【备战2023高考】数学专题讲与练-考向26《数列通项公式的多种妙解方式》（十六大经典题型）全能练（新高考地区专用）

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考向26 数列通项公式的多种妙解方式

经典题型一：观察法
经典题型二：叠加法
经典题型三：叠乘法
经典题型四：待定系数法
经典题型五：同除以指数
经典题型六：取倒数法
经典题型七：取对数法
经典题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
经典题型九：周期数列
经典题型十：前n项积型
经典题型十一：“和”型求通项
经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
经典题型十三：因式分解型求通项
经典题型十四：其他几类特殊数列求通项
经典题型十五：双数列问题
经典题型十六：通过递推关系求通项

（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；
（2） ∴
（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．

类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式

（1）若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
（2）在数列中，若最大，则若最小，则

经典题型一：观察法
1．（2022·全国·高三专题练习）数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将可以写成，
所以的通项公式为；
故选:C
2．（2022·全国·高三专题练习（文））如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（       ）

A．2n B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1，3，5，7，9，…，它们成等差数列，通项为，
所以第n行的首尾两个数均为.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.

【答案】
【解析】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，
则周长之间的关系为，
所以{}是公比为的等比数列，而首项，所以，
当时，“雪花”状多边形的周长为.
故答案为：
经典题型二：叠加法
4．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，.若，求数列的通项公式.
【解析】由题意， ，得：   ，运用累加法：
，
，即，，
当时，，，
当时，成立，
所以
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式；
【解析】因为，所以，
，…，所以累加可得．
又，所以，所以．
经检验，，也符合上式，所以．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，中，（n∈N*）中，则________， ________.
【答案】     7    
【解析】依题意，，，，而，
则，
而满足上式，所以，.
故答案为：7；
经典题型三：叠乘法
7．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.
【答案】
【解析】由，得，
则，
，
，

，
累乘得，
所以.
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________
【答案】
【解析】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又满足上式，∴.
故答案为：.
9．（2022·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
经典题型四：待定系数法
10．（多选题）（2022·广东惠州·高三阶段练习）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（       ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】AB
【解析】∵，可得，
又
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；
则，∴，故C错误；
则，故A正确；
∴，故D错误.
故选：AB.
11．（2022·河南安阳·三模（文））已知数列满足，且前8项和为506，则___________.
【答案】
【解析】由题意得：

，即
数列是以为首项，为公比的等比数列，记数列的前项和为

解得：
故答案为：
12．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前10项和．
【解析】(1)当时，，即，解得；
当时，∵，∴，
两式作差得，
即，
∴，又，
∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，

(2)∵，
则




．
13．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，．
(1)求证：为等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）因为，，
所以，即
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
（2）由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
即，所以；
14．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.
（2）由（1）得，则，①当时，②当时，，综上所述，
经典题型五：同除以指数
15．（2022·广东·模拟预测）已知数列中，且，
(1)求证：数列是等比数列；
(2)从条件①，②中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答．
求数列______的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)因为且，
所以当时，，
所以，即
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，
因为，时，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)选①：因为，所以，
则


