2022届山西省太原市第五中学高三下学期5月阶段性检测数学（理）试题含解析

太原市第五中学2021-2022学年高三下学期5月阶段性检测

数学 （理科）

一､单选题（本大题共12小题，共60分）

1.设集合，则（    ）

A.    B.   

C.    D.

2.若复数满足，则的共轭复数对应的点在（    ）

A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

3.已知向量，且，则的值为（    ）

A.    B.    C.1    D.2

4.某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（    ）

（参考数据：）

A.16    B.10    C.8    D.2

5.函数的部分图象大致为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.如图为陕西博物馆收藏的国宝一-唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线共渐近线的是（    ）

A.    B.

C.    D.

7.“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅.”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只原孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有8名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排3个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ）

A.156种    B.1000种    C.880种    D.1120种

8.已知数列的前项和为，则使“，不等式恒成立”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.或    B.或   

C.    D.

9.已知三棱柱的6个顶点全部在球的表面上，，三棱柱的侧面积为，则球表面积的最小值是（    ）

A.    B.    C.    D.

10.正实数满足，则实数之间的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

11.已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

12.已知函数，若恒成立，则的取值范围为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､填空题（本大题共4小题，共分）

13.若实数满足条件，则的最小值为__________.

14.2022年北京冬奥会､谷爱凌在女子自由式滑雪大跳台比赛中夺得冠军.而2021年12月5美国站女子自由式滑雪大跳台的比赛当时却充满悬念.中国选手谷爱凌的竞争对手主要是来自法国的TessLedeux和挪威的JohannebKilli.比赛分三轮，取最好的两个成绩的总分决出胜负，首轮比赛谷爱凌正常发挥，跳出了分的成绩，而法国的TessLedeux和挪威的JohannebKilli则分别跳出了93分和分的成绩，位居前2名，谷爱凌是否夺冠就看接下来的两轮比赛了.根据以往的比赛资料和本站参加此项目的选手情况，可以认定这个项目的前三名就锁定在这三位选手中.这时候有四位体育评论员对最终的比赛结果做出了预测：

①谷爱凌是第二名或第三名，TessLedeux不是第三名；

②TessLedeux是第一名或第二名，谷爱凌不是第一名；

③TessLedeux是第一名；

④TessLedeux不是第一名；

其中只有一位评论员预测对了，则正确的是__________（填序号）.

15.设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围__________.

16.过抛物线的准线上一点作的切线，切点分别为，设弦的中点为，则的最小值为__________.

三､解答题（本大题共7小题，共80分）

17.已知的内角的对边分别为，且，

（1）求的面积；

（2）求角的平分线的长.

在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答.

18.如图，是边长为3的等边三角形，分别在边上，且为边的中点，交于点，沿将折到的位置，使.

（1）证明：平面；

（2）若平面内的直线平面，且与边交于点，问在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，则求出点；若不存在，请说明理由.

19.为积极响应国家强化稳就业号召，我国某世界500强企业加大招聘力度，在秋季招聘结束后，又面向应届大学毕业生全面启动了2022年春季校园招聘活动.招聘方式分笔试､面试这两环节进行，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，且这几个环节能否过关相互独立.现大学有甲､乙､丙三名应届硕士研究生报名参加了该企业的春季校园招聘，并已通过该企业的资料初审.笔试环节设置两个科目，其中甲通过科目测试的概率分别为，乙通过科目测试的概率分别为，丙通过科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为.

（1）求甲､乙､丙三人中恰有一人通过笔试的概率；

（2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元，参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确；

（3）记甲､乙､丙三人被该企业录取的人数为，求的分布列和数学期望.

20.已知为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于两点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足.”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由.

21.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围.

22.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为为该曲线上一动点.

（1）当时，求的直角坐标；

（2）若射线逆时针旋转后与该曲线交于点，求面积的最大值.

23.已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若使得能成立，求实数的取值范围.

太原市第五中学2021-2022学年高三下学期5月阶段性检测

数学 试题（理科）-答案与解析

一､单选题（本大题共12小题，共60分）

1.【答案】D

【解析】解：，

，

故，

故选：D.

分别化简集合，再求补集即可.

本题考查集合的基本运算，是基本知识的考查，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：，

，

，

，

对应的点在第一象限.

故选：A.

根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算对化简，再结合共轭复数的定义和复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：向量，且，

，

，

故选：C.

由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值.

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】

【分析

本题考查正态分布的概率计算，属于基础题.

由正态分布的概率计算即可求解.

【解答】

解：，

，

故选：C.

