2021-2022学年天津市河东区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市河东区九年级（上）期末数学试卷

1.     方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

2.     方程化为一般形式后，常数项为(    )

A. 6 B.  C. 2 D.

3.     点关于原点O的对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.     对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 开口向上 B. 对称轴是直线
C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为

6.     把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是(    )

A.  B.
C.  D.

7.     如图，AB为的直径，C、D为上两点，，，则AB的长度为(    )

A. 6
B. 3
C. 9
D. 12

8.     下列说法正确的是(    )

A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是
B. 某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖
C. 掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同
D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率

9.     如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将绕A点按逆时针方向旋转，则旋转后点C的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若点，，都在反比例函数为常数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 抛物线的图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为(    )

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④

13. 若m是方程的一个根，则的值为______.
14. 一个袋中有形状材料均相同的白球2个、红球3个，任意摸一个球是红球的概率______.
15. 如图，半径为2的与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为______.

16. 抛物线的图象与x轴交点的个数是______.
17. 有七张正面分别标有数字，，，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且使反比例函数的图象分布在一、三象限的概率是______.
18. 如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形使在正方形内，连OE，若，则OE的最大值为______

19. 解方程．
    ；
     
20. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．
    请用列表法或画树状图法，求两位老师所有可能出现的支付方式；
    求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．
21. 如图，BE是的直径，点A和点D是上的两点，过点A作的切线交BE延长线于点
    若，求的度数；
    若，，直接写出AC的长．

22. 已知二次函数的图象经过点，
    试确定此二次函数的解析式；
    请你判断点是否在这个二次函数的图象上？
23. 某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量件与售价元/件满足如图所示的函数关系其中，且x为整数
    直接写出y与x的函数关系式；
    当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

24. 将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接
    如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接
    ①求证：BE平分
    ②取BC的中点P，连接PH，求证：
    ③若，求BG的长．
    若点A，E，D第二次在同一直线上，，直接写出点D到BG的距离．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点A，与x轴交于点E、且点，，点P为抛物线上的一动点．
    
    求二次函数的解析式；
    如图1，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，若点P在AC的上方，作PD平行于y轴交AB于点D，连接PA，PC，当时，求点P坐标；
    设抛物线的对称轴与AB交于点M，点Q在直线AB上，当以点M、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，
移项得，
提公因式得，
解得，
故选：
利用提公因式法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程．解题的关键是因式分解的应用．
 

2.【答案】C 

【解析】解：，
，
常数项为2，
故选：
首先利用多项式乘法计算方程的左边，可化为，进而可得到常数项．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

3.【答案】B 

【解析】解：点关于原点O的对称点的坐标是
故选：
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
 

5.【答案】B 

【解析】解：由得抛物线开口向下，
对称轴为直线，顶点坐标为，
时y随x增大而增大，
时y随x增大而减小．
故选：
根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随的增大而减小．
本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质．
 

6.【答案】C 

【解析】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是：
故选：
按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
 

7.【答案】C 

【解析】解：如图，连接

为的直径，
，
，，
，
故选：
连接AC，由圆周角定理得，，再由含角的直角三角形的性质求解即可．
本题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是，此选项错误，不符合题意；
B.某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票不一定会中奖，原命题说法是错误的，此选项不符合题意；
C.连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率是，“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率是，此选项错误，不符合题意；
D.通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此选项符合题意；
故选：
根据概率的意义以及随机事件和必然事件的定义对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查概率公式和列表法与树状图法，解题的关键是掌握概率的意义与概率公式及树状图法与列表法求概率．
 

9.【答案】B 

【解析】解：观察图像，可知，

故选：
利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点，可得结论．
本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

10.【答案】D 

【解析】解：，
反比例函数为常数的图象在第一、三象限，
在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
，
，
，
，
故选：
根据反比例函数的图象与性质即可得出答案．
本题考查了反比例函数图象上点的特征，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
 

11.【答案】C 

【解析】解：由反比例函数与一次函数可知，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限，
故选：
根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限，据此即可选
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
 

12.【答案】D 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴，
，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
，
，故①错误；
抛物线与x轴的交点，对称轴为直线，
抛物线x轴的另一个交点在，
当时，，即②正确；
由图象无法判断y的最大值，故③错误；
方程的根的个数，可看作二次函数与的图象的交点个数，
由图象可知，必然有2个交点，即方程有2个不相等的实数根．
故④正确．
故选：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系；当时，；然后由图象确定当时，x的值有2个．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，函数思想，数形结合等．关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右，简称：左同右异；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于
 

