巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（三）数学试卷及参考

巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（三）

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

【解析】

1．，故选D．

2．，故选B．

3．，，故选C．

4．令，这样 ，所以的图象关于点对称，故选C．

5．设，则，所以，所以站台高度，故选A．

6．，故选D．

7．，AD为的角平分线， ，，故选B．

8．如图1，由双曲线的定义知，，，，而，设，在中，由余弦定理知：， ．因为，在中，由余弦定理有：，故选A．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

【解析】

9．A．由得不出或，所以错误；B．由，所以正确；C．由，所以正确；D．由，同向得：，所以正确，故选BCD．

10．，而，所以A，B正确；，取最大值时，或，所以C错误；，所以D正确，故选ABD．

11．A．时，，而，所以在处的切线方程是，正确；由于始终有，所以B错误；C．时，，，而时，，所以在有唯一零点，显然在有唯一零点，所以正确；D. 时，同样有，此时，令，此时，，所以在有一零点，又，所以错误，故选AC．

12．在等腰中，， ， ，， ，，，所以A错误；，令显然，所以B正确； 当 时，，所以C正确，故选BC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．设第项为常数项，则为常数项，所以，．

14．，．

15．取，的中点分别为E，F，在等腰梯形ABCD中易算得： 外接球的球心O是EF的中点，，， ．

16．，为R上的偶函数，为R上的偶函数，又有且只有一个零点，或，当时，，显然，当且时， ，此时只有这个零点，符合题意；当时，，， ，在内至少还有一个零点，与题意不合，舍去，所以．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：（1）

． …………………………………………………………（5分）

（2）． ………………（10分）

18．（本小题满分12分）

（1）证明：

． ……………………………………（6分）

（2）解：

而，

． ……………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（1）列联表如下：

 …………………………………………………………………………（3分）

由公式得： ，

所以认为喜爱马拉松项目与性别无关．   ………………………………………（6分）

（2）易得：采取分层抽样方法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中抽取10人中有6名男士，4名女士；

从10人中抽取4人有1名女士的概率：，

从10人中抽取4人没有女士的概率：，

所以从10人中抽到的4人中至少有2名女士的概率：．

  ………………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（1）证明：连接，

因为平面，所以．

又因为，，所以平面，

所以，．

由二面角的定义可知：即为截面与底面所成的二面角．

又因为，所以，即．

又因为，所以平面，证毕． …………………………（5分）

（2）解：由（1）知：可以为坐标原点，向量，，所在方向为轴，轴，轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，

由题可知：，，，，

所以，，，

设平面和平面的法向量分别为，，

则有可得

令，得，，所以，

则有可得

令，得，，所以，

设平面与平面夹角的大小为，

则． …………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（1）解：由题可知：解得

所以椭圆的标准方程为． …………………………………（4分）

（2）证明：设直线的方程为，点，，

联立得：，

化简得：，

由于直线所过点在椭圆内部，所以直线与椭圆必相交，即，

所以由韦达定理得：易得：

 …………………………………………………………………（7分）

又因为，，所以直线的方程为，

又因为，，所以直线的方程为，

联立直线与得：，

 …………………………………………………………………（9分）

解得：

，即点的横坐标为4，

同理：点的横坐标也为4，即为直线，

所以轴，证毕．  …………………………………………………（12分）

22．（本小题满分12分）

（1）解：由题可知：的定义域为，

导函数． ……………………（1分）

①当时，易得：，

从而当时，；当时，，

所以在上单减，上单增；

②当时，由可得：或，

．当时，即时，恒成立，

所以在上单增；

．当时，即时，从而当时，；

当时，；当时，，

所以在上单增，上单减，上单增；

．当时，即时，从而当时，；

当时，；当时，；

所以在上单增，上单减，上单增．

综上：①当时，在上单减，上单增；

②当时，在上单增，上单减，上单增；

③当时，在上单增；

④当时，在上单增，上单减，上单增．

 …………………………………………………………………（5分）

（2）证明：由（1）知：若存在极小值，则或，

①当时，在上单增，上单减，上单增，

易得：，而，所以不符合题意，舍去；

 …………………………………………………………………（6分）

②当时，在上单增，上单减，上单增，

易得：，

得到：，

令，则有，得到，

        ………………………………………………………………………（8分）

令，则，

从而得到在上单增，上单减，

又因为，所以，

令，，

则

，

所以在上单增，从而，

得到：，即，

又因为，所以，

又因为在上单减，所以，

从而，即，证毕． …………………………………（12分）