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专题17 三角形 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练
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这是一份专题17 三角形 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，作图题，综合题等内容，欢迎下载使用。
专题17 三角形 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练
一、单选题
1．（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A．136 B．56 C．76 D．65
2．（2022·聊城）如图，△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠BAQ=40° B．DE=12BD C．AF=AC D．∠EQF=25°
3．（2022·周村模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE=3，则BF的长是（ ）
A．4 B．5 C．33 D．6
4．（2022·青岛模拟）如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
5．（2022·沂南模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC．①BD=CE；②∠AHC=60°；③FC=CG；④S△CBD=S△CGH；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·茌平模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边BC为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022·济南模拟）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=6，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D，E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线AF，交BC于点M；④分别以A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点；⑤作直线GH，交AB于点N，连接MN．则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2022·东昌府模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．756 B．556 C．655 D．355
9．（2022·泰安模拟）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是（ ）
A．2 B．22 C．2 D．1
10．（2022·滕州模拟）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID=3，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
二、填空题
11．（2022·枣庄）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝ ．
12．（2022·潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．
13．（2022·滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，则∠C的大小为 ．
14．（2022·崂山模拟）如图，在等边ΔABC中，AB=6，BG=12GC，E，F分别为边AB，AC上的点，将ΔAEF沿EF所在直线翻折，点A落在G点，得到三角形ΔEFG，则ΔEFG的面积为 ．
15．（2022·周村模拟）如图，在△ABC中，AB=2，∠ACB=60°，CD⊥BC，DC=BC，则AD的长的最大值为 ．
16．（2022·周村模拟）借助如图所示的“三等分角仪”等三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE= °．
17．（2022·台儿庄模拟）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，sinA=45，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+35PB的最小值为 ．
18．（2022·惠民模拟）如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若∠C=36°，则∠ADB的度数是 ．
19．（2022·兰山模拟）如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=AC=6，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连接DE，点F、G分别是BC和DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段AE长为 ．
20．（2022·任城模拟）如图，将△ABD沿△ABC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E．已知∠C=20°，AB+BD=AC，那么∠B等于 ．
三、作图题
21．（2022·李沧模拟）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b交于点M，N．在线段MN上求作一点A，使点A到a，b的距离相等．
22．（2022·崂山模拟）已知：线段a．
求作：等腰直角△ABC，使得斜边AB=a．
23．（2022·青岛模拟）为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（△ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．
24．（2022·青岛模拟）求作△ABC的内切圆⊙O．
25．（2022·青岛模拟）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）
如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．
求作：⊙O，使⊙O分别与AK、AR相切，圆心O与点A的距离等于a．
四、综合题
26．（2022·济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，3）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
27．（2022·日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
28．（2022·菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B'E'D（点B'，E'分别与点B，E对应），连接CE'、AB'，在△BED旋转的过程中CE'与AB'的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE'与AD、AB'分别交于点G、F，若CG=FG，DC=3，求AB'的长．
29．（2022·枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
30．（2022·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得x=136
即AE=136
故答案为：A
【分析】根据折叠的性质求出CE= DE， ∠C=∠CDE，再求出∠ADE = 90°，最后列方程求解即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】∵∠BAC=80°，∠ACB=70°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP=12∠BAC=40°，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，∴DE=12BD，不符合题意；
C．∵∠B=30°，∠BAP=40°，∴∠AFC=70°，
∵∠C=70°，∴AF=AC，不符合题意；
D．∵∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°，
∴∠EQF=20°，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、直角三角形的性质判断即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】连接AF，如图，
∵AB=AC，∠BAC=120°．
∴∠B=∠C=30°，
