浙江省宁波市江北区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)

这是一份浙江省宁波市江北区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省宁波市江北区2022-2023学年九年级上学期期中考试
数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求）
1．（4分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，则Rt△ABC的外接圆的半径为（　　）
A．4 B．2.4 C．5 D．2.5
4．（4分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
5．（4分）如图，已知⊙O的圆心角∠AOB＝80°，则圆周角∠ACB的度数等于（　　）

A．160° B．100° C．80° D．40°
6．（4分）如图，△DEF∽△ABC，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的相似比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
7．（4分）下列结论正确的是（　　）
A．所有直角三角形都相似
B．同弧所对的圆周角相等
C．平分弦的直径垂直弦且平分弦所对的弧
D．当b2﹣4ac＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴只有一个交点
8．（4分）如图，OBCA为正方形，图1是以AB为直径画半圆，阴影部分面积记为S1，图2是以O为圆心，OA长为半径画弧，阴影部分面积记为S2，则（　　）

A．S1＜S2 B．S1＝S2 C．S1＞S2 D．无法判断．
9．（4分）已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为（　　）

A．3 B． C．3 或 D．以上都错
10．（4分）如图，△ACB和△ECD是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边上，若，连接AB交CD于点P，则下列说法正确的个数为（　　）
①∠BAD＝∠ACE＝30°；②AB＝2AE；③图中有4对相似三角形；④AP•AC＝AE•CP．

A．1个 B．2个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）已知线段a，b，c，其中c为a，b的比例中项，a＝1，b＝9，则c＝　 　．
12．（5分）若点A（3，a）在抛物线y＝﹣x2上，则a＝　 　．
13．（5分）抛物线y＝x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是　 　．
14．（5分）如图，A，B，C是⊙O上三点，若∠ABC＝120°，则∠AOC为 　 　．

15．（5分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④CD2＝CE•CO．其中正确结论的序号是　 　．

16．（5分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），顶点坐标为（2，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则a的取值范围为 　 　．

三、解答题（第17，19，20，21题各8分，第18题10分，第22，23题12分，第24题14分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．

18．（10分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；
（2）从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根的概率；
（3）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）落在第二象限内的概率．
19．（8分）已知AB∥CD，AD、BC交于点O．
（1）试说明△AOB∼△DOC；
（2）若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．

20．（8分）如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．
（1）求证：△ABE∽△ADB．
（2）求AB长．

21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

22．（12分）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价﹣进货价）
（1）请写出y关于x的函数解析式 　 　；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为w万元，写出w与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（12分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+n与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，且∠ADQ＝∠DAC，请直接写出点Q的坐标．

24．（14分）定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．我们熟知的平行四边形就是“友好四边形”．

（1）如图1，在4×4的正方形网格中有一个Rt△ABC，请你在网格中找格点D，使得四边形ABCD是被AC分割成的“友好四边形”（只要画出点D的一种位置）；
（2）如图2，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝10，四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形“，求AB长；
（3）如图3，圆内接四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E是的中点，连结BE交CD于点F，连结AF，∠DAF＝30°，
①求证：四边形ABCF是“友好四边形”；
②若△ABC的面积为6，求线段BF的长．

2022-2023学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求）
1．（4分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】用b表示a，代入求解即可．
【解答】解：∵＝，
∴a＝b，
即＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握．
2．（4分）抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝2（x+1）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故选：D．
【点评】考查求二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标、对称轴．
3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，则Rt△ABC的外接圆的半径为（　　）
A．4 B．2.4 C．5 D．2.5
【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先求斜边长，再求半径．
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AB＝＝＝5，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为2.5．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用．关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．
4．（4分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【解答】解：y＝2x2向上平移3个单位得y＝2x2+3．
故选：A．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
5．（4分）如图，已知⊙O的圆心角∠AOB＝80°，则圆周角∠ACB的度数等于（　　）

A．160° B．100° C．80° D．40°
【分析】由⊙O的圆心角∠AOB＝80°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角∠ACB的度数．
【解答】解：∵⊙O的圆心角∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（4分）如图，△DEF∽△ABC，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的相似比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【分析】由D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，可得DE是△OAB的中位线，由中位线的性质即可求得结果．
【解答】解：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴DE：AB＝1：2，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质及三角形的中位线定理的知识，解题的关键是根据中位线定理得到对应线段的比，难度不大．
7．（4分）下列结论正确的是（　　）
A．所有直角三角形都相似
B．同弧所对的圆周角相等
C．平分弦的直径垂直弦且平分弦所对的弧
D．当b2﹣4ac＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴只有一个交点
【分析】A、举例等腰直角三角形与一般的直角三角形对A选项进行判断；
B、同弧所对的圆周角相等说法正确；
C、当弦是直径时，C选项结论错误；
D、当b2﹣4ac＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点．
【解答】解：A、不是所有的直角三角形都相似，如等腰直角三角形与一般的直角三角形，此选项错误；
B、同弧所对的圆周角相等，此选项正确；
C、平分弦（弦不是直径）的直径平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
D、当b2﹣4ac＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的判定定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握课本中各个定理，此题难度不大．
8．（4分）如图，OBCA为正方形，图1是以AB为直径画半圆，阴影部分面积记为S1，图2是以O为圆心，OA长为半径画弧，阴影部分面积记为S2，则（　　）

