初中数学北师大版九年级下册第三章 圆综合与测试单元测试同步练习题

北师大新版九年级下册《第3章圆》2022年单元测试卷

一、单选题（本大题共14小题，共42分）

1.（3分）下列语句中，正确的是

A. 长度相等的弧是等弧
B. 在同一平面上的三点确定一个圆
C. 三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点
D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等

2.（3分）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径
 

A.  B.  C.  D.

3.（3分）如图，是的直径，是弦，，则的度数是
 

A.  B.  C.  D.

4.（3分）如图，五边形内接于，若，则的度数是
 

A.  B.  C.  D.

5.（3分）如图，平面直角坐标系中，已知，为中点，以为圆心，为半径作，则下列判断正确的有 
①点在外；②点在上；③轴与相离；④轴与相切．
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.（3分）已知的外心为，连接，若，则的度数为
 

A.  B.  C.  D.

7.（3分）已知的直径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切

8.（3分）如图，、是圆的切线，切点分别为、，若，，则的长为
 

A.  B.  C.  D.

9.（3分）如图，已知是的直径，弦与交于点，设，，，则
 

A.  B.
C.  D.

10.（3分）平面直角坐标系中，点，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，点的坐标为

A.  B.
C.  D.

11.（3分）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为，若，，则等于
 

A.  B.  C.  D.

12.（3分）如图，过点作半径为的的切线，切点分别为，，若，则
 

A.  B.  C.  D.

13.（3分）如图，正方形内接于，点在劣弧上，连接，交于点若，则的值为
 

A.  B.  C.  D.

14.（3分）如图，中，于点，点在上，，，则的半径等于
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

15.（3分）如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点，若，，则的度数为               度．

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴交于、两点，与轴相切于点，则点的坐标是__________．
 

17.（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点． 
线段的长度等于 ______； 
请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的． 
______.
 

18.（3分）如图，、、分别切于、、，的半径为，的长为，则的周长是______．
 

19.（3分）如图，、是的两条切线，、为切点，若，，则的直径等于______.
 

20.（3分）如图，中，，，，为半圆的直径，将沿射线方向平移得到当与半圆相切于点时，平移的距离的长为______．
 

三、解答题（本大题共5小题，共40分）

21.（8分）已知：如图，的直径，． 
 

求的长；

若于，求的长．

22.（8分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米． 
求圆弧所在的圆的半径的长； 
当洪水泛滥到跨度只有米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有米，即米时，是否要采取紧急措施？
 

23.（8分）如图，已知为的直径，为的弦，为弧的中点，连接交于点，连接、，过点作直线交的延长线于点，且 
求证：直线是的切线； 
若，，求的周长．
 

24.（8分）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点 
求证：直线是的切线； 
若，，求的长．
 

25.（8分）如图，以为直径的外接于，过点的切线与的延长线交于点，的平分线分别交，于点，，其中，的长是一元二次方程的两个实数根． 
求证：； 
在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．
 

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：、能完全重合的弧才是等弧，故错误； 
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； 
C、三角形的内心到三边的距离相等，是三条角平分线的交点，故错误； 
D、三角形的外心是外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，故正确； 
故选：． 
根据圆的有关概念、确定圆的条件及三角形与其外心和内心之间的关系解得即可． 
该题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，必须掌握．
 

2.【答案】D;

【解析】解：，由垂径定理得米，  
设圆的半径为，则结合勾股定理得，  
即，  
解得米．  
故选D． 
根据垂径定理和勾股定理可得．  
考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．
 

3.【答案】C;

【解析】解：是直径， 
， 
， 
， 
， 
故选： 
求出，利用圆周角定理，可得结论． 
此题主要考查圆周角定理，解答该题的关键是圆周角定理，属于中考常考题型．
 

4.【答案】B;

【解析】解：如图，连接， 
五边形是圆内接五边形， 
四边形是圆内接四边形， 
， 
， 
． 
故选：． 
连接，根据圆内接四边形对角互补可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后求解即可． 
该题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解答该题的关键．

 

5.【答案】C;

【解析】解：过点作轴于，作轴于， 
， 
，， 
在中，根据勾股定理可得， 
为中点， 
， 
的半径是， 
①点在外； 
②点在内； 
③轴与相离； 
④轴与相切． 
故正确的有个． 
故选： 
过点作轴于，作轴于，根据勾股定理可求，根据中点的定义可得，再根据点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系即可求解． 
此题主要考查了直线和圆的位置关系，坐标与图形性质，点与圆的位置关系，直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和相交；直线和相切；直线和相离也考查了勾股定理的知识．

 

6.【答案】D;

【解析】解：点为的外心， 
， 
，， 
， 
， 
故选： 
连接，根据圆周角定理得出即可得到结果． 
此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理，清楚外心是三角形外接圆圆心、圆周角定理是解决此题的关键．
 

7.【答案】B;