∵ED垂直平分AC，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠AFD=60°，∠D=30°，
∴∠BAF=90°．
∴在Rt△AED中，AE=ED⋅tanD=3⋅tan30°=3，
∴在Rt△AEF中，AF=AEcos∠FAC=3cos30°=2，
∴在Rt△ABF中，BF=2AF=4．
故答案为：A．
【分析】连接AF，先求出∠AFD=60°，∠D=30°，再利用锐角三角函数求出AE和AF的长，最后利用BF=2AF可得答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】∵∠ABC=50°，
∴∠BAC+∠ACB=130°．
∵点M在PA的中垂线上，点N在PC的中垂线上，
∴AM=PM，PN=CN，
∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN
∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP
∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=12(∠BAC+∠ACB)=12×130°=65°，
∴∠APC=180°-65°=115°
故答案为：C．
【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAC+∠ACB=130°，由中垂线的性质可得AM=PM，PN=CN，由等边对等角可得∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，进而得出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=12(∠BAC+∠ACB)=12×130°=65°，再根据三角形内角和定理即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①符合题意；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：
∵∠EFC＝∠AFD＝60°
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CEM＝∠CGN，
在△ECM和△GCN中
∠CEM=∠CGN∠CME=∠CNG=90°CM=CN，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
AM=HN∠AMC=∠HNC=90°CM=CN，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②符合题意；
③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不符合题意；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④符合题意，
∴正确的有：①②④，
故答案为：C．
【分析】①由“ASA”证明△BCD≌△CAE，再利用全等三角形的性质可得BD=CE，从而可得①正确；②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，利用“AAS”证明△ECM≌△GCN可得CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，再利用“SAS”证明△AMC≌△HNC可得∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，再证明△ACH是等边三角形，可得∠AHC＝60°，故②符合题意；③利用全等三角形的性质求解可得∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不符合题意；④利用全等三角形的性质求解即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】如图所示，画出的不同的等腰三角形的个数最多为4个.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，
∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，
∴AM是边BC上的中线，
∴BM＝CM，
∵GH是边AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12AC＝3．
故答案为：B．
【分析】先证明MN是△ABC的中位线，再利用中位线的性质可得MN=12AC＝3。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AB，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°
∴AB=AC2+BC2=32+42=5
∵SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD
∴4×3=5CD
∴CD=125
∴BD=BC2-CD2=32-(125)2=95
∵BC=BC'=3
∴C'D=BC'-BD=3-95=65
CC'=CD2+C'D2=(125)2+(65)2=655
故答案为：C
【分析】作CD⊥AB，根据SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD求出CD=125，再利用勾股定理求出BD的长，利用线段的和差求出C'D=BC'-BD=3-95=65，最后利用勾股定理求出CC'=CD2+C'D2=(125)2+(65)2=655即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作射线CE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴E点在射线CE上运动，
∴当OE⊥CE时，OE最小，此时△OCE是等腰直角三角形，OC=2，则OE=2sin∠OCE=2，
故答案为：C．
【分析】作射线CE，利用“SAS”证明△ABD≌△ACE可得∠ABD=∠ACE=45°，再利用当OE⊥CE时，OE最小，此时△OCE是等腰直角三角形，最后利用锐角三角函数求出OE=2sin∠OCE=2即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：过I点作IE⊥AB于点E，IF⊥AC于点F，如图，
∵AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴IE=IF=ID=3，
∴S△ABC=S△IAB+S△IBC+S△IAC
=12×AB×3+12×BC×3+12×AC×3
=32(AB+BC+AC)
=32×18
=27
故答案为：D．
【分析】过I点作IE⊥AB于点E，IF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可得IE=IF=ID=3，再利用割补法和三角形的面积公式可得S△ABC=S△IAB+S△IBC+S△IAC=27。
11．【答案】25
【解析】【解答】解：如图，连接BM．
由作图可知MN垂直平分线段BD，
∴BM＝DM＝5．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD∥AB．
∴BC＝BM2-CM2＝52-32＝4．
∴BD＝CB2+CD2＝42+82＝45．
∴OB＝OD＝25．
∵∠MOD＝90°，
∴OM＝DM2-OD2＝52-(25)2＝5．
∵CD∥AB，
∴∠MDO＝∠NBO．
在△MDO和△NBO中，
∠MDO=∠NBO，OD=BO，∠MOD=∠NOB，
∴△MDO≌△BNO（ASA）．
∴OM＝ON＝5．
∴MN＝25．
故答案为：25．
【分析】利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
12．【答案】2：1
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DAB=90°，
由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，
∴△AB′D′是等腰直角三角形，
∴AD=AD′= B′D′，
由勾股定理得AB′=2AD，
又由操作二可知：AB′=AB，
∴2AD=AB，
∴ABAD=2，
∴A4纸的长AB与宽AD的比值为2：1．
故答案为：2：1．
【分析】由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，得出△AB′D′是等腰直角三角形，由勾股定理得AB′=2AD，又由操作二可知：AB′=AB，即可得解。
13．【答案】30°
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=120°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-120°2=30°，
故答案为：30°．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和公式可得∠C=180°-120°2=30°。
14．【答案】49203
【解析】【解答】解：如图，过F作FQ⊥EG于Q，
由对折，△ABC为等边三角形可得：
AB=BC=AC=6，∠B=∠A=∠FGE=∠C=60°，AF=FG，AE=GE，