选②：因为，所以，则（i）
（ii）
（i）（ii）得

16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
【解析】由两边同除以得，令，
则，设，解得，
，而，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，得
17．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则的值为(       )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】∵，，∴，解得.
∵，∴，两式相减得，，
∴，
∴是以＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴，两边同除以，则，
∴是以为公差，为首项的等差数列，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
经典题型六：取倒数法
18．（2022·全国·高三竞赛）数列满足，．则通项______．
【答案】
【解析】∵，
∴．
即．
故答案为
19．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________
【答案】
【解析】由两边取倒数可得，即
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，
所以；
故答案为：
20．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，，则下列结论错误的是（       ）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】D
【解析】由，且，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，，所以，且，
所以，数列是等差数列，且该数列的首项为，公差为，
所以，，则，其中，C对；
，所以，数列是等比数列，B对；
由等差中项的性质可得，A对；
由上可知，则，，
所以，，D错.
故选：D.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，又，
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．
所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；
故选：C
经典题型七：取对数法
22．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令，则___________，___________.
【答案】     14    
【解析】设第次构造后得到的数列为1，，，…，，2.则，
则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，，2.
则，∴，
∴，又∵，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，，.
故答案为：；
23．（2022·全国·高三专题练习（文））英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______．
【答案】
【解析】∵，∴，
又∵，
∴，，
∴，
又
∴，
又，且，
所以，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴的前项和为，则.
故答案为：.
经典题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
24．（2022·江苏南通·高三开学考试）从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，___________.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.
【解析】（1）若选择①，因为，所以，
两式相减得，整理得,
即，所以为常数列，而，所以；
若选择②，因为，所以，
两式相减，
得，
因为，
所以是等差数列，所以；
若选择③，由变形得，，
所以，
由题意知，所以，所以为等差数列，
又，所以，
又时，也满足上式，所以；
（2）若选择①或②，，
所以
所以，
两式相减得
，
则，故要使得，即，整理得，，
当时，，所以不存在，使得.
若选择③，依题意，，
所以，
故，
两式相减得：

，则，令，则，
即，令，则，
当时，，
又，故，
综上，使得成立的最小正整数的值为5.
25．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））记各项均为正数的等比数列的前项和是，已.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为.
因为，
所以当时，，解得；
当时，，则.
因为是等比数列，所以，即，
整理得，解得（舍去）或.
所以，
所以.
（2）由（1）得，
所以①
则②
①-②得

所以.
26．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，，. 求证：数列是等差数列.
【解析】，，则，所以，
有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
经典题型九：周期数列
27．（2022·上海中学高二期末）数列满足，则_________.
【答案】.
【解析】由题干中递推公式，可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
数列是以6为最小正周期的周期数列．
，
．
故答案为.
28．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
【答案】
【解析】由题意知：，
故是周期为3的周期数列，则.
故答案为：.
29．（2022·河南·模拟预测（文））设数列满足且，则（       ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】由题意可得：，，
，，
据此可得数列是周期为4的周期数列，
则.
故选：D
30．（2022·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（       ）
A． B． C．180 D．240
【答案】D
【解析】当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，.
，.
故选：D
经典题型十：前n项积型
31．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项积为，且.
(1)求证数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【解析】(1)因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
(2)由（1）知数列，则由得，
所以，
所以
.
32．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前项积，已知，则= （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】则，代入，
化简得：，则.
故选:C.
33．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知，则___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，（），（）,
又因为，当n=1时，得       ，所以，
当时， ，
即，
所以是等差数列，首项为，公差，
所以，
所以，满足       ，
故，
即＝，
所以＝（），
两式相除得：，
所以（），
所以＝－＝，
所以.
故答案为：.
经典题型十一：“和”型求通项
34．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）在数列中，，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，且数列的前项n和为，证明：.
【解析】（1）因为，
所以当，
两式相减，得，即，
当时，，
所以当时，，
所以当时，，
当时，上式成立；当时，上式不成立，
所以
（2）证明：由（1）知
当时，，
所以当，；
当时，
.
综上，.
35．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（       ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【答案】B
【解析】由得，
∴为等比数列，∴，
∴，，
∴，
①为奇数时，，；
②为偶数时，，，
∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解，
综上所述，.
故选：B.
36．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8 B．6 C．－5 D．4
【答案】C
【解析】对于，
当时有，即
，
，
两式相减得：
，
由可得

即从第二项起是等比数列，
所以，
即，
则，故，
由可得，
故选C.
经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
37．（2022·河南·高二阶段练习（文））数列满足，则___________.
【答案】
【解析】∵，∴，得，∵，∴，所以的偶数项构成等差数列，首项为，公差为，∴.
故答案为：
38．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，
所以，，
当为偶数时，，则，两式相减得，
所以，，
故，
故选：D.
39．（2022·广东·高三开学考试）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项的和.
【解析】（1）当为奇数时，，
所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，
所以，
当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；
（2）.
40．数列满足，前16项和为540，则　　．
【解析】解：因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
41．（2022•夏津县校级开学）数列满足，前16项和为508，则　　．
【解析】解：由，
当为奇数时，有，
可得，