【解析】解：的直径为， 
的半径为， 
圆心到直线的距离为， 
， 
与直线的位置关系是相切． 
故选： 
求出圆的半径，把半径和圆到直线的距离相交：；相切：；相离：比较即可． 
此题主要考查了直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，熟练掌握直线与圆的位置关系的性质是解此题的关键．
 

8.【答案】C;

【解析】解：连接， 
、是圆的切线， 
，， 
， 
， 
的长， 
故选： 
连接，根据切线的性质得到，，根据四边形内角和等于求出，根据弧长公式计算，得到答案． 
此题主要考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答该题的关键．

 

9.【答案】B;

【解析】解：连接， 
 
是的直径， 
， 
， 
， 
，， 
， 
即， 
故选： 
连接，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可． 
此题主要考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于”是解答该题的关键．
 

10.【答案】D;

【解析】解：点，， 
直线轴， 
经过点的直线轴，点是直线上的一个动点， 
直线和直线互相垂直， 
当线段的长度最短时，点与点重合，此时点的坐标为， 
故选： 
根据题意，可以得到直线和直线的关系，然后根据垂线段最短，即可得到点的坐标． 
此题主要考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确垂线段最短．
 

11.【答案】D;

【解析】解：连接、、，交于，如图， 
，与相切，切点分别为，， 
，，平分， 
， 
， 
， 
， 
， 
在中，， 
， 
 
故选： 
连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可． 
此题主要考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

 

12.【答案】C;

【解析】解：连接，，， 
 
，是的切线， 
，， 
， 
， 
， 
 
故选： 
连接，，，由切线的性质得出，，则，由直角三角形的性质可得出答案． 
此题主要考查了切线的性质，切线长定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解答该题的关键．
 

13.【答案】D;

【解析】解：如图，设的半径为，，则，，  
． 
在中，根据相交弦定理，得． 
即，所以．  
连接，由勾股定理，得，  
即，  
解得  
所以，  
故选D． 
设的半径为，，则，，利用相交弦定理，求出与的关系，即用表示出，即可表示出所求比值．  
该题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”熟记并灵活应用定理是解答该题的关键．

 

14.【答案】A;

【解析】解：连接， 
 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
又， 
为等腰直角三角形， 
在中，， 
 
故选： 
连接，先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理可得，最后在直角三角形中，勾股定理计算即可求出结果． 
此题主要考查圆的有关性质，涉及到圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题关键是能够数形结合进行定理应用．
 

15.【答案】;

【解析】

该题考查了圆的认识，等腰三角形的性质等有关知识，要求的度数，由知与半径相等，连接构造等腰和等腰，得到，由图知，进行求解即可．

解：连接，

 
，   
，又，   
，   
，   
同理   
 

故答案为．
 

16.【答案】  ;

【解析】 
本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度中等的综合题． 
本题可先作一条辅助线：过点作，可得出、和的长，再根据图形即可判断出点的坐标． 
 
解：连接，，，再过点作于，则是矩形，、 
点在第一象限，与轴交于、两点，与轴相切于点， 
，，， 
与轴相切于点， 
， 
由垂径定理可知：， 
， 
， 
利用勾股定理知， 
． 
故答案是  


 

17.【答案】  作直径CQ，MN交于点O，点O即为圆心，作∠ARB的角平分线RT交⊙O于点P，作射线OP即可;

【解析】解：如图， 
故答案为： 
 
如图，点，射线即为所求． 
方法：作直径，交于点，点即为圆心，作的角平分线交于点，作射线即可． 
故答案为：作直径，交于点，点即为圆心，作的角平分线交于点，作射线即可． 
利用勾股定理求解； 
作直径，交于点，点即为圆心，作的角平分线交于点，作射线即可． 
此题主要考查作图复杂作图，圆周角定理，三角形的外心，勾股定理等知识，解答该题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】;

【解析】 
该题考查了切线长定理和勾股定理，是基础知识比较简单． 
根据切线的性质，得到直角三角形，根据勾股定理求得的长；根据切线长定理，得，，，从而求解． 
 
解：连接． 
、、分别切于、、点， 
，，，． 
在直角三角形中，根据勾股定理，得， 
的周长为． 
故答案为：． 
 


 

19.【答案】;

【解析】解：连接， 
、是的两条切线，、为切点， 
，，， 
， 
是的垂直平分线， 
， 
， 
中，， 
， 
， 
， 
的直径为：， 
故答案为： 
连接，根据切线长定理可得：，，，由同圆的半径相等可知：，所以根据线段垂直平分线的逆定理可知：是的中垂线，由，利用特殊的三角函数值或直角三角形度的性质可得圆的半径的长，从而计算出直径． 
此题主要考查了切线长定理、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识，熟练掌握切线长定理是关键．

 

20.【答案】;

【解析】解：连结，如图， 
，，， 
， 
沿射线方向平移，当与半圆相切于点，得， 
，，，， 
与半圆相切于点， 
， 
，线段为半圆的直径， 
， 
， 
∽， 
，即，解得， 
； 
故答案为：． 
连结，如图，根据勾股定理得到，根据平移的性质得到，，，，根据切线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 
该题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．