∴∠FGC+∠BGE=120°=∠BGE+∠GEB，
∴∠FGC=∠GEB，
∴△BEG∽△CGF，
∴BECG=EGGF=BGCF，
∵BG=12GC，
∴BG=2，CG=4，
∴6-AE4=AEGF=2CF，
∴GF=4AE6-AE，CF=86-AE，
而FG+CF=CF+AF=6，
∴4AE6-AE+86-AE=6，
解得：AE=2.8，
经检验正确，则AE=GE=2.8，
∴BE=6-2.8=3.2，3.24=2.8GF，
∴GF=3.5，
∴FQ=GF·sin60°=72×32=734，
∴S△EFG=12×145×734=49320.
故答案为：49320.
【分析】过F作FQ⊥EG于Q，由对折，△ABC为等边三角形可得AB=BC=AC=6，∠B=∠A=∠FGE=∠C=60°，AF=FG，AE=GE，利用相似得出△BEG∽△CGF， 得出BECG=EGGF=BGCF， 得出AE、BE、GF、FQ的值，再利用三角形面积公式即可得解。
15．【答案】2+6
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AC的延长线于点E，
∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，
∴∠DCE=30°，
设CD=CB=x，AC=y，则DE=12x，CE=32x，AE=AC+CE=y+32x
在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2=DE2+AE2，
∴AD2=(12x)2+(y+32x)2=x2+y2+3xy，
∵(x-y)2≥0，
∴x2+y2-2xy≥0，
∴xy≤x2+y22，且当x=y时，等号成立，
∴AD2=x2+y2+3xy≤x2+y2+3×x2+y22=(2+3)(x2+y2)2 ，
当x=y时，AD有最大值， 且AD2=(2+3)(x2+y2)2，
∵AB=2，∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴当x=y=2时，AD2=(2+3)(x2+y2)2=8+43，
又AD＞0，
∴AD=6+2．
故答案为：6+2．
【分析】作DE⊥AC的延长线于点E，由含30度角的直角三角形的性质得出设CD=CB=x，AC=y，则DE=12x，CE=32x，AE=AC+CE=y+32x，再由勾股定理得出AD2=DE2+AE2，当x=y时，AD有最大值， 且AD2=(2+3)(x2+y2)2，此时，△ABC为等边三角形，则当x=y=2时，AD2=(2+3)(x2+y2)2=8+43，即可得解。
16．【答案】80
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，则∠DCE=∠DEC=∠O+∠ODC=2x，
∵∠BDE=∠O+∠DEC=x+2x=75°，
解得x=25°，
∴∠DCE=∠DEC=2x=50°，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x=80°，
故答案为：80．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，由外角性质得出∠CDE即可得解。
17．【答案】165
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示：
∵AB=5，sinA=45，BD⊥AC，
∴BD=AB⋅sinA=4，
∴AD=AB2-BD2=3，
∴sin∠ABD=35，
∴PH=PB⋅sin∠ABD=35PB，
∴PC+35PB=PC+PH，
若使PC+35PB的值为最小，也就相当于PC+PH为最小，
∴当点C、P、H三点共线时，PC+PH的值为最小，如图所示：
∵AC=4，
∴CH=AC⋅sinA=4×45=165，
∴PC+35PB的最小值为165；
故答案为165．
【分析】过点P作PH⊥AB于点H，利用解直角三角形的方法可得PC+35PB=PC+PH，因此若使PC+35PB的值为最小，也就相当于PC+PH为最小， 再根据当点C、P、H三点共线时，PC+PH的值为最小，最后求出CH的长即可。
18．【答案】72°
【解析】【解答】∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠C=36°，
∴∠B=∠BAC=180∘-36∘2=72∘，
∵根据题意可知AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=12×72∘=36∘，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=36∘+36∘=72∘，
故答案为：72∘．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠B=∠BAC=180∘-36∘2=72∘，再利用角平分线的定义可得∠DAC=12∠BAC=12×72∘=36∘，最后利用角的运算可得∠ADB=∠DAC+∠C=36∘+36∘=72∘。
19．【答案】4
【解析】【解答】解：连接DF，AF，EF，
在ΔABC中，AB=AC，∠CAB=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵点G是DE的中点，点F是BC的中点，
∴AG=DG=EG，AF=BF，AF⊥BC，∠DAF=45°，
∴∠DAF=∠B=45°，
∵FG=AG，
∴FG=DG=EG，
∴ΔDFE是直角三角形，且∠DFE=90°，
∵∠DFA+∠AFE=∠BFE+∠AFE=90°，
∴∠DFA=∠EFB，
在ΔAFD和ΔBFE中，
∠DAF=∠BAF=BF∠DFA=∠EFB，
∴ΔAFD≅ΔBFE(ASA)，
∴AD=BE=2，
∴AE=AB-BE=4，
故答案为：4．
【分析】连接DF，AF和EF，先利用“ASA”证明ΔAFD≅ΔBFE可得AD=BE=2，再利用线段的和差可得AE=AB-BE=4。
20．【答案】40°
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．
∵AC=AE+EC，AB+BD=AC，
∴DE=EC．
∴∠EDC=∠C=20°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=40°．
∴∠B=∠AED=40°．
故答案为：40°．
【分析】根据折叠的性质可知∠B=∠AED，DE=EC，由三角形外角的性质可知∠AED=∠EDC+∠C，即可求解。
21．【答案】解：如图，作线段MN的垂直平分线，具体作法为：以M点为圆心，大于12MN长为半径作弧，再以N点为圆心，同样长半径作弧，与前弧相交得到两个交点，通过两个交点的直线即为线段MN的垂直平分线，垂直平分线与MN的交点即为要求的A点．
证明如下：
过点A作a，b的垂线，交直线a于D点，交直线b于C点，
∵a//b，
∴∠CMA=∠DNA，
在ΔCMA与ΔDNA中，
∠CMA=∠DNAAM=AN∠MAC=∠NAD，
∴ΔCMA≅ΔDNA（ASA)，
∴AC=AD，
即点A到a，b的距离相等．
【解析】【分析】作线段MN的垂直平分线交MN于点A即可。
22．【答案】解：作图如下：△ABC就是所求的等腰直角三角形．
【解析】【分析】根据要求作出图形即可。
23．【答案】解：如图所示：该半圆即为所求．
【解析】【分析】先作∠A的平分线AD交BC于点O，再以点O为圆心，点O到AC的距离OD为半径画半圆，此时半圆与AC，AB都相切，此时该半圆的面积最大.
24．【答案】解：作图如下：
步骤：第一步：作∠ABC的角平分线，以点B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，以大于12MN的长为相同半径分别画弧使其相交于点P，连接BP；
第二步：作∠ACB的角平分线，以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别AC、BC于点R和点Q，再分别以点Q和点R为圆心，以大于12QR长为相同半径分别画弧使其相交于点K，连接CK；
第三步：确定圆心O．BP和CK的交点就是内切圆的圆心O；
第四步：确定半径．过点圆心O作BC的垂线，垂足为点E，以点O为圆心，以大于OE的长为半径画弧，交BC于点D和点F，再分别以点D和点F为圆心，以大于12DF的长为半径画弧，使其相交于点L，连接OL，交BC于点E，点E就是OL垂直于BC的垂足．
第五步：连接OE，以点O为圆心，以OE的长为半径画圆，⊙O即为所求．
【解析】【分析】根据要求作出图形即可（详解见解析）。
25．【答案】解：作图如下：
【解析】【分析】根据要求作出图形即可。
26．【答案】（1）(0，233)或（0，2）
（2）解：①设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝3－a，∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠OBA=∠BAO=60∘，∴∠COA=90∘-∠AOB=90∘-60∘=30∘，在RtΔAOC中，tan∠COA=CAOC，∴CA=OCtan∠COA=3×33=1，∴OA=2CA=2，∵AD⊥DM，∴∠ADC+∠ODM=90∘，∵∠CAD+∠ADC=90∘，∴∠CAD=∠ODM，∵∠ACD=∠DOM=90∘，∴ΔACD∽ΔDOM，∴CDOM=ACDO，即：3-am=1a，∴m=-a2+3a=-(a-32)2+34，∴当a=32时，m的最大值为34；∴m的最大值为34时，点D坐标为(0，32)；②存在这样的m值，使BE＝BF；作FH⊥y轴于点H，∴AC∥PD∥FH∥x轴，
