a，b应满足的条件为a>1，且b≥－2.