2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如果分式的值为零，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列二次根式中，最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 实数，，，，，中，无理数的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，估计的值所在的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，大正方形的边长均为，图中白色小正方形的边长为，图中白色长方形的宽为，设，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是______ ．
10. 约分：______，______．
11. 在实数范围内因式分解：______．
12. 比较大小： ______填“”、“”、“”．
13. 若关于的方程的解是，则______．
14. 已知，则的值为______．
15. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是______．
     
16. 观察下面的规律：，，，，，．
    ______；
    若，，则 ______．

三、解答题（本大题共12小题，共68分）

17. 计算：；
    ；
    ．
18. 计算：；
    ．
19. 计算：．
20. 计算：．
21. 解分式方程：．
22. 已知，求的平方根．
23. 已知，求代数式的值．
24. 已知一个正数的两个平方根为和，求和的值．
25. ，两地相距甲骑自行车从地出发小时后，乙骑摩托车从地出发追赶甲．已知乙的速度是甲的速度的倍，且甲乙同时到达地，求甲、乙的速度．
26. 在学习分式方程的解法时，王老师提出了这样一个问题：解方程．
    同学们在解答完成后，王老师介绍了另一种解法：
    由，
    从而可得，解得．
    经检验，是原方程的解．
    小雨同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，发现由得成立，同时也成立，她又试了一些式子，由此发现了规律．
    请你将她发现的规律补充完整：
    已知，，，均不为，若，则，：______：______：______：______；
    请用上述规律，解分式方程．
27. 数学王老师组织了“探究”的活动，下面是同学们的探究过程：
    到底有多大？
    下面是小明探究的近似值的过程，请补充完整：
    我们知道面积是的正方形边长是，且设，画出如下示意图：
    由面积公式，可得______
    因为的值很小，所以更小，略去，得方程______，
    解得______保留到，
    即______．
    怎样画出？
    下面是小亮探索画的过程，请补充完整：
    现在有个边长为的正方形，如图，请把它们分割后拼成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格中画出拼接成的新正方形．
    小亮的做法是：设新正方形的边长为，割补前后图形的面积相等，则，结合实际解得把图如图所示进行分割，请在图中画出拼接成的新正方形．
    
    请参考小亮的做法，现有个边长为的正方形，如图，请把它们分割后拼成一个边长为的新的正方形，在图中画出即可．

28. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
    下列式子中，，，______是根分式填写序号即可；
    写出根分式中的取值范围______；
    已知两个根分式，．
    若，求的值；
    若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，的算术平方根是．
故选：．
利用算术平方根的定义即可求解．
本题考查了算术平方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根的定义．一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：分式的值为零，
．
解得：．
故选：．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，从而可列出关于的不等式组，故此可求得的值．
本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；
D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的定义解答即可．
本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，否则就不是．
 

4.【答案】 

【解析】解：在实数，，，，，中，无理数有，，，共个．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据分式的基本性质，即分式的分子和分母都乘以或除以一个不为的数或整式，分式的大小不变，可得，
A.不一定与相等，因此选项A不符合题意；
B.不一定与相等，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C符合题意；
D.，即，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质逐项进行判断即可．
本题考查分式的基本性质，掌握“分式的分子和分母都乘以或除以一个不为的数或整式，分式的大小不变”是正确判断的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的值所在的范围是：；
故选D．
根据，得出，从而估算出所在的范围．
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出的范围．
 

7.【答案】 

【解析】解：．，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C符合题意；
D.是最简分式，不能约分，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质以及分解因式是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：图的阴影部分的面积为：，
图的阴影部分的面积为：，



，
，
，
故选：．
分别表示出图和图中的阴影部分的面积，再进行分析即可．
本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是表示出相应的阴影部分的面积．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
 

10.【答案】  

【解析】解：，
．
故答案为：，．
将分子与分母的公因式约去即可．
本题考查了约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：
在实数范围内利用平方差公式因式分解即可．
本题主要考查了实数范围内因式分解，实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围可用无理数的形式来表示．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：
先把平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
此题主要考查了算术平方根的性质，首先运用二次根式的性质把根号外的移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，
原方程为，
解得，
故答案为：．
将代入原方程进行求解即可．
此题考查了分式方程解的概念的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
直接利用非负数的性质得出，的值，进而计算得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是有理数，
是无理数，
故答案为：．
先求，判断是有理数，再进一步求的算数平方根，结果是无理数．
本题主要考查有理数的加减混合运算、代数式的求值，掌握混合运算的顺序，理解题意把输入的值代入那个式子是解题关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：，
．
故答案为：．
，
．
故答案为：．
根据二次根式的乘法法则解决此题．
根据二次根式的除法法则解决此题．
本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：；
；
． 

【解析】根据分式的乘法法则计算即可；
根据分式的除法法则计算即可；
根据乘方运算法则计算即可．
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：

；




． 

【解析】先通分成相同的分母，再进行同分母的加法运算即可；
先通分成相同的分母，再进行同分母的减法运算即可．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】先算开方，再合并同类项即可．
本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题关键．
 

20.【答案】解：

． 

【解析】先利用完全平方公式与乘法分配律将括号展开，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：两边同时乘以，去分母得：
，
解得，
检验：把代入，得，
分式方程的解为． 

【解析】首先两边同时乘以，去分母，再解整式方程，最后检验即可．
本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：由二次根式有意义可得：，
解得．
．
．
故的平方根为． 

【解析】根据二次根式有意义的条件可得，从而可得，的值，再求得的平方根．
本题考查了二次根式的化简，二次根式有意义的条件，平方根，熟悉以上知识是正确解答的关键．
 

23.【答案】解：原式

，
因为，
所以，
所以原式． 

【解析】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则，利用整体代入求值是关键．
 

24.【答案】解：由题意得，．
．
．
． 

【解析】根据平方根的性质一个正数的平方根互为相反数解决此题．
本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的性质是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：设甲的速度是，则乙的速度是，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲的速度是，乙的速度是． 

【解析】设甲的速度是，则乙的速度是，利用时间路程时间，结合甲比乙多用小时，即可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出甲的速度，再将其代入中可求出乙的速度．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

26.【答案】       

【解析】解：，
故答案为：，，，；
，
，
解得或，
经检验，或是方程的解，
原方程的解为或．
通过观察所给的分式，直接写出即可；
仿照所给的例子，所求方程可变形为，再解方程并对所求的根进行检验即可求解．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，理解所给的分式的性质，并能灵活应用性质解方程是解题的关键．
 

27.【答案】       

【解析】解：图中大正方形的边长是，面积为：，
大正方形的面积还可以表示为：．
，
略去得：，
．
．
故答案为：，，，．
小亮同学的做法图示为：


通过面积建立方程求解即可；
按要求，分割后拼成的图形面积能够用方程表示即可．
本题考查作图复杂作图，估算无理数的大小，勾股定理，乘法公式的几何背景，找到面积的不同表示方法是求解本题的关键．
 

28.【答案】  且  或 

【解析】解：不是根分式，
不是根分式，
是根分式，
故答案为：；
由题意得：，，
解得：，，
故的取值范围是：且；
故答案为：且；
当，时，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解；





，
是一个整数，且为整数，
是一个整数，
，
解得：或，
经检验，或符合题意，
故答案为：或．
根据根分式的定义进行判断即可；
根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；
对式子进行化简，再进行求解即可；
对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，分式有意义的条件，二次根式的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．