∴AEEF=CDDH，OHDH=OFEF，∵BF=BE，∴∠BEF=∠BFE，∵∠BEA+∠BEF=180∘，∠BFO+∠BFE=180∘，∴∠BEA=∠BFO，∵∠BAE=∠BOF=60∘，∴ΔBEA≌ΔBFO(AAS)，∴AE=FO，∴OHDH=CDDH，∴CD=HO，设OD=n，则DH=OC-CD-OH=2n-3，HF=HOtan30∘=33(3-n)，∵∠CAD=∠ODM，∠ACD=∠DHF=90∘，∴ΔACD∽ΔDHF，∴HDCA=HFCD，∴2n-31=33(3-n)3-n，解得：n=3 或n=233 ，当n=3时，点P与点A重合，不合题意，舍去，当n=233时，m=-(n-32)2+34=-(233-32)2+34=23 ，∴存在这样的m值，使BE＝BF．此时m=23 ．
【解析】【解答】（1）∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=30°，∵AC⊥y轴，点C的坐标为（0，3），∴OC=3，∴AC=OC·tan30°=3×33=1，当△AOD是等腰三角形，OD=AD，∠DAO=∠DOA=30°，∴∠CDA=60°，∴AD=ACsin60°=233，∴OD=AD=233，∴D的坐标为(0，233)，当△AOD是等腰三角形，此时OA=OD时，OA=OCcos30°=2，∴OD=OA=2，∴点D坐标为（0，2），故答案为：(0，233)或（0，2）；
【分析】（1）先求出∠AOB=60°，再分类讨论，利用等腰三角形的性质求解即可；
（2）①利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可；
②结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质求解即可。
27．【答案】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，∴AE=2AM=2 (4−a)，BE=2 (4−b)，∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），2AC=42，∴EF=AB-AE-BF=2 [4-（4-a）-（4-b）]，∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），∴AE2+BF2=EF2，∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）解：①如图1，
连接PC交EF于G，∵a=b，∴ME=AM=BN=NF，∵四边形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG=90°，∵CM=CN=PM=PN，∴PE=PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，∴PE=AE=PF=BF，∴ME=EG=FG=FN，∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECG+∠FCG=12∠ACB=45°；
②如图2，
仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，∵EF2=BF2+AE2，∴DE=EF，∵CD=CF，CE=CE，∴△DCF≌△FCE（SSS），∴∠ECF=∠DCF=12∠DCF=12×90°=45°．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）①先求出 ME=AM=BN=NF， 再求出 ∠PEG=90°， 最后求解即可；
②利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
28．【答案】（1）解：如图，延长CE交AB于H，
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：在△BED旋转的过程中CE'与AB'的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：
如图2，延长CE'交AB'于H，
由旋转可得：CD=DE'，B'D=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠CDE'=∠ADB'，
∵CDDE'=ADDB'=1，
∴△ADB'∼△CDE'，
∴∠DAB'=∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DAB'+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）解：如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'=30°，BD'=BD=AD，
∴∠ADB'=120°，∠DAB'=∠AB'D=30°，
∵DH⊥AB'，AD=B'D，
∴AD=2DH，AH=3DH=B'H，
∴AB'=3AD，
由（2）可知：△ADB'∼△CDE'，
∴∠DAB'=∠DCE'=30°，
∵AD⊥BC，CD=3，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
∵∠DAB'=30°，DH⊥AB'，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴AB'=3AD=53．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°， 再计算求解即可；
（2）结合图形，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出 DG=1，CG=2DG=2， 再求出 AG=2GF=4， 最后计算求解即可。
29．【答案】（1）解：如图①，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝AC2+BC2＝42+42=42（cm），
由题意得，AP＝2tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（42﹣2t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC∠BQP=∠BCA，
∴△BPQ∽△BAC，
∴BPBA＝BQBC，
∴42-2t42=t4，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）解：作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图，
AP=2t，BQ=tcm，(0⩽t<4)
∵∠C=90°，AC=BC=4cm，
∴ΔABC为直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴ΔAPE和ΔPBD为等腰直角三角形，
∴PE=AE=22AP=tcm，BD=PD，
∴CE=AC-AE=(4-t)cm，
∵四边形PECD为矩形，
∴PD=EC=(4-t)cm，
∴BD=(4-t)cm，
∴QD=BD-BQ=(4-2t)cm，
在Rt△PCE中，PC2=PE2+CE2=t2+(4-t)2，
在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2=(4-t)2+(4-2t)2，
∵四边形QPCP'为菱形，
∴PQ=PC，
∴t2+(4-t)2=(4-t)2+(4-2t)2，
∴t1=43，t2=4（舍去）．
∴t的值为43．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）结合题意，利用勾股定理计算求解即可。
30．【答案】（1）解：BD=CE．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
（2）①BE=AE+CE；
②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，如下图．
∵△ADE是等边三角形，AG⊥DE，
∴∠DAG=12∠DAE=30°，
∴AGAD=cos∠DAG=32．
∵△ABC是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF=12∠BAC=30°，
∴AFAB=cos∠BAF=32，
∴∠BAF=∠DAG，AGAD=AFAB，
∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，
即∠BAD=∠FAG，
∴△BAD∽△FAG，
∴∠ADB=∠AGF=90°．
∵BD=CE，ED＝EC，
∴BD=AD，
即△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°．
【解析】【解答】解：（2）解：①BE=AE+CE
理由：∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，
由（1）得BD=CE，
∴BE=DE+BD=AE+CE；
【分析】（1）先求出 ∠BAD=∠CAE，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出△ADE是等边三角形，再求解即可；