13.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，




故答案为：
由已知可得，再化简所求代数为，即可求解．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：从袋中任意摸一个球共有5种等可能结果，其中任意摸一个球是红球的有3种结果，
所以任意摸一个球是红球的概率为，
故答案为：
根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接OB，OD，
五边形ABCDE是正五边形，

、DE与相切，
，
，
劣弧BD的长为，
故答案为：
根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出的度数，根据弧长的公式即可得到结论．
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
 

16.【答案】1 

【解析】解：中，
抛物线与x轴有1个交点，
故答案为：
通过判别式求解．
本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握抛物线与x轴交点个数与之间的关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：令且，
解得：且，
使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的数有1，2，
反比例函数的图象分布在一、三象限，
，
，
符合题意的数字为1，2，0，，，，
满足一元二次方程和反比例函数图像的要求的a值只有1，2，
该事件的概率为
故答案为：
令根的判别式可求出使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的a的值，利用反比例函数的性质得出，求得符合题意的数字为1，2，再利用随机事件的概率=事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数即可求出结论．
本题考查了概率公式、根的判别式以及反比例函数的性质，利用根的判别式及反比例函数的性质，找出使得事件成立的a的值是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与交于点M，连接CM，BM，
四边形BCDE是正方形，
，，
，
，
，即，
≌，
，
根据旋转的性质，观察图形可知当时，DO最长，即OE最长，
，
，
四边形BCDE是正方形，
、M、E共线，，
在和中，
，
≌，
，
的最大值，即OE的最大值；
故答案为：
如图，连接OD，OE，OC，设DO与交于点M，连接CM，BM，通过≌，可得，通过旋转观察如图可知当时，DO最长，此时OE最长，设DO与交于点M，连接CM，先证明≌，得再利用勾股定理计算即可．
本题考查正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
则，
或，
解得， 

【解析】利用因式分解法解方程．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，
列表如下：

共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，
马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为 

【解析】把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果；
共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：如图，连接OA，

是的切线，OA是的半径，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为r，
，

解得：，
，
 

【解析】连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
根据直角三角形的性质先求出半径，然后利用含30度角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．
 

22.【答案】解：由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为；
当时，，
点在这个二次函数的图象上． 

【解析】根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
把代入函数解析式计算，判断即可．
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．
 

23.【答案】解：与x的函数关系式为；
设获得的利润为w元，
①当时，，
，
当时，w有最大值，最大值为4000元；
②当时，，
，
当时，w随x的增大而增大，
当时，w有最大，最大值为元，
，
综上所述，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元． 

【解析】解：设线段AB的表达式为，
将点、代入上式，
得，
解得，
线段AB的表达式为，
设线段BC的表达式为，
将点、代入上式，
得，
解得，
线段BC的表达式为，
与x的函数关系式为；
见答案；

本题考查了二次函数在实际生活中的应用.
先设出一次函数关系式，分和两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；
设获得的利润为w元，分①当时和②当时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．
 

24.【答案】①证明：矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，
，
，
又，
，
，
平分；
②证明：如图1，过点B作CE的垂线BQ，
平分，，，
，
，
，，，
≌，
，
即点H是BG中点，
又点P是BC中点，
；
③解：如图2，过点G作BC的垂线GM，
，
，
，
，
，
，
，，
；
解：如图3，连接DB，DG，过G作交BC的延长线于P，交DC的延长线于N，
，
，
将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，
，，
点A，E，D第二次在同一直线上，
，
，
，
，
，，
，，
，，
 

【解析】①根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
②如图1，过点B作CE的垂线BQ，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
③如图2，过点G作BC的垂线GM，解直角三角形即可得到结论．
如图3，连接DB，DG，过G作交BC的延长线于P，交DC的延长线于N，根据旋转的性质得到，，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点，分别代入得，
，
，
二次函数的解析式为；
轴，点，
当时，，
，，
，
，
设直线AB的解析式为，
将，分别代入得，
，
解得，
直线AB的解析式为；
设点P的横坐标为t，则，，
，
，
，
函数，当时，有，
，，
，
，
又，
，
，
，
解得：，，
或；
抛物线的对称轴与交于点M，
，
设，，
若，四边形EMPQ为平行四边形，
，
解得或，
或；
若，四边形EMQP为平行四边形，同理求出；
若EM为对角线，则，
解得不合题意舍去或不合题意舍去，
综合以上可得出点Q的坐标为或或 

【解析】由点A，B坐标用待定系数法可求出抛物线解析式；
设点P的横坐标为t，则，，求出，，由题意得出方程求出t即可得出答案；
分EM为边和为对角线两种情况进行求解：①当EM为平行四边形的边时，由建立方程求解；②当EM为对角线时，由EM与PQ互相平分建立方程组求解即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，四边形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点Q的坐标时，分类讨论是解本题的难点．