 

21.【答案】解： 
 
如图连接， 
为的直径， 
， 
， 
， 
， 
 
 
 
所以的长为； 
 
于， 
， 
， 
又， 
， 
 
 
， 
， 
故CD的长为．;

【解析】该题考查圆周角的性质，垂径定理含角的直角三角形性质及勾股定理等知识点，做辅助线是解答该题的关键． 
连接根据直径得出，根据推出即可得出，再根据勾股定理求出； 
根据垂径定理得出，，再根据推出，由勾股定理得出，即可推出的长为． 

 

22.【答案】解：（1）连结OA， 
由题意得：AD=AB=30，OD=（r-18） 
在Rt△ADO中，由勾股定理得：=302+（r-18）2， 
解得，r=34； 
 
（2）连结OA′， 
∵OE=OP-PE=30， 
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2-OE2，即：A′E2=342-302， 
解得：A′E=16． 
∴A′B′=32． 
∵A′B′=32＞30， 
∴不需要采取紧急措施．;
 

【解析】 
连结，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；  
连结，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 
该题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答该题的关键．
 

23.【答案】（1）证明：∵∠CFA=∠DCA，∠DCA=∠DBA, 
∴∠DBA=∠CFA， 
∴DB∥CF, 
∴C是弧BD的中点, 
∴OC⊥BD． 
∴OC⊥CF， 
∵OC是半径， 
∴CF是圆O切线； 
（2）解：连接BC, 
 
设⊙O的半径为r， 
∵CE=1，OE=r-1， 
∵BE=2， 
在Rt△BOE中，OB2=OE2+BE2， 
∴=（r-1）2+22， 
∴r=， 
∴⊙O的半径为, 
∵CE=1，BE=2， 
∴BC==， 
∵AB为⊙O的直径， 
∴∠ACB=90°， 
∴AC==2， 
∵CF是⊙O的切线， 
∴∠A=∠BCF， 
∵∠F=∠F， 
∴△ACF∽△CBF， 
∴=2， 
∴CF=2BF， 
∵， 
∴CF2=AF•BF， 
∴4BF2=（5+BF）•BF， 
∴BF=， 
∴CF=，AF=， 
∴△ACF的周长=AC+CF+AF=2+=10+2．;

【解析】 
根据圆周角定理得到，则，则可判断，接着根据切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论； 
连接，如图，设的半径为，在中利用勾股定理得到，求出得到的半径为，再利用勾股定理计算出，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理计算，证明∽，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论．. 
此题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解答该题的关键．
 

24.【答案】（1）证明：连接OD， 
∵OB=OD， 
∴∠ABC=∠ODB， 
∵AB=AC， 
∴∠ABC=∠ACB， 
∴∠ODB=∠ACB， 
∴OD∥AC， 
∵DE⊥AC，OD是半径， 
∴DE⊥OD， 
∴DE是⊙O的切线； 
（2）解：连接AD， 
∵AB为⊙O的直径， 
∴AD⊥BC， 
∵AB=AC， 
∴CD=BD=BC=3，∠C=∠B， 
∵tanB=， 
∴tanC=， 
设DE=2x，CE=3x， 
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD===x=3， 
∴x=， 
∴DE=2×=．;
 

【解析】 
根据已知条件得到即可，于是得到结论； 
连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，，设，，根据勾股定理即可得到结论． 
此题主要考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解答该题的关键．
 

25.【答案】解：（1）∵DP平分∠APB， 
∴∠APE=∠BPD， 
∵AP与⊙O相切， 
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， 
∵AB是⊙O的直径， 
∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°， 
∴∠EAP=∠B， 
∴△PAE∽△PBD， 
∴， 
∴PA•BD=PB•AE； 
（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G， 
∵DP平分∠APB， 
AD⊥AP，DF⊥PB， 
∴AD=DF， 
∵∠EAP=∠B， 
∴∠APC=∠BAC， 
易证：DF∥AC， 
∴∠BDF=∠BAC， 
由于AE，BD（AE＜BD）的长是-5x+6=0， 
解得：AE=2，BD=3， 
∴由（1）可知：， 
∴cos∠APC==， 
∴cos∠BDF=cos∠APC=， 
∴， 
∴DF=2， 
∴DF=AE， 
∴四边形ADFE是平行四边形， 
∵AD=AE， 
∴四边形ADFE是菱形， 
此时点F即为M点， 
∵cos∠BAC=cos∠APC=， 
∴sin∠BAC=， 
∴， 
∴DG=， 
∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形 
其面积为：DG•AE=2×=;
 

【解析】 
易证，，从而可知∽，利用相似三角形的性质即可求出答案． 
过点作于点，作于点，易求得，，由可知：，从而可知，从而可求出和的长度，进而证明四边形是菱形，此时点即为点，利用平行四边形的面积即可求出菱形的面积． 
该题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．