②先求出 ∠DAG=12∠DAE=30°， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可
专题17 三角形 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练
一、单选题
1．（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A．136 B．56 C．76 D．65
2．（2022·聊城）如图，△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠BAQ=40° B．DE=12BD C．AF=AC D．∠EQF=25°
3．（2022·周村模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE=3，则BF的长是（ ）
A．4 B．5 C．33 D．6
4．（2022·青岛模拟）如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
5．（2022·沂南模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC．①BD=CE；②∠AHC=60°；③FC=CG；④S△CBD=S△CGH；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·茌平模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边BC为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022·济南模拟）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=6，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D，E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线AF，交BC于点M；④分别以A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点；⑤作直线GH，交AB于点N，连接MN．则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2022·东昌府模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．756 B．556 C．655 D．355
9．（2022·泰安模拟）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是（ ）
A．2 B．22 C．2 D．1
10．（2022·滕州模拟）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID=3，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
二、填空题
11．（2022·枣庄）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝ ．
12．（2022·潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．
13．（2022·滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，则∠C的大小为 ．
14．（2022·崂山模拟）如图，在等边ΔABC中，AB=6，BG=12GC，E，F分别为边AB，AC上的点，将ΔAEF沿EF所在直线翻折，点A落在G点，得到三角形ΔEFG，则ΔEFG的面积为 ．
15．（2022·周村模拟）如图，在△ABC中，AB=2，∠ACB=60°，CD⊥BC，DC=BC，则AD的长的最大值为 ．
16．（2022·周村模拟）借助如图所示的“三等分角仪”等三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE= °．
17．（2022·台儿庄模拟）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，sinA=45，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+35PB的最小值为 ．
18．（2022·惠民模拟）如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若∠C=36°，则∠ADB的度数是 ．
19．（2022·兰山模拟）如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=AC=6，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连接DE，点F、G分别是BC和DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段AE长为 ．
20．（2022·任城模拟）如图，将△ABD沿△ABC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E．已知∠C=20°，AB+BD=AC，那么∠B等于 ．
三、作图题
21．（2022·李沧模拟）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b交于点M，N．在线段MN上求作一点A，使点A到a，b的距离相等．
22．（2022·崂山模拟）已知：线段a．
求作：等腰直角△ABC，使得斜边AB=a．
23．（2022·青岛模拟）为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（△ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．
24．（2022·青岛模拟）求作△ABC的内切圆⊙O．
25．（2022·青岛模拟）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）
如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．
求作：⊙O，使⊙O分别与AK、AR相切，圆心O与点A的距离等于a．
四、综合题
26．（2022·济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，3）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
27．（2022·日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
28．（2022·菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B'E'D（点B'，E'分别与点B，E对应），连接CE'、AB'，在△BED旋转的过程中CE'与AB'的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE'与AD、AB'分别交于点G、F，若CG=FG，DC=3，求AB'的长．
29．（2022·枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
30．（2022·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得x=136
即AE=136
故答案为：A
【分析】根据折叠的性质求出CE= DE， ∠C=∠CDE，再求出∠ADE = 90°，最后列方程求解即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】∵∠BAC=80°，∠ACB=70°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP=12∠BAC=40°，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，∴DE=12BD，不符合题意；
C．∵∠B=30°，∠BAP=40°，∴∠AFC=70°，
∵∠C=70°，∴AF=AC，不符合题意；
D．∵∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°，
∴∠EQF=20°，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、直角三角形的性质判断即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】连接AF，如图，
∵AB=AC，∠BAC=120°．
∴∠B=∠C=30°，
∵ED垂直平分AC，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠AFD=60°，∠D=30°，
∴∠BAF=90°．
∴在Rt△AED中，AE=ED⋅tanD=3⋅tan30°=3，
∴在Rt△AEF中，AF=AEcos∠FAC=3cos30°=2，
∴在Rt△ABF中，BF=2AF=4．
故答案为：A．
