河南省南阳市邓州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（含答案）
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数学试卷
注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟；
2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ )
A． B． C． D ．
2．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的轴对称 B．图形的旋转 C．图形的相似 D．图形的平移
3．下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图，D，E是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．3.2 B．4.8 C．0.8 D．2.4
7．若关于x的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，则树高为（ ）
A． B． C． D．
9．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）米．
A． B． C． D．
10．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图（1），大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则图（2）是下列哪个方程的几何解法（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____________．
12．请填写一个常数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根．
13．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．若设道路的宽为，那么可列方程为_____________（化为一般形式）．
14．如图，在中，，点D是线段上一动点，连接，以为边作，使，则面积的最小值为_____________．
15．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点P．若，则_____________．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（每小题3分，共9分）计算或解方程：
（1）
（2）
（3）
17．（8分）代数推理：
用配方法推导一元二次方程（，且）的求根公式．
18．（9分）如图，菱形中，m、n、t分别是菱形的两条对角线和边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）填空：①当时，_____________；
②用含m、n的代数式表示_____________；
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根．
19．（9分）【综合与实践】近年来，邓州市委市政府为了加快城市发展，保障市民出行方便，在彩虹大桥和三贤大桥的基础上，又在湍河上架起了一座美丽的穰城大桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小亮想通过自己所学的数学知识计算穰城大桥的长．如图2，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为66米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，且满足．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若点P在y轴上，从点B出发，沿射线运动，连接（不包括），是否存在点P，使得以点C、O、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（10分）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22．（10分）华东师大版九年级上册数学课本67页有这样一道练习题：
如图，在中，，垂足为D，找出图中所有的相似三角形，并说明理由． |
（1）动手实践：张老师在上课时，发现这道题是个很好的素材，可以帮助同学们回忆基本尺规作图：“过直线外一点作已知直线的垂线”，据此可以作边上的高，于是发动同学们在练习本上进行作图．现在请你利用尺规作图作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）独立思考：你发现图中存在_____________对相似三角形，请写出来_____________．
（3）习题反思：爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，可以写出下列三个结论：
①，②，③．
（Ⅰ）请你按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明；
（Ⅱ）小亮研究“小明的发现”时，又惊喜地发现：竟然可以利用“它”来证明“勾股定理”，请你按照小亮的思路完成这个证明．
23．（11分）【揭示关系】
如图1，在中，，则．即．
因此，对于含角的直角三角形的三边关系，可以作为问题解决的条件直接使用．
【问题解决】
（1）如图2，在中，，点C在边上，点D在边上，，点E，F分别为的中点．则_____________，_____________．
（2）将绕点O逆时针旋转后，得到，点C，D的对应点分别为点，连接，，得到图3．若点M是的中点，连接．
①求证：；
②线段和之间存在怎样的数量关系和位置关系？写出你的结论，并进行证明．
邓州市2022～2023学年第一学期期中质量评估九年级
数学试题参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9．B 10．A
二、填空题（每小题3分，共15分）
11． 12．0（答案不唯一，只要所填的常数小于2.25均对） 13． 14． 15．8
三、解答题（共8个小题，满分75分）
16．计算或解方程（每小题3分，共9分）
（1）解：原式
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
（3）解：整理得，
∵，
∴
∴
∴，．
（备注：以上解方程方法不唯一，可酌情给分）》
17．（8分）代数推理：
解：因为，方程两边都除以a得．
移项，得
配方，得，
即
因为，所以．当时，直接开平方，得．
所以．
18．（9分）（1）解：①； ②
（2）证明：，
这里，，
∴，
∵，
∴，
∴关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根．
18．（9分）解：如图所示，
过E作于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴大桥的长度为110米．
19．（9分）（1）解：
∵
∴，
又∵点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，
∴点，点
（2）假定存在这样的点P，使得①当时，
，即
∴，
∴
②当时，
，即
∴，
∴
综上所述，所求的点P的坐标为或．
21．（10分）解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）（备注：此问设法不唯一，按步骤酌情给分）
（参考答案）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
22．（10分）（1）解：如图所示：即为所求；
（2）三，（或、、）
（3）（Ⅰ）若选①进行证明．
证明：∵
∴，
∴．
其余证明方法类似．
（Ⅱ）证明：∵
∴
∴
23．（11分）（1）解：，
（2）①证明：点E，M分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴．
（备注：以上对应边成比例方法不唯一，可酌情给分）
②解：，
；
理由如下：如图3，
延长交于N，
由①可知，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
河南省南阳市邓州市2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题： 这是一份河南省南阳市邓州市2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题，共6页。
河南省南阳市邓州市2023-2024学年八年级上学期11月期中数学试题： 这是一份河南省南阳市邓州市2023-2024学年八年级上学期11月期中数学试题，共7页。
河南省南阳市邓州市2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（有答案）： 这是一份河南省南阳市邓州市2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（有答案），共12页。