5.【答案】B

【解析】解：函数，

，

可得为偶函数，其图象关于轴对称，

可排除选项；

由，可得，可得，

即时，；

当，可排除选项.

故选：B.

首先判断函数的奇偶性，可得图象的对称性，计算时的符号，可得结论.

本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：根据题意，双曲线经过点，

则有，解可得，

则双曲线的方程为，其渐近线方程为，

由此依次分析选项：

对于，其渐近线方程为，符合题意，

对于，其渐近线方程为，不符合题意，

对于，其渐近线方程为，不符合题意，

对于，其渐近线方程为，不符合题意，

故选：A.

根据题意，分析可得双曲线经过点，由待定系数法求出的方程，即可得其渐近线方程，依次求出选项中双曲线的渐近线方程，即可得答案.

本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：不考虑小李和小王是否在一起，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排3个人，其方法共有：种；

考虑小李和小王在一起，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排3个人，其方法共有：种；

因此要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排3个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有种.

故选：C.

不考虑小李和小王是否在一起，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排3个人，其方法共有：种；考虑小李和小王在一起，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排3个人，其方法共有：；即可得出结论.

本题考查了排列组合的应用､分类讨论方法､转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：，

，

为增数列，，

，不等式恒成立为真命题，

，

或，

或，

故选：D.

利用裂项法求出，再判断数列单调性，求出，解不等式求出或，再利用充要条件的定义判定即可.

本题考查了利用裂项法求数列的和，数列单调性的判断，充要条件的判定，属于中档题.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查简单几何体及其外接球，考查空间想象能力，是中档题.

由已知先求得球体半径的最小值，再计算表面积即可.

【解答】

解：设三棱柱的高为，

因为，所以，则该三棱柱的侧面积为，故，

设的外接圆半径为，则，设球的半径为，

则（当且仅当时，等号成立），

故球的表面积为，

故选B.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查比较大小，考查函数的零点与方程根的关系，考查指数函数的图象及其性质､对数函数图象及其性质，属于中档题.

利用指数函数图象及其性质､对数函数图象及其性质，结合函数的零点与方程根的关系，可得，，即可求解.

【解答】

解：，即，

即，

与的图象在只有一个交点，

则在只有一个根，

令，

，

，

，则；

，即，

即，

由与的图象在只有一个交点，

则在只有一个根，

令，

，

，

，故；

，即，

即，

由与的图象在只有一个交点，

则在只有一个根，

令，

，

，

，则；

故选A.

11.【答案】D

【解析】

解：方程在区间上恰有5个实根，

即在区间上恰有5个实根，

因为，所以，

作出和的图象，如图：

由图象可得，解得，

即的取值范围是.

故选：D.

根据正弦函数的图象即可求解.

本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：恒成立，，

取，则在上单调递增，取时，，

因此.

取时，，

时，，

在上单调递增，

，此时函数单调递减.

同理可得：时，，此时函数单调递增，

，

因此恒成立，

的取值范围为，

故选：C.

由恒成立，，取，可得在上单调递增，取时，，于是.取时，，利用导数研究其单调性即可得出结论.

本题考查了利用导数硎究函数的单调性极值与最值､取特殊值法､分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

二､填空题（本大题共4小题，共分）

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】

解：由约束条件作出可行域如图，

由图可得，

令，得，由图可知，当直线过时，

直线在轴上的截距最大，有最小值为，

故答案为：.

14.【答案】④

【解析】解：由题意，假设①正确，则②③④错误，因为③和④错误，相互矛盾，所以假设错误，即①不正确；

同理可得②不正确；假设③正确，则①②④错误，因为①错误，所以TessLedeux是第三名，这与③TessLedeux是第一名矛盾，所以假设错误，即③不正确；

假设④正确，则①②③错误，即谷爱凌不是第二名且不是第三名，TessLedeux是第三名；TessLedeux不是第一名且不是第二名，谷爱凌是第一名；TessLedeux不是第一名，符合题意.

综上，正确的是④.

故答案为：④.

由题意，分别假设①正确，②正确，③正确和④正确，进行逻辑推理即可得答案.

本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于中档题.

15.【答案】

【解析】解：函数的图象如图所

示，结合图象易得

当时，

.

故答案为：.

函数的图象如图所示，结合图象

易得答案本题考查了函数的值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题.

16.【答案】2

【解析】解：设点，由，知，则，

所以过点的切线方程为，

将点代入，化简得，

同理可得，

所以是关于的方程的两个根，

由根与系数的关系知，

所以，即中点的横坐标为，

而点的横坐标也为，所以直线与轴平行.

点，则，

当时，.

故答案为：2.