【分析】连接AF，先求出∠AFD=60°，∠D=30°，再利用锐角三角函数求出AE和AF的长，最后利用BF=2AF可得答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】∵∠ABC=50°，
∴∠BAC+∠ACB=130°．
∵点M在PA的中垂线上，点N在PC的中垂线上，
∴AM=PM，PN=CN，
∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN
∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP
∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=12(∠BAC+∠ACB)=12×130°=65°，
∴∠APC=180°-65°=115°
故答案为：C．
【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAC+∠ACB=130°，由中垂线的性质可得AM=PM，PN=CN，由等边对等角可得∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，进而得出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=12(∠BAC+∠ACB)=12×130°=65°，再根据三角形内角和定理即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①符合题意；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：
∵∠EFC＝∠AFD＝60°
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CEM＝∠CGN，
在△ECM和△GCN中
∠CEM=∠CGN∠CME=∠CNG=90°CM=CN，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
AM=HN∠AMC=∠HNC=90°CM=CN，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②符合题意；
③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不符合题意；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④符合题意，
∴正确的有：①②④，
故答案为：C．
【分析】①由“ASA”证明△BCD≌△CAE，再利用全等三角形的性质可得BD=CE，从而可得①正确；②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，利用“AAS”证明△ECM≌△GCN可得CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，再利用“SAS”证明△AMC≌△HNC可得∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，再证明△ACH是等边三角形，可得∠AHC＝60°，故②符合题意；③利用全等三角形的性质求解可得∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不符合题意；④利用全等三角形的性质求解即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】如图所示，画出的不同的等腰三角形的个数最多为4个.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，
∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，
∴AM是边BC上的中线，
∴BM＝CM，
∵GH是边AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12AC＝3．
故答案为：B．
【分析】先证明MN是△ABC的中位线，再利用中位线的性质可得MN=12AC＝3。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AB，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°
∴AB=AC2+BC2=32+42=5
∵SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD
∴4×3=5CD
∴CD=125
∴BD=BC2-CD2=32-(125)2=95
∵BC=BC'=3
∴C'D=BC'-BD=3-95=65
CC'=CD2+C'D2=(125)2+(65)2=655
故答案为：C
【分析】作CD⊥AB，根据SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD求出CD=125，再利用勾股定理求出BD的长，利用线段的和差求出C'D=BC'-BD=3-95=65，最后利用勾股定理求出CC'=CD2+C'D2=(125)2+(65)2=655即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作射线CE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴E点在射线CE上运动，
∴当OE⊥CE时，OE最小，此时△OCE是等腰直角三角形，OC=2，则OE=2sin∠OCE=2，
故答案为：C．
【分析】作射线CE，利用“SAS”证明△ABD≌△ACE可得∠ABD=∠ACE=45°，再利用当OE⊥CE时，OE最小，此时△OCE是等腰直角三角形，最后利用锐角三角函数求出OE=2sin∠OCE=2即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：过I点作IE⊥AB于点E，IF⊥AC于点F，如图，
∵AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴IE=IF=ID=3，
∴S△ABC=S△IAB+S△IBC+S△IAC
=12×AB×3+12×BC×3+12×AC×3
=32(AB+BC+AC)
=32×18
=27
故答案为：D．
【分析】过I点作IE⊥AB于点E，IF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可得IE=IF=ID=3，再利用割补法和三角形的面积公式可得S△ABC=S△IAB+S△IBC+S△IAC=27。
11．【答案】25
【解析】【解答】解：如图，连接BM．
由作图可知MN垂直平分线段BD，
∴BM＝DM＝5．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD∥AB．
∴BC＝BM2-CM2＝52-32＝4．
∴BD＝CB2+CD2＝42+82＝45．
∴OB＝OD＝25．
∵∠MOD＝90°，
∴OM＝DM2-OD2＝52-(25)2＝5．
∵CD∥AB，
∴∠MDO＝∠NBO．
在△MDO和△NBO中，
∠MDO=∠NBO，OD=BO，∠MOD=∠NOB，
∴△MDO≌△BNO（ASA）．
∴OM＝ON＝5．
∴MN＝25．
故答案为：25．
【分析】利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
12．【答案】2：1
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DAB=90°，
由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，
∴△AB′D′是等腰直角三角形，
∴AD=AD′= B′D′，
由勾股定理得AB′=2AD，
又由操作二可知：AB′=AB，
∴2AD=AB，
∴ABAD=2，
∴A4纸的长AB与宽AD的比值为2：1．
故答案为：2：1．
【分析】由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，得出△AB′D′是等腰直角三角形，由勾股定理得AB′=2AD，又由操作二可知：AB′=AB，即可得解。
13．【答案】30°
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=120°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-120°2=30°，
故答案为：30°．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和公式可得∠C=180°-120°2=30°。
14．【答案】49203
【解析】【解答】解：如图，过F作FQ⊥EG于Q，
由对折，△ABC为等边三角形可得：
AB=BC=AC=6，∠B=∠A=∠FGE=∠C=60°，AF=FG，AE=GE，
∴∠FGC+∠BGE=120°=∠BGE+∠GEB，
∴∠FGC=∠GEB，
∴△BEG∽△CGF，
∴BECG=EGGF=BGCF，
∵BG=12GC，
∴BG=2，CG=4，
∴6-AE4=AEGF=2CF，
∴GF=4AE6-AE，CF=86-AE，
而FG+CF=CF+AF=6，
∴4AE6-AE+86-AE=6，
