2023潍坊高二上学期期中考试数学试题含答案

2022年11月份期中检测试题

高二数学

本试卷共4页，满分150分

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

2. 点到直线的距离为1，则（    ）

A. 0或2 B. 1或2 C. 0 D. 2

3. 已知向量与平行，则（    ）

A. 1 B. －1 C. 3 D. －3

4. 直线，的斜率是方程的两个根，则（    ）

A.  B.  C. 与相交但不垂直 D. 与的位置关系不确定

5. 在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论.

甲：该圆的半径为

乙：该圆经过点

丙：该圆的圆心为

丁：该圆经过点

如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 已知直线：经过定点，直线经过点，且的方向向量，则直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 正四棱柱的底面边长为2，点，分别为，的中点，且已知与所成角的大小为，则直线与平面之间的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知直线：，点是圆：内一点，若过点的圆的最短弦所在直线为，则下列说法正确的是（    ）

A. 与圆相交，且 B. 与圆相切，且

C. 与圆相离，且 D. 与圆相离，且

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，，

10. 关于直线：，以下说法正确的是（    ）

A. 直线过定点  B. 时，直线过第二，三，四象限

C. 时，直线不过第一象限 D. 原点到直线的距离的最大值为1

11. 过点的直线与圆：相交于不同的两点，，弦的中点为，曲线为点组成的集合，则（    ）

A. 的最小值为  B. 可能为等腰直角三角形

C. 曲线的方程为 D. 曲线与圆没有公共点

12. 如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为直角梯形，，，.在四棱锥中，以下结论正确的是（    ）

A. 平面平面

B.

C. 三棱锥的外接球表面积为

D. 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 直线的横截距与纵截距的和为_________.

14. 已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角棱的距离为2，则这个点到另一个面的距离为_________.

15. 点在圆上运动，直线分别与轴，轴交于，两点，面积的最大值为_________.

16. 已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点是棱上的一个动点，设点，，确定的平面为，当点为的中点时，平面截正方体的截面的面积为_________.点到平面的距离的最小值为_________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知向量，，且.

（1）求的值；

（2）若与互相垂直，求实数的值.

18.（12分）

已知直线过点，且倾斜角是直线：倾斜角的倍.

（1）求直线的方程；

（2）设直线与直线的交点为，点在直线上，若三角形的面积为，求点的坐标.

19.（12分）

已知圆：，圆过点且与圆相切于点.

（1）求圆的标准方程；

（2）若是圆上异于点的动点，，是圆的两条切线，，是切点，求四边形面积的最大值.

20.（12分）

在三棱锥中，为等边三角形，平面，将三角形绕逆时针旋转至位置（如图），且二面角的大小为.

（1）证明：，，，四点共面，且；

（2）若，设为的中点，求与平面所成角的正弦值.

21.（12分）

在边长为的正方体上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体.

（1）请在给出的正方体中画出该四面体，并证明；

（2）设的中心为，关于点的对称的四面体记为，求与的公共部分的体积.（注：到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心）

22.（12分）

已知曲线是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合.

（1）求曲线的方程；

（2）设过点的直线与交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

高二数学试题答案

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-5：DABBD 6-8：BCD

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9. BC   10. AB   11. BCD   12. ABD

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.      14.    15. 6    16. ，

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 解：（1）因为向量，，

所以，

所以，

所以；

（2）当时，

，，

因为与互相垂直，

所以，

得，

得；

当时，

，，

因为与互相垂直，

所以，

得，

得；

综上所述.

18. 解：（1）由题意知直线的倾斜角为，

所以直线的倾斜角为，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，

即；

（2）联立，

得交点坐标为，

所以得，

设点到直线的距离为，

因为三角形的面积为，所以，

得，

设，则，

得，

所以或，

所以或.

19. 解：（1）设线段的垂直平分线为，则圆心既在直线上，又在直线：上，

因为直线的斜率为，所以直线的斜率为－2，

所以直线的方程为，

联立，

得交点坐标为，

所以圆的圆心坐标为，半径为，

所以圆的标准方程为.

（2）由题意得，

因为，

所以当点在两圆心的连线上时，取得最大值或最小值，且最大值为，

所以四边形面积的最大值.

20. 证明：因为平面，

所以，

所以，又，

所以平面，

假设四点不共面，

因为平面，平面，

所以平面平面，

与平面平面矛盾，

故四点共面，

又因为，，

所以为二面角的平面角，

所以，

即，

又，

且，

所以平面；

又平面，所以.

（2）以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系；

则，，，，得，

，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，得，；

.

21.（1）如图，取，，，四点并顺次连接四点，

构成四面体，

设正方体的边长为，

则该四面体的每一条边长为，

所以证得四面体为正四面体；

（2）连接，交于点，

则为正方体的中心，

所以到正方体的各个顶点的距离相等，

故为四面体的中心，

可得关于的对称点为，关于的对称点为，

关于的对称点为，关于的对称点为，

如图所示，得到四面体为，

，

设、、分别为，，的中点，

所以.

22. 解：（1）由题意得，

化简可得.

（2）假设在轴上存在定点，使得恒为定值；

由直线与曲线交于，两点，设，，

当直线的斜率存在时，设的方程为，

联立，得，

由韦达定理得，，

所以

，

由为定值，得，即，此时，

当直线的斜率不存在时，，

当时，，

所以，在轴上存在定点，使为定值.