2023南京江宁区高三上学期学情调研数学试卷含答案

高三阶段性学情调研

数 学 试 题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 若集合，则(    )

 A．  B．  C．   D．

2． 设复数满足，则(    )

 A．    B．    C．    D．

3． 在的二项展开式中，常数项为(    )

 A．    B．    C．    D．

5． 函数的图象大致为(    )

         A                   B                   C                   D

6． 若，则(   )

 A．    B．    C．    D．

7． 已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则(   )

 A．    B．    C．    D．2

8． 设，，，则(   )

 A．   B．   C．   D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9． 下列命题为真命题的是(   )

 A．                  B．“”是“”的充分条件

 C．若，则         D．若，，则

10．已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是(   )

 A．                  B．当且仅当时，取得最大值

 C．                       D．

11．已知函数的最小正周期为，且对于 恒成立，则(   )

 A．在区间单调递减             

 B．在区间有两个零点

 C．是曲线的一个对称中心   

 D．当时，函数取得极值

12．已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则(   )

 A．是奇函数                            B．是偶函数 

 C． 是曲线的一个对称中心      D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设函数则______．

14．在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正

弦值为______．

15．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若

，则______．

16．设圆锥的底面半径为2，母线长为，若正四棱柱上底面的4个顶点在其母线上，下底面的4个顶点在其底面圆内，则该正四棱柱体积的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，.

    (1)求的值；

    (2) D为边的中点，若，求的面积．

18．(本小题满分12分)

 已知等差数列的前项和为，且,．

    (1)求数列的通项公式；

    (2)设，求数列的前项和．

19．(本小题满分12分)

 随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，为此某市建立了共享电动车服务系统，共享电动车是一种新的交通工具，这是新时代下共享经济的促成成果.目前来看，共享电动车的收费方式通过客户端软件和在线支付工具完成付费流程，从开锁到还车所用的时间称为一次租用时间，具体计费标准如下：

①租用时间30分钟2元，不足30分钟按2元计算；

②租用时间为30分钟以上且不超过40分钟，按4元计算；

③租用时间为40分钟以上且不超过50分钟，按6元计算

    甲、乙两人独立出行，各租用公共电动车一次，租用时间都不会超过50分钟，两人租用时间的概率如下表：

若甲、乙租用时间相同的概率为.

(1)求，的值；

(2)设甲、乙两人所付费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.

20．(本小题满分12分)

 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面 底面，，且，是的中点．

    (1)求证：平面；

    (2)求二面角的正弦值．

21．(本小题满分12分)

 已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到 的一条渐近线的距离为．

    (1)求双曲线的方程；

 (2)直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．

22．(本小题满分12分)

 已知函数，曲线在点处的切线方程为．

    (1)求的值；

  (2)记表示不超过实数的最大整数，若对任意恒成立，求的值．