解得：AE=2.8，
经检验正确，则AE=GE=2.8，
∴BE=6-2.8=3.2，3.24=2.8GF，
∴GF=3.5，
∴FQ=GF·sin60°=72×32=734，
∴S△EFG=12×145×734=49320.
故答案为：49320.
【分析】过F作FQ⊥EG于Q，由对折，△ABC为等边三角形可得AB=BC=AC=6，∠B=∠A=∠FGE=∠C=60°，AF=FG，AE=GE，利用相似得出△BEG∽△CGF， 得出BECG=EGGF=BGCF， 得出AE、BE、GF、FQ的值，再利用三角形面积公式即可得解。
15．【答案】2+6
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AC的延长线于点E，
∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，
∴∠DCE=30°，
设CD=CB=x，AC=y，则DE=12x，CE=32x，AE=AC+CE=y+32x
在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2=DE2+AE2，
∴AD2=(12x)2+(y+32x)2=x2+y2+3xy，
∵(x-y)2≥0，
∴x2+y2-2xy≥0，
∴xy≤x2+y22，且当x=y时，等号成立，
∴AD2=x2+y2+3xy≤x2+y2+3×x2+y22=(2+3)(x2+y2)2 ，
当x=y时，AD有最大值， 且AD2=(2+3)(x2+y2)2，
∵AB=2，∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴当x=y=2时，AD2=(2+3)(x2+y2)2=8+43，
又AD＞0，
∴AD=6+2．
故答案为：6+2．
【分析】作DE⊥AC的延长线于点E，由含30度角的直角三角形的性质得出设CD=CB=x，AC=y，则DE=12x，CE=32x，AE=AC+CE=y+32x，再由勾股定理得出AD2=DE2+AE2，当x=y时，AD有最大值， 且AD2=(2+3)(x2+y2)2，此时，△ABC为等边三角形，则当x=y=2时，AD2=(2+3)(x2+y2)2=8+43，即可得解。
16．【答案】80
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，则∠DCE=∠DEC=∠O+∠ODC=2x，
∵∠BDE=∠O+∠DEC=x+2x=75°，
解得x=25°，
∴∠DCE=∠DEC=2x=50°，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x=80°，
故答案为：80．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，由外角性质得出∠CDE即可得解。
17．【答案】165
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示：
∵AB=5，sinA=45，BD⊥AC，
∴BD=AB⋅sinA=4，
∴AD=AB2-BD2=3，
∴sin∠ABD=35，
∴PH=PB⋅sin∠ABD=35PB，
∴PC+35PB=PC+PH，
若使PC+35PB的值为最小，也就相当于PC+PH为最小，
∴当点C、P、H三点共线时，PC+PH的值为最小，如图所示：
∵AC=4，
∴CH=AC⋅sinA=4×45=165，
∴PC+35PB的最小值为165；
故答案为165．
【分析】过点P作PH⊥AB于点H，利用解直角三角形的方法可得PC+35PB=PC+PH，因此若使PC+35PB的值为最小，也就相当于PC+PH为最小， 再根据当点C、P、H三点共线时，PC+PH的值为最小，最后求出CH的长即可。
18．【答案】72°
【解析】【解答】∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠C=36°，
∴∠B=∠BAC=180∘-36∘2=72∘，
∵根据题意可知AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=12×72∘=36∘，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=36∘+36∘=72∘，
故答案为：72∘．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠B=∠BAC=180∘-36∘2=72∘，再利用角平分线的定义可得∠DAC=12∠BAC=12×72∘=36∘，最后利用角的运算可得∠ADB=∠DAC+∠C=36∘+36∘=72∘。
19．【答案】4
【解析】【解答】解：连接DF，AF，EF，
在ΔABC中，AB=AC，∠CAB=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵点G是DE的中点，点F是BC的中点，
∴AG=DG=EG，AF=BF，AF⊥BC，∠DAF=45°，
∴∠DAF=∠B=45°，
∵FG=AG，
∴FG=DG=EG，
∴ΔDFE是直角三角形，且∠DFE=90°，
∵∠DFA+∠AFE=∠BFE+∠AFE=90°，
∴∠DFA=∠EFB，
在ΔAFD和ΔBFE中，
∠DAF=∠BAF=BF∠DFA=∠EFB，
∴ΔAFD≅ΔBFE(ASA)，
∴AD=BE=2，
∴AE=AB-BE=4，
故答案为：4．
【分析】连接DF，AF和EF，先利用“ASA”证明ΔAFD≅ΔBFE可得AD=BE=2，再利用线段的和差可得AE=AB-BE=4。
20．【答案】40°
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．
∵AC=AE+EC，AB+BD=AC，
∴DE=EC．
∴∠EDC=∠C=20°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=40°．
∴∠B=∠AED=40°．
故答案为：40°．
【分析】根据折叠的性质可知∠B=∠AED，DE=EC，由三角形外角的性质可知∠AED=∠EDC+∠C，即可求解。
21．【答案】解：如图，作线段MN的垂直平分线，具体作法为：以M点为圆心，大于12MN长为半径作弧，再以N点为圆心，同样长半径作弧，与前弧相交得到两个交点，通过两个交点的直线即为线段MN的垂直平分线，垂直平分线与MN的交点即为要求的A点．
证明如下：
过点A作a，b的垂线，交直线a于D点，交直线b于C点，
∵a//b，
∴∠CMA=∠DNA，
在ΔCMA与ΔDNA中，
∠CMA=∠DNAAM=AN∠MAC=∠NAD，
∴ΔCMA≅ΔDNA（ASA)，
∴AC=AD，
即点A到a，b的距离相等．
【解析】【分析】作线段MN的垂直平分线交MN于点A即可。
22．【答案】解：作图如下：△ABC就是所求的等腰直角三角形．
【解析】【分析】根据要求作出图形即可。
23．【答案】解：如图所示：该半圆即为所求．
【解析】【分析】先作∠A的平分线AD交BC于点O，再以点O为圆心，点O到AC的距离OD为半径画半圆，此时半圆与AC，AB都相切，此时该半圆的面积最大.
24．【答案】解：作图如下：
步骤：第一步：作∠ABC的角平分线，以点B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，以大于12MN的长为相同半径分别画弧使其相交于点P，连接BP；
第二步：作∠ACB的角平分线，以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别AC、BC于点R和点Q，再分别以点Q和点R为圆心，以大于12QR长为相同半径分别画弧使其相交于点K，连接CK；
第三步：确定圆心O．BP和CK的交点就是内切圆的圆心O；
第四步：确定半径．过点圆心O作BC的垂线，垂足为点E，以点O为圆心，以大于OE的长为半径画弧，交BC于点D和点F，再分别以点D和点F为圆心，以大于12DF的长为半径画弧，使其相交于点L，连接OL，交BC于点E，点E就是OL垂直于BC的垂足．
第五步：连接OE，以点O为圆心，以OE的长为半径画圆，⊙O即为所求．
【解析】【分析】根据要求作出图形即可（详解见解析）。
25．【答案】解：作图如下：
【解析】【分析】根据要求作出图形即可。
26．【答案】（1）(0，233)或（0，2）
（2）解：①设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝3－a，∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠OBA=∠BAO=60∘，∴∠COA=90∘-∠AOB=90∘-60∘=30∘，在RtΔAOC中，tan∠COA=CAOC，∴CA=OCtan∠COA=3×33=1，∴OA=2CA=2，∵AD⊥DM，∴∠ADC+∠ODM=90∘，∵∠CAD+∠ADC=90∘，∴∠CAD=∠ODM，∵∠ACD=∠DOM=90∘，∴ΔACD∽ΔDOM，∴CDOM=ACDO，即：3-am=1a，∴m=-a2+3a=-(a-32)2+34，∴当a=32时，m的最大值为34；∴m的最大值为34时，点D坐标为(0，32)；②存在这样的m值，使BE＝BF；作FH⊥y轴于点H，∴AC∥PD∥FH∥x轴，