A．S1＜S2 B．S1＝S2 C．S1＞S2 D．无法判断．
【分析】可以设正方形的边长是1，根据公式即可求得阴影部分的面积，进行比较即可．
【解答】解：设正方形的边长是1．AB＝，则
S1＝π（）2﹣×1＝﹣＝，
S2＝﹣＝，
故S1＝S2．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
9．（4分）已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为（　　）

A．3 B． C．3 或 D．以上都错
【分析】由于∠ABC＝∠PBF＝90°，同时减去∠PBC后可得到∠ABP＝∠CBF，若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么必有：AB：PB＝BC：BM或AB：BP＝BM：BC，可据此求得BM的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
又∵∠PBF＝90°，
∴∠ABP＝∠CBF＝90°﹣∠CBP；
若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，
则：①如图1中，，即＝，解得BM＝；

②如图2中，，即＝，解得BM＝3．

综上所述，满足条件的BM的值为3或．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解．
10．（4分）如图，△ACB和△ECD是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边上，若，连接AB交CD于点P，则下列说法正确的个数为（　　）
①∠BAD＝∠ACE＝30°；②AB＝2AE；③图中有4对相似三角形；④AP•AC＝AE•CP．

A．1个 B．2个 C．3 个 D．4 个
【分析】①根据全等三角形的判定与性质、三角函数关系可得结果；②根据②中的AB＝2，AE＝，可判断；③根据相似三角形的判定可得结果；④要证AP⋅AC＝AE⋅CP，即证AP＝PB即可，根据等腰直角三角形的性质可判断．
【解答】解：①∵∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB，
∵CE＝CD，CA＝CB，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝＝2，
∴AC＝BC＝2，
∵AD＝，
∴DB＝，
∴tan∠BAD＝，
∴∠BAD＝30°，
∵∠CAD＝∠E+∠ACE，∠CAB＝∠E，
∴∠ACE＝∠BAD＝30°，故①正确；
②由②知，AB＝2，AE＝，
∴AB＝2AE，故②正确；
③∵∠E＝∠D，∠ACE＝∠BAD，
∴△ACE∽△APD，
同理可得，△ACE∽△CPB，△APD∽△CPB，△ECD∽△ACB，△ACP∽△DCA故③错误；
④由④知，，
要证AP⋅AC＝AE⋅CP，即证AP＝PB即可，
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴CP⊥AB，
∴∠ACP＝∠PCB＝45°，
由②知∠ACE＝∠DCB＝30°，∠ACD＝60°，
明显∠ACP≠∠PCB，
∴④错误．
综上，①②正确，
故选：B．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定方法是解决此题关键．
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）已知线段a，b，c，其中c为a，b的比例中项，a＝1，b＝9，则c＝　3　．
【分析】根据比例中项的定义可求得c的值．
【解答】解：∵c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝9，
∴c＝3或﹣3（舍去）．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查比例中项的定义，掌握c为a、b的比例中项则有c2＝ab是解题的关键．
12．（5分）若点A（3，a）在抛物线y＝﹣x2上，则a＝　﹣9　．
【分析】将A（3，a）代入y＝﹣x2即可求解．
【解答】解：当x＝3时，a＝﹣32，即a＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，代入计算即可．
13．（5分）抛物线y＝x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是　（3，0）　．
【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y＝0解一元二次方程求另一交点的横坐标．
【解答】解：把点（1，0）代入抛物线y＝x2﹣4x+中，得m＝6，
所以，原方程为y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．
【点评】本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．
14．（5分）如图，A，B，C是⊙O上三点，若∠ABC＝120°，则∠AOC为 　120°　．

【分析】在优弧AC上取一点D，连接AD，CD，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＝60°，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝120°．
【解答】解：在优弧AC上取一点D，连接AD，CD，

∵∠ABC＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
故答案为：120°．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
15．（5分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④CD2＝CE•CO．其中正确结论的序号是　①④　．