设点，由，知，则，然后求解切线方程，通过，是关于的方程的两个根，可得直线与轴平行.点，求解可得的最小值.

本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题.

三､解答题（本大题共7小题，共80分）

17.【答案】

解：（1）选①：因为，所以，

又，所以，所以

所以.

选②：因为，所以由正弦定理可得，

所以，

由正弦定理可得，所以，

由余弦定理可得，，

由，所以，所以.

选③：

因为，所以，

由，所以，

由余弦定理可得，，

所以，

所以.

（2）选①：由余弦定理可得，，所以.

所以，

由，所以，

因为，

所以可解得.

选②：因为，

所以可解得.

选③：因为，

所以可解得.

【解析】（1）选①：由平面向量数量积的定义化简已知等式可求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积；

选②：由正弦定理得化简即可求得，再由余弦定理求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积：

选③：由倍角公式化简已知等式可得，即可求得，再由余弦定理求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积.

（2）选①：由余弦定理求得，再由余弦定理求得，即可求得，是后由可解得

选②：由即可解得；

选④：由即可解得.

本题考查了平面向量数量积的定义，三角形面积公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.【答案】

解：（1）证明：在中，由题意，

，

，

为中点，，

平面，

平面.

（2）连接，过作，交于，

平面平面平面，

四边形是平行四边形，，

如图，建立空间直角坐标系，设

，

，

，

平面的法向量，

设平面的法向量，

则，取，得，

在线段上存在点，使二面角的大小为，

，解得（舍）或，

此时，，

在线段上存在点，使二面角的大小为点坐标为.

【解析】（1）先由勾股定理证明，再推导出，能证明平面.

（2）连接，过作，交于，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线､线面､面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19.【答案】

解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，

则，

（1）甲､乙､丙三人中恰有一人笔试合格的概率为

.

（2）若这三名同学获得180元的总奖金，则表明他们三人都末进人面试，故所求的概率为，

若这三名同学获得总奖金为480元，则表明他们三人都进入了面试，故所求的概率为

因为，所以丁同学的说法错误.

（3）甲被录取的概率为，

乙被录取的概率为，

丙被录取的概率为.

由题意可知，的取值范围为，

所以的分布列如下表：

所以数学期望.

【解析】（1）利用相互独立事件求出概率即可，

（2）求出三名同学获得奖金数，求出概率，再判断即可，

（3）求出三人被录取的概率，再求可能的取值，再求概率与分布列即可.

本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题.

20.【答案】

解：（1）根据椭圆的定义，可得，

的周长为，得，所以，椭圆的方程为：，

将点代入椭圆的方程可得，所以椭圆的方程为.

（2）由（1）可知，得，

依题意可知直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，

由消去，整理得，

设，则，

不妨设，

同理，

所以

，

即，

所以存在实数，

使得成立.

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题.

（1）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出，设出阱圆方程，代入点的坐标求解即可点的椭圆方程.

（2）求出，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，整理得，设，利用韦达定理，不妨设，求出，通过，转化求解，推出，即可求解.

21.【答案】

解：（1）函数的定义域是，且，

当时，，此时的单调递增区间是，无单调减区间；

当时，令，解得，此时的单调递增区间为，

令，解得，此时的单调递减区间为.

（2）不等式在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

即在区间上恒成立；

设，

则，且，

因为，

令，则，

则

，

当时，（不恒为0，

所以在上单调递减；

所以当时，，符合题意；

当时，，

因为的图象是不间断的，

所以存在，使得对任意的，总有，

所以在区间上单调递增，所以对任意的，总有，这与题设矛盾，

综上知，实数的取值范围是.

【解析】（1）求出函数的定义域和导数，讨论的取值范围，利用导数判断函数的单调性；

（2）问题转化为在区间上恒成立，设，求的导数，利用导数判断函数的单调性，讨论的取值情况，从而求出不等式恒成立时实数的取值范围.

本题考查了利用导数研究函数的单调性与求函数极值､最值的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题.

22.【答案】

解：（1）因为，所以，

因为，所以或，

所以的极坐标为或，

故的直角坐标为或.

（2）设，则.

因为，

所以

.

令，

则.

所以，

当时，有最大值，

此时，

故的最大值为.

【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

23.【答案】

解：（1）当，

①当时，可得，

②当时，可得，

③当时，可得，

综上，不等式的解集为.

（2）依题意，，

又，故，

令，

画出函数的图象如下，

结合的图象知，，

的取值范围为.

【解析】（1）利用零点分段法求出不等式解集即可.

（2）由绝对值的定义化为，再画出函数的图象，从而求得实数的取值范围.

本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式成立问题，是中档题.