∴AEEF=CDDH，OHDH=OFEF，∵BF=BE，∴∠BEF=∠BFE，∵∠BEA+∠BEF=180∘，∠BFO+∠BFE=180∘，∴∠BEA=∠BFO，∵∠BAE=∠BOF=60∘，∴ΔBEA≌ΔBFO(AAS)，∴AE=FO，∴OHDH=CDDH，∴CD=HO，设OD=n，则DH=OC-CD-OH=2n-3，HF=HOtan30∘=33(3-n)，∵∠CAD=∠ODM，∠ACD=∠DHF=90∘，∴ΔACD∽ΔDHF，∴HDCA=HFCD，∴2n-31=33(3-n)3-n，解得：n=3 或n=233 ，当n=3时，点P与点A重合，不合题意，舍去，当n=233时，m=-(n-32)2+34=-(233-32)2+34=23 ，∴存在这样的m值，使BE＝BF．此时m=23 ．
【解析】【解答】（1）∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=30°，∵AC⊥y轴，点C的坐标为（0，3），∴OC=3，∴AC=OC·tan30°=3×33=1，当△AOD是等腰三角形，OD=AD，∠DAO=∠DOA=30°，∴∠CDA=60°，∴AD=ACsin60°=233，∴OD=AD=233，∴D的坐标为(0，233)，当△AOD是等腰三角形，此时OA=OD时，OA=OCcos30°=2，∴OD=OA=2，∴点D坐标为（0，2），故答案为：(0，233)或（0，2）；
【分析】（1）先求出∠AOB=60°，再分类讨论，利用等腰三角形的性质求解即可；
（2）①利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可；
②结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质求解即可。
27．【答案】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，∴AE=2AM=2 (4−a)，BE=2 (4−b)，∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），2AC=42，∴EF=AB-AE-BF=2 [4-（4-a）-（4-b）]，∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），∴AE2+BF2=EF2，∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）解：①如图1，
连接PC交EF于G，∵a=b，∴ME=AM=BN=NF，∵四边形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG=90°，∵CM=CN=PM=PN，∴PE=PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，∴PE=AE=PF=BF，∴ME=EG=FG=FN，∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECG+∠FCG=12∠ACB=45°；
②如图2，
仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，∵EF2=BF2+AE2，∴DE=EF，∵CD=CF，CE=CE，∴△DCF≌△FCE（SSS），∴∠ECF=∠DCF=12∠DCF=12×90°=45°．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）①先求出 ME=AM=BN=NF， 再求出 ∠PEG=90°， 最后求解即可；
②利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
28．【答案】（1）解：如图，延长CE交AB于H，
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：在△BED旋转的过程中CE'与AB'的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：
如图2，延长CE'交AB'于H，
由旋转可得：CD=DE'，B'D=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠CDE'=∠ADB'，
∵CDDE'=ADDB'=1，
∴△ADB'∼△CDE'，
∴∠DAB'=∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DAB'+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）解：如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'=30°，BD'=BD=AD，
∴∠ADB'=120°，∠DAB'=∠AB'D=30°，
∵DH⊥AB'，AD=B'D，
∴AD=2DH，AH=3DH=B'H，
∴AB'=3AD，
由（2）可知：△ADB'∼△CDE'，
∴∠DAB'=∠DCE'=30°，
∵AD⊥BC，CD=3，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
∵∠DAB'=30°，DH⊥AB'，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴AB'=3AD=53．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°， 再计算求解即可；
（2）结合图形，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出 DG=1，CG=2DG=2， 再求出 AG=2GF=4， 最后计算求解即可。
29．【答案】（1）解：如图①，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝AC2+BC2＝42+42=42（cm），
由题意得，AP＝2tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（42﹣2t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC∠BQP=∠BCA，
∴△BPQ∽△BAC，
∴BPBA＝BQBC，
∴42-2t42=t4，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）解：作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图，
AP=2t，BQ=tcm，(0⩽t<4)
∵∠C=90°，AC=BC=4cm，
∴ΔABC为直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴ΔAPE和ΔPBD为等腰直角三角形，
∴PE=AE=22AP=tcm，BD=PD，
∴CE=AC-AE=(4-t)cm，
∵四边形PECD为矩形，
∴PD=EC=(4-t)cm，
∴BD=(4-t)cm，
∴QD=BD-BQ=(4-2t)cm，
在Rt△PCE中，PC2=PE2+CE2=t2+(4-t)2，
在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2=(4-t)2+(4-2t)2，
∵四边形QPCP'为菱形，
∴PQ=PC，
∴t2+(4-t)2=(4-t)2+(4-2t)2，
∴t1=43，t2=4（舍去）．
∴t的值为43．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）结合题意，利用勾股定理计算求解即可。
30．【答案】（1）解：BD=CE．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
（2）①BE=AE+CE；
②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，如下图．
∵△ADE是等边三角形，AG⊥DE，
∴∠DAG=12∠DAE=30°，
∴AGAD=cos∠DAG=32．
∵△ABC是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF=12∠BAC=30°，
∴AFAB=cos∠BAF=32，
∴∠BAF=∠DAG，AGAD=AFAB，
∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，
即∠BAD=∠FAG，
∴△BAD∽△FAG，
∴∠ADB=∠AGF=90°．
∵BD=CE，ED＝EC，
∴BD=AD，
即△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°．
【解析】【解答】解：（2）解：①BE=AE+CE
理由：∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，
由（1）得BD=CE，
∴BE=DE+BD=AE+CE；
【分析】（1）先求出 ∠BAD=∠CAE，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出△ADE是等边三角形，再求解即可；
②先求出 ∠DAG=12∠DAE=30°， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可
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