【分析】①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD＝∠ADO即可；
②由①得OE：EC＝OD：AC，再由OD≠AC，可得CE≠OE；
③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明△ODE∽△ADO；
④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD＝45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE＝45°，再求证△CED∽△CDO，利用其对应变成比例即可得出结论．
【解答】解：∵AB是半圆直径，
∴AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD＝∠DAO＝∠CAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，故①正确．
由题意得，OD＝R，AC＝R，
∵OE：CE＝OD：AC＝：2，
∴OE≠CE，故②错误；
∵∠OED＝∠AOE+∠OAE＝90°+22.5°＝112.5°，∠AOD＝90°+45°＝135°，
∴∠OED≠∠AOD，
∴△ODE与△ADO不相似，故③错误；
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD＝×45°＝22.5°，
∴∠COD＝45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°
∵∠CAD＝∠ADO＝22.5°（已证），
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ADO＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴△CED∽△CDO，
∴＝，
∴CD2＝CO•CE，故④正确．
综上可得①④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．
16．（5分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），顶点坐标为（2，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则a的取值范围为 　﹣≤a≤﹣　．

【分析】由题意可知抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（6，0），根据根与系数的关系得到＝﹣12，则a＝﹣，由抛物线与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），得出3≤c≤4，进而得出≤﹣≤﹣，即可得出﹣≤a≤﹣．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），顶点坐标为（2，n），
∴对称轴直线是x＝2，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（6，0），
∴＝﹣12，则a＝﹣．
∵抛物线与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），
∴3≤c≤4，
∴﹣≤﹣≤﹣，即﹣≤a≤﹣．
故答案为：﹣≤a≤﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与方程的关系是解题的关键．
三、解答题（第17，19，20，21题各8分，第18题10分，第22，23题12分，第24题14分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．

【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；

（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
18．（10分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；
（2）从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根的概率；
（3）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）落在第二象限内的概率．
【分析】（1）四个数字中正数有一个，求出所求概率即可；
（2）表示出已知方程根的判别式，根据方程有实数根求出a的范围，即可求出所求概率；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出点（x，y）落在第二象限内的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：抽取的数字为正数的情况有1个，
则P＝；

（2）∵方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根，
∴Δ＝4a2﹣4a（a+3）＝﹣12a≥0，且a≠0，
解得：a＜0，
则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根的概率为；

（3）列表如下：

﹣3
﹣1
0
2
﹣3
﹣﹣﹣
（﹣1，﹣3）
（0，﹣3）
（2，﹣3）
﹣1
（﹣3，﹣1）
﹣﹣﹣
（0，﹣1）
（2，﹣1）
0
（﹣3，0）
（﹣1，0）
﹣﹣﹣
（2，0）
2
（﹣3，2）
（﹣1，2）
（0，2）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中点（x，y）落在第二象限内的情况有2种，
则P＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）已知AB∥CD，AD、BC交于点O．
（1）试说明△AOB∼△DOC；
（2）若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．

【分析】（1）由题意可直接证明△AOB∽△DOC；
（2）根据（1）的相似三角形得出的成比例线段，可求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC；
（2）解：∵△AOB∽△DOC，
∴，
∴AB＝＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．
（1）求证：△ABE∽△ADB．
（2）求AB长．

【分析】（1）先根据AB＝AC可知∠ABC＝∠ADB，再根据∠BAE＝∠DAB即可得出△ABE∽△ADB；
（2）根据△ABE∽△ADB，可知其对应边成比例，再由AE＝2，ED＝4即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABC＝∠D，（2分）
又∵∠BAE＝∠DAB，
∴△ABE∽△ADB；

（2）∵△ABE∽△ADB，
∴＝，
∴AB2＝AD•AE＝（AE+ED）•AE＝（2+4）×2＝12，（2分）
∴AB＝2．（2分）
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及圆周角定理，解答此题的关键是根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出∠ABC＝∠D，再判断出△ABE∽△ADB，进而可得出结论．
21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．
【解答】解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，
∴OE＝OC＝1，
∴CE＝OC＝，
∵OA⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝；

