2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期11月月考数学（理）试题（一）含解析

2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期11月月考数学（理）试题（一）

一、单选题

1．已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数代数形式的四则运算和共轭复数的概念得出结果．

【详解】因为，

所以复数的共轭复数是．

故选：B．

2．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】当k为偶数时，，当k为奇数时，令，，从而求出，得到答案.

【详解】集合A为偶数集合，当k为偶数时，集合B为奇数集合，此时；

当k为奇数时，令，，集合，

此时．

故选：D．

3．已知实数x，y满足，且，则最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件列出满足的不等式组，画出图象，通过平移基准直线到可行域边界位置来求得的最小值.

【详解】依题意，满足或，

，设，

画出可行域如下图所示，

由图可知，当基准直线平移到点时，取得最小值.

故选：A

4．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，为非零常数，则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样数据的样本众数相同

D．两组样本数据的样本方差相同

【答案】D

【分析】根据两组的线性关系，结合数据间的平均值、中位数、众数、方差的关系即可得.

【详解】解：对于A，且，故平均数不相同，错误；

对于B，若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；

对于C，由众数的定义知：若第一组的众数为，则第二组的众数为，错误；

对于D，故方差相同，正确；

故选：D．

5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度

C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度

【答案】C

【分析】根据对数函数的运算法则进行化简，结合函数图象变换规律进行判断即可．

【详解】因为，

所以只需把函数的图象向上平移个单位长度即可得到的图象．

故选：C．

6．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求解函数的定义域，且，故函数为偶函数，排除BC；

再求出，排除D，选出正确答案.

【详解】定义域为R，且，

故为偶函数，所以排除选项B和选项C；

又，排除D.

故选：A．

7．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子出现的点数分别为，，记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得共出现36个基本事件，然后列举出较小点数为2点，3点和4点的所有情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】同时掷两颗质地均匀的骰子，共出现36个基本事件，

其中较小点数为2点的情况有：（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2）共9种；

较小点数为3点的情况有：（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（5，3），（6，3）共7种；

较小点数为4点的情况有：（4，4），（4，5），（4，6），（5，4），（6，4）共5种；

所以．

故选：D．

8．已知函数是偶函数，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】由偶函数的定义求解即可．

【详解】因为，

所以，

因为为偶函数，则，即，

∴，

整理得，所以．

故选：B．

9．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（    ）

A．288 B．336 C．368 D．412

【答案】B

【分析】由已知，可根据题意，分成当四位数不出现1时、当四位数出现一个1时、当四位数出现两个1时三种情况，分别列式求解即可.

【详解】当四位数不出现1时，排法有：种；

当四位数出现一个1时，排法有：种；

当四位数出现两个1时，排法有：种；

所以不同的四位数的个数共有：．

故选：B．

10．已知随机变量，令，，则下列等式正确的序号是（    ）

①        ②

③    ④

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③

【答案】A

【分析】根据题意可得正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义逐个分析判断即可.

【详解】因为随机变量，

所以正态曲线关于对称，

因为，，

所以根据正态曲线的对称性可知，，，

所以①③④正确，②错误，

故选：A

11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若满足，且为奇函数，则下列选项中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得函数的奇偶性，然后令，即可求得，从而得到结果.

【详解】因为为奇函数，则，即，所以为偶函数，

由，得，即，故A正确，C错误

令，则，则，故D错误；

令，则，故不一定等于0.故B错误.

故选:A

12．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导数研究单调性可比较a、b，利用对数单调性可比较a、c，然后可得.

【详解】因为，所以；

构造函数，则，

记，则由，得，在递增，

由，得，在递减，

所以，所以在R上递增，有，所以，所以.

故选：D．

二、填空题

13．已知是方程的根，若，，则__________．

【答案】2

【分析】先判断函数的单调性，结合零点存在性定理，即得解

【详解】设函数，由于都在单调递增，

故为上增函数，故函数在至多存在一个零点，

且，，所以，所以．

故答案为：2

14．某学校的文学社团由高一、高二和高三学生组成，已知高一学生人数多于高二学生人数，高二学生人数多于高三学生人数，且高三学生人数的两倍多于高一学生人数，则该文学社团人数的最小值为__________．

【答案】12

【分析】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x，y，z，则，且x，y，，讨论的取值，即可求解

【详解】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x，y，z，

则，且x，y，，

①当时，，不符合题意；

②当时，，不符合题意：

③当时，，不符合题意；

④当时，，此时，，满足题意．

所以．

所以该文学社团人数的最小值12．

故答案为：12

15．已知任何一个正整数都可以表示成，即，此时是一个位数，已知，，则是__________位数．

【答案】118

【分析】利用对数运算性质化简，结合题意求解即可．

【详解】设，

所以，即，

所以，

又因为，，所以，，

故是位数．

故答案为：118．

16．中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算，所得的结果用分数表示为__________．

【答案】

【分析】令，可得在点（0，1）处的切线方程为，由“切线近似代替曲线”的思想可得，即可得答案．

【详解】解：构造函数，则有，，，

所以在点（0，1）处的切线方程为，

根据“切线近以代替曲线”的思想方法可得．

故答案为：

三、解答题

17．已知函数是奇函数．

(1)求常数的值；

(2)解方程．

【答案】(1)

(2)0或．

【分析】（1）由，代入求解即可；

（2）转化方程为，分，两种情况求解即可.

