2023湖南省三湘名校教育联盟高一上学期期中考试数学试卷含答案

绝密★启用前

三湘名校教育联盟·2022年高一下学期期中考试

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    “”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2.    已知，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.    函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知函数，则其图象大致是(    )

A. B. C. D.

6.    已知函数，且，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 与的大小无法确定

7.    已知函数的定义域为，当时，，若对，，使得，则正实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    下列既是存在量词命题又是真命题的是(    )

A. ， B. 至少有个，使能同时被和整除
C. ， D. 每个平行四边形都是中心对称图形

10. 下列说法正确的是(    )

A. 与是同一函数
B. 奇函数的图象一定过点
C. 对于任何一个函数，如果因变量的值不同，则自变量的值一定不同
D. 函数在其定义域内是单调递减函数

11. 已知，为正实数，且，，，则(    )

A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为

12. 对于函数，下列判断正确的是(    )

A.  B. 当时，方程总有实数解
C. 函数的值域为 D. 函数的单调递增区间为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 集合的真子集的个数是          ．
14. 已知幂函数的图象过点，且当时，恒有，则实数的取值范围为          ．
15. 已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为          ．
16. 定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不等式的解集为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

求下列函数的解析式：
已知是一次函数，且满足：
已知函数满足：．

18. 本小题分

已知集合，

当时，求，

若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19. 本小题分

已知函数．

当时，求的值

解关于的不等式．

20. 本小题分

国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．
求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数
铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为
，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少

21. 本小题分

已知幂函数在上单调递增，函数．

求的值

当时，记，的值域分别为集合，，设，，若是

成立的必要条件，求实数的取值范围

设，且在上的最小值为，求实数的值．

22. 本小题分

定义在上的函数满足对任意的，，都有，且当时，．

证明：函数是奇函数

证明：在上是增函数

若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查充分条件、必要条件的判断，属基础题．

【解答】

解：，反之不成立，故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系及绝对值不等式的求解，属于基础题．

【解答】

因为或，，
所以，故A错误，B正确，
显然，所以C错误，
而，所以D错误．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的定义域，属于基础题．

【解答】

解：依题意得，解得，所以的定义域为，故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题与存在量词命题，一元二次不等式恒成立问题，属基础题．

【解答】

解：命题“，使得”是假命题等价于“，都有恒成立”是真命题，所以，故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的识别，属于一般题．

【解答】

，是奇函数，排除、，
当时，，排除．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．

【解答】

解：是偶函数，且当时单调递增，由，可得，

，，故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数单调性求函数最值，涉及转化思想，属中档题．

【解答】

解：对，，使得，，

当时，，

当时，，，

由得，

又，在上为增函数，，，，

的取值范围为故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查与子集相关的新定义问题，属于较难题．

【解答】

因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次，
则对的所有非空子集中元素执行乘再求和操作，
则这些和的总和是．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查含有量词的命题，及命题真假的判断，属于基础题．

【解答】

解：中，当时，满足，所以是真命题

中，能同时被和整除，所以是真命题

中，因为所有实数的平方非负，即，所以是假命题

是全称量词命题，所以不符合题意故选AB．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的概念，奇偶性，单调性，属基础题．

【解答】

解：与是同一函数，故A正确

奇函数的图象不一定过点，故B错误

函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则值肯定不同，故C正确

的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式求最值，属于一般题．

【解答】

因为，，当且仅当时取“”，所以的最小值为，A错误

由，得，当且仅当，时取“”，B正确

当且仅当时，取“”，C错误

，，当且仅当时，取“”，D正确．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题．

【解答】

解：对于，因为，所以，所以A正确

对于，当时，，，，无解，所以B错误

当时，，，，根据奇函数，可知C正确

，在上不可能单调递增，所以D错误，故选AC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合的真子集个数，属基础题．

【解答】

解：，的元素个数为，故A有个真子集．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数求参问题，属于一般题．

【解答】

因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，

所以在上恒成立，只需，

易知在上单调递减，所以，

所以所以实数的取值范围为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程根的分布，属于基础题．

【解答】

解：令，根据题意得

的取值范围为

16.【答案】，一 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性与单调性，属中档题．

【解答】

解：，则，即也为奇函数，

又函数在上单调递减，由对称性可知，在上递减，

又因为，所以，

所以，

即，

所以，即解集为．

17.【答案】令，依题意，
即，
，故解得
所以
令或，依题意，
得，，
所以或． 

【解析】本题考查的知识点是函数解析式的求解，属于基础题．
 

18.【答案】解：当时，

因为

所以

因为是成立的充分不必要条件，

所以集合是集合的真子集，
因为恒成立，

所以集合，

所以解得，

故实数的取值范围为

【解析】本题考查集合运算及集合间关系，属于中档题．
 

19.【答案】解：当时，，

，

依题意，则，

，

当时，无解

当时，，解集为

当时，，解集为，

综上所述，当时，解集为

当时，解集为

当时，解集为．

【解析】本题考查求函数值，一元二次不等式求解，属中档题．
 

20.【答案】当时，设，，则，

╔╔ \ therefore f(t)= \ begin{cases}5000-20t(16-t),0

，

故当天中午点时，候车厅候车人数为人

╔╔(2)P= \ begin{cases}20(t+\dfrac{100}{t})+80,0

当，，当且仅当时等号成立

当时， ．

又，所以当时，需要提供的面包数量最少．

【解析】本题考查了基本不等式的实际应用和分段函数模型的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解由幂函数的定义得或，

当时，在上单调递增，符合题意

当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．

综上可知：

由得，

当时，，即

当时，，即，

由命题是成立的必要条件，则，显然，则即

所以实数的取值范围为

根据题意得，的对称轴为，

当时，即，，得舍，，

当时，即，，得，舍，

当，即时，，得舍

综上所述，或．

【解析】本题考查了幂函数的概念，充要条件的应用，一元二次函数的图象与性质，属于中档题．
 

22.【答案】解：证明：令，得，，

令，，，

所以函数是奇函数

证明：设任意，且，

，

且当时，，

，，

得，，

在上单调递增，根据奇函数的性质可知在上也单调递增，

综上，在上是增函数

对任意，恒成立，即，

由得当时，，

对任意恒成立，

设是关于的一次函数，，要使恒成立，

即

解得或，所以实数的取值范围是

【解析】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，属较难题．