（2）∵S△ABC＝AB•EC＝×4×＝2，
∴．
【点评】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．
22．（12分）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价﹣进货价）
（1）请写出y关于x的函数解析式 　y＝﹣x+4（0≤x≤4）　；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为w万元，写出w与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）依题意可得y与x的函数关系式；
（2）依题意可得w＝﹣8x2+24x+32；
（3）结合（2），根据二次函数性质可得x＝时，w有最大值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝29﹣25﹣x＝4﹣x，
故答案为：y＝﹣x+4（0≤x≤4）；
（2）w＝（8+×4）y
＝（8x+8）（﹣x+4），
∴w＝﹣8x2+24x+32；
（3）∵w＝﹣8x2+24x+32＝﹣8（x﹣）2+50，且﹣8＜0，
∴当x＝时，w最大＝50，
此时定价为29﹣1.5＝27.5（万元），
∴当定价为27.5万元时，有最大利润，最大利润为50万元．
【点评】本题考查二次函数的应用问题，解题的关键是将二次函数与现实生活结合起来，考查了学生的应用能力，难度不大．
23．（12分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+n与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，且∠ADQ＝∠DAC，请直接写出点Q的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可求出n，利用对称性C、D关于对称轴对称即可求出点D坐标．
（2）A，P，D三点在同一直线上时△PAC的周长最小，求出直线AD的解析式即可解决问题．
（3）分两种情形①作DQ∥AC交x轴于点Q，此时∠DQA＝∠DAC，满足条件．②设线段AD的垂直平分线交AC于E，直线DE与x的交点为Q′，此时∠Q′DA＝′CAD，满足条件，分别求解即可．
【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+n，得，﹣3＝（0﹣1）2+n，
解得n＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴点D的坐标为（2，﹣3）．

（2）连接PA、PC、PD

∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称
∴PC＝PD
∴AC+PA+PC＝AC+PA+PD…（5分）
∵AC为定值，PA+PD≥AD
∴当PA+PC的值最小，即A，P，D三点在同一直线上时△PAC的周长最小，
由y＝（x﹣1）2﹣4＝0解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∵A在B的左侧，∴A（﹣1，0），
由A，D两点坐标可求得直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝1时，y＝﹣x﹣1＝﹣2，
∴当△PAC的周长最小时，点P的坐标为（1，﹣2），

（3）如图2中，

①作DQ∥AC交x轴于点Q，此时∠DQA＝∠DAC，满足条件．
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3，
∴直线QD的解析式为y＝﹣3x+3，
令y＝0得x＝1，
∴Q（1，0）．
②设线段AD的垂直平分线交AC于E，直线DE与x的交点为Q′，此时∠Q′DA＝′CAD，满足条件，
∵直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
∴线段AD的中垂线是解析式为y＝x﹣2，
由解得，
∴E（﹣，﹣），
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣，
令y＝0得到x＝﹣7，
∴Q′（﹣7，0）．
综上所述，Q点坐标为（1，0）或（﹣7，0）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、最小值问题、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（14分）定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．我们熟知的平行四边形就是“友好四边形”．

（1）如图1，在4×4的正方形网格中有一个Rt△ABC，请你在网格中找格点D，使得四边形ABCD是被AC分割成的“友好四边形”（只要画出点D的一种位置）；
（2）如图2，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝10，四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形“，求AB长；
（3）如图3，圆内接四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E是的中点，连结BE交CD于点F，连结AF，∠DAF＝30°，
①求证：四边形ABCF是“友好四边形”；
②若△ABC的面积为6，求线段BF的长．
【分析】（1）由题意可找到点D位置；
（2）分△ABD∽△CBD，△ABD∽△DBC两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AB的长度；
（3）①由题意可得∠ABE＝∠EBC＝30°，由三角形内角和定理和圆的内接四边形性质可得∠BAF＝∠BFC，可证△ABF∽△FBC，即四边形ABCF是“友好四边形”；
②由相似三角形的性质可得BF2＝AB•BC，由三角形面积公式可求AB×BC＝6，即可求BF的长．
【解答】解：（1）画出点D的1个位置，如图，

（2）∵四边形ABCD为被BD分割的友好四边形，
∴△ABD与△DBC相似，
若△ABD∽△CBD
则，
∴AB＝BC＝10，
若△ABD∽△DBC，
则，
∴AB＝＝＝，
综上所述：AB＝10或；
（3）①证明：∵E是的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°，
∴∠C+∠BFC＝150°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵∠DAF＝30°，
∴∠C+∠BAF＝150°，
∵∠C+∠BFC＝150°，
∴∠BAF＝∠BFC，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴△ABF∽△FBC，
∴四边形ABCF为友谊四边形；
②解：如图，过点A作AG⊥BC交BC与G，连接AC，

∵△ABF∽△FBC，
∴，
∴BF2＝AB•BC，
∵S△ABC＝BC•AG＝BC•AB×sin60°＝6，
∴AB•BC＝6，
∴AB•BC＝24＝BF2，
又∵BF＞0，
∴BF＝2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，分类讨论思想，熟练运用相似三角形判定和性质是本题的关键．