2023扬州中学高三上学期11月双周练月考数学试题答案

高三数学双周练

一、单选题

1．下列各式中关系符号运用正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知在中，，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知在△ABC中，，，，，P在CD上，，则的值为（    ）

A． B． C．4 D．6

5．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ）

A．A与B不互斥 B．A与D互斥且不对立

C．C与D互斥 D．A与C相互独立

6．设数列的前n项和为，且为常数列，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知、均为正实数，且，则的最小值为 （    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．关于空间向量，以下说法正确的是（     ）

A．非零向量，，若，则

B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面

C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线

10．已知数列的前n项和为，，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．数列的通项公式为

B．若，则

C．数列为等比数列

D．

11．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．是奇函数

C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减

12．下列函数求值域正确的是（    ）

A．的值域为

B．的值域为

C．的值域为

D．的值域为

三、填空题

13．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______.

14．已知平面向量，，且．则____________．

15．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有__________种.

16．用表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么______．

四、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知．

(1)求A；

(2)若，且C > A，求的取值范围．

18．设数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列 的前项和．

19．如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.

(1)求证：；

(2)若平面与平面所成的角为，求三棱锥的体积.

20．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产——腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了户，统计了他们年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：、、、、，统计结果如下表所示：

（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若该县有万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润在区间内的户数.（每区间数据用该区间的中间值表示）

（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为元.求参与调查的某农户所获奖金的数学期望.

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.

21．已知椭圆C：离心率为，焦距为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，且，求△OAB面积的取值范围.

22．已知函数．

(1)若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值；

(2)若不等式有解，求的取值范围．

参考答案：

1．C   2．D   3．A   4．C   5．D    6．B   7．C   8．A

8．A

【详解】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，

函数图象如下：

所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应，

要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，

由开口向下且对称轴为，

由上图知：，此时且，，

结合图象及有，，则，

所以，且，

令且，则，

当时，递增；当时，递减；

所以，故最大值为.

故选：A

9．ABD      10．ABD         11．BCD       12．CD

12.【详解】对于选项A：原函数化为，

其图象如图，原函数值域为，故选项A不正确，

对于选项B：，定义域为，

当时，，此时，

所以，当且仅当即时等号成立，

当时，，此时，当且仅当即时等号成立，

所以函数值域为，故选项B不正确；

对于选项C：的定义域为，

，

因为与均在上是增函数，所以在上是增函数，又在上恒不等于，

则在上是减函数，则的最大值为，

又因为，所以的值域为，故选项C正确；

对于选项D：的定义域为，

，

设，则，，，

则，的值域为，故选项D正确，

故选：CD

13．      14．5        15．126       16．

17．(1)  (2)

【详解】（1）由，得：

由正弦定理得：

又，所以，

故，即，则；

（2）由正弦定理得：

所以

又因为，故，

则，所以

故的取值范围为．

18．(1) ；(2).

【详解】（1）数列满足

时,

∴

∴

当时,,上式也成立

∴

（2）

∴数列的前n项和

19.【详解】（1）证明：因为底面ABCD和侧面都是矩形，

所以AD⊥CD，AD⊥，

又CD∩＝D，CD，⊂平面，

所以AD⊥平面，又⊂平面，

所以.

（2）取为的中点，连接，因为AD⊥平面，

又⊂平面，所以，

又因为，所以，

又AD∩＝D，AD，⊂平面，

所以平面，

取的中点，为的中点，底面是矩形，

所以,以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，

建立空间直角坐标系，如图所示:

设，则，，，，，

，设平面的法向量，，．

由可得：，

令可得，，所以，

设平面的法向量，，．

由可得，，令可得，所以

由于平面与平面所成的锐二面角的平面角为，

所以，

可得：，则，

解得．

因为AD⊥平面，，所以平面，

又因为，所以平面，平面，

所以平面，

所以

.

20．（1）；（2）元.

【详解】（1）由题意知：

样本的平均数为，

所以，所以，

而.

故万户农户中，落在区间内的户数约为；

（2）设中奖次数为，则的可能取值为、、、、、，

则，

所以.

令，①

，②

由①②得：，

，

所以（元）.

所以参与调查的某农户所获奖金的数学期望为元.

21．(1)；(2).

【详解】（1）∵，，∴

∴，∴椭圆方程为：；

（2）由题意得，设直线方程为（，），，

，消y得

则，，

∵，∴，即，

所以，

即，∵，∴

又∵

∴且

设原点到直线的距离为，

，

∴

∴.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系求椭圆弦长是解题的关键.

22．(1)极小值为，无极大值  (2)且

【详解】（1）由于图像上各点切线斜率的最大值为2，

即取得最大值为2，

由题可知的定义域为，

则，

即是关于的二次函数，

，当时，取得最大值为，

，

而，，

此时，

在上，单调递减，

在上，单调递增，

的极小值为，无极大值．

（2），其中且，

在上，，则单调递减，

在上，，则单调递增，

，

关于的不等式有解，

，

，，

设，则，

在上，，则单调递增，

在上，，则单调递减，

，即在内恒成立，

要求，即，

则只需即可，即，等价于，

解得：且，

的取值范围是：且.