，
累加可得；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．
．
，
，即．
故答案为：3．
经典题型十三：因式分解型求通项
42．（2022秋•安徽月考）已知正项数列满足：，，．
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．
【解析】解：（Ⅰ），，
又数列为正项数列，
，
①当时，数列不是等比数列；
②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，
，
．
43．（2022•怀化模拟）已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．
【解析】解：（1），，，
可得，
则，
数列为首项为1，公比为2的等比数列，
可得；
，
，；
（2）数列为等差数列，理由：，
则数列为首项为0，公差为1的等差数列；
（3），
前项和为．
44．（2022秋•仓山区校级月考）已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．
【解析】证明：由，
变形得：，
由于为正项数列，，
利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，
从而．
经典题型十四：其他几类特殊数列求通项
45．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【解析】（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；
（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.
46．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列满足，且.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】(1)因为
所以
又因为
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以
变形得
所以是以为首项，1为公差的等差数列
所以，所以
(2)因为…①
所以…②
①-②得：
所以
47．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））设数列的前n项和为，满足，则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为数列的前n项和为，满足，
所以当时， ，解得或，
当时，，整理得，
所以数列是以1为公差的等差数列，
当时，，所以或
所以，首项满足此式，或首项满足此式，
所以或，
所以CD错误，
当时，
，
当时，
，
所以A正确，B错误，
故选：A
经典题型十五：双数列问题
48．（2022·全国·高三专题练习）若数列和满足，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为， ，
所以，即，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故选：C
49．（2022·浙江·嘉兴一中高一期中）数列满足，则_____.
【答案】.     
【解析】由条件得，
又，
∴数列是首项为3，公差为2的等差数列，
∴．
又由条件得，且，
∴数列是首项为1，公比为的等比数列，
∴．
∴，，
∴．
50．（2022·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，，则______，______．
【答案】         
【解析】由题设，，则，而，
所以是首项、公比均为2的等比数列，故，
，则，
令，则，
故，而，
所以是常数列，且，则.
故答案为：，.
经典题型十六：通过递推关系求通项
51．（2022·全国·模拟预测）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（       ）
A．127 B．256 C．341 D．512
【答案】C
【解析】由观察可得若时，当n为奇数时，，当n为偶数时，，
∴当n为奇数时，，
∴,
又，∴，∴，
故选:C．
52．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又满足上式，所以，故A错误；
则，
得，故B正确；
有，故C正确；
由，
得，
故D正确.
故选：BCD.
53．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则_________；该棋手获胜的概率为__________．
【答案】
【解析】由题，因为，故，由，所以，累加可得：．
故答案为：；.
54．（2022·广东佛山·三模）某挑战游戏经过大量实验，对每一道试题设置相应的难度，根据需要，电脑系统自动调出相应难度的试题给挑战者挑战，现将试题难度近似当做挑战成功的概率．已知某挑战者第一次挑战成功的概率为，从第二次挑战开始，若前一次挑战成功，则下一次挑战成功的概率为；若前一次挑战失败，则下一次挑战成功的概率为．记第次挑战成功的概率为．则________；________．
【答案】          ，
【解析】表示第2次挑战成功的概率，
则可能为第一次挑战成功，第二次挑战成功，或第一次挑战失败，第二次挑战成功，
所以.
设第n-1次挑战成功的概率为，
则
所以，即，
又
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
故答案为：；，

1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
2．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
故选：D.
3．（2021·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
4．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3；     ②为等比数列；
③为递减数列；            ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；
（2） ∴
6．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．
7．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得

，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.