【详解】（1）函数定义域为：，因为函数是奇函数，

所以，即，

化简得，

故，所以常数．

（2）由（1）知，所以方程为，

当时，方程成立；

当时，方程可化为，

整理得，

因为，所以，即，

综上，方程的根为0或．

18．随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效王作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是根据调查结果绘制的问卷调查得分的频率分布直方图：

将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分．

(1)根据已知条件完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？

(2)已知问卷调查得分不低于90分的学生中有2名男生，若从得分不低于90分的学生中任意抽取2，求至少有一名男生的概率．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)表格见解析，有关

(2)．

【分析】（1）根据频率分布直方图求出问卷调查结果为了解的学生人数，完善列联表，求出卡方，即可判断；

（2）首先求出问卷调查得分不低于分的学生人数，再求出基本事件总数以及满足条件的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）解：问卷调查结果为了解的学生人数为：，

又因为其中男生有50人，所以其中女生有人．

可得列联表为：

提出假设：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，

根据列联表中数据，可以求得，

因为当成立时，，这里的，所以我们有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关．

（2）解：问卷调查得分不低于分的学生人数为人，

其中男生有人，女生有人

记“任意抽取人，至少有一名男生”为事件，

从5人中任意抽取人共有种抽法，

抽取人中恰有名男生的抽法有种，

抽取人中恰有名男生的抽法有种，

事件A的概率，

综上，至少有一名男生的概率为．

19．甲､乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，本次比赛规定：先连胜两局者直接获胜，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者获胜．

(1)求比赛共进行5局且甲获胜的概率；

(2)记甲､乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】(1) 记比赛共进行5局并且甲获胜为事件，先找出事件的情况，然后利用概率公式即可求解；

(2)根据题意求出的可能取值，分别求出每种取值的概率，列出分布列，进而求解.

【详解】（1）记比赛共进行5局并且甲获胜为事件，

说明甲前4局胜了2局，且第5局甲胜，

且只有胜负胜负胜或负胜负胜胜两种情况

所以，

所以比赛共进行5局并且甲获胜的概率为

（2）的可能取值为

记甲在第局获胜为事件，

乙在第局获胜为事件，

，

所以的概率分布列为：

故的数学期望

20．已知函数．

(1)当时，解不等式；

(2)设，当时，对任意，，都有，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)将代入函数，再由对数函数的性质求解即可；

(2)由题意可得，先判断出函数在定义域上为单调递减函数，进而得，即得，对任意成立，结合二次函数的性质求出在区间的最小值即可求得的取值范围．

【详解】（1）解：当时，

由，得，

即，等价于，

解得；

（2）解：因为对任意，，都有，

所以对任意，，都有，

设的定义域为，

又当，且时，有，即，

即，所以在I上单调递减．

因此函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

由，

化简得，

上式对任意成立．

因为，

令，对称轴为，

所以函数在区间上单调递增，

所以，，

由，得．

故的取值范围为.

21．已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意恒有，求a．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，分，两种情况，讨论导函数正负，即得解；

（2）转化为，分，，，几种情况讨论函数单调性，求解即可.

【详解】（1）因为，

当时，对任意都有，

函数的单调增区间为

当时，由，得，

时，，时，，

所以函数的单调增区间为，单调减区间为．

综上，当时，函数的单调增区间为，

当时，函数的单调增区间为，

单调减区间为；

（2）因为对任意恒有，所以

设，

根据题意，对任意，要求，

，

①当时，，

时，，为上单调增函数，

所以时，，

时，，为上单调减函数，

所以时，，

此时，对任意恒有；

②当时，由得，，

时，，为上单调增函数，

因为，所以，不符题意；

③当时，由得，，

时，，为上单调减函数，

因为，所以，不符题意；

④当时，

对任意都有，为R上单调减函数，

所以时，，不符题意；

综上，当时，对任意恒有．

22．在平面直角坐标系中，曲线C满足参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线C和直线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值．

【答案】(1)，

(2)2

【分析】（1）利用参数方程，经过平方相加可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；

（2）利用圆心距、半径、半弦长关系求解即可．

【详解】（1）由，可得：，

又因为，所以，即，

所以曲线C的直角坐标方程为：，

由，代入，

可得直线的直角坐标方程为：．

（2）设坐标原点O到直线的距离为，则，

因为，即，解得．

当时，直线经过点，而点不在曲线C上，故不符合题意，

所以．

23．已知正数x，y，z满足．

(1)证明：；

(2)求的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）根据柯西不等式，结合题干条件即得解；

（2）利用均值不等式求解的最小值，再求解的最小值即可.

【详解】（1）由已知，

根据柯西不等式，有，

即，

所以；

（2）因为

，

所以，当且仅当时等号成立，

综上，的最小值为．