2022宜宾三中高二上学期期中考试数学（理）试题含答案

宜宾市三中2021年秋期期中教学质量检测

高二年级  理科数学试题

一、选择题（每题5分，共60分，每题只有一个正确答案）

1．直线的斜率为

2．已知圆的圆心为，且过点，则圆的方程为

3．直线l垂直于直线，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是

4．已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是

离心率为             

焦点为       

椭圆上的点的横坐标取值范围为

5．已知直线相切，则的值为

6．若直线平行，则之间的距离为

7．已知直线和圆，则圆关于直线对称的圆的方程为

8．已知是椭圆上的一点，，若线段的中点在轴上，则为

9．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是

A． B． C． D．

10．椭圆，上的一点，且是顶角为的等腰三角形，则椭圆离心率为

11．椭圆，过点的直线与交于两点，线段中点的横坐标为，则直线的斜率为

12．为圆上一点，过作直线，且，则的最大值为

二、填空题.（每题5分，共20分）

13．交于两点，则直线的方程为__________.

14．椭圆，焦距为，椭圆上的点到一个焦点的最大距离为，则椭圆上的点到一个焦点的最小距离为__________.

15．已知圆与直线，点在圆内，且过的最短弦所在直线的方程为，则圆的标准方程为__________.

16．已知椭圆的右焦点为，轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为________.

三、解答题（共6小题；共70分）

17．(本题10分)已知，且.

（1）求边上的中线所在直线的方程；

（2）求边上的高所在直线的方程.

18．(本题12分)如图，四棱锥中，为正方形，为等腰直角三角形，且，平面平面，、分别为、中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19．(本题12分)已知圆及圆外一点.

（1）过点作圆的一条切线，切点为，求线段的长；

（2）若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.

20．(本题12分)已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过且倾斜角为的直线交椭圆与两点，求的面积.

21．(本题12分)如图所示，四棱柱的底面是正方形，为底面的中心，平面，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正切值．

22．(本题12分)已知一动圆M与圆:外切，且与圆：内切.

（1）求动圆M的圆心M的轨迹方程；

（2）若过点的直线（不与轴重合）与曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

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理科数学答案

D D C B A   C C D B A   B D

17.（1）解：中点为，则中线斜率为………………3分

则由点斜式：得：…………………………5分

（2）解：斜率为，则高的斜率为…………………………8分

则由点斜式：得：………………………………10分

18.解：（1）证明：连接，

∵是正方形，是的中点，

∴是的中点，

∵是的中点，∴，

∵平面，平面，∴平面...........6分

（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，

则，，，，,

，，.........8分

设平面的法向量，则，

取得，..........10分

设与平面所成角为，

则..............12分

19.（1）解：………………………………1分

.....................................3分

.......................................................5分

（2）圆心到直线的距离……………………………………………6分

①若直线的斜率不存在，则：满足条件………………………………8分

②若直线的斜率存在，设：，则………………9分

得：，则：......................................................................11分

综上：或……………………………………………………12分

20.（1）解：则……2分

故椭圆代入得到：…………………3分

则方程为…………………………………………………………5分

（2），则满足：……7分

…………………………………………………………………8分

…………………………………………………10分

，则面积为………………………12分

21.【解析】(1)证明：∵平面   ∴

∵是正方形    ∴   

∵     ∴

∵   ∴平面平面.....5分

(2) ∵，，两两垂直，以为原点，分别以向量，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系．

∵，∴，

∴，，，，，......6分

由，易得，则，．......7分

设平面的一个法向量为，

则得取，得，.......9分

又，设平面的一个法向量为，

则，得，取，得.......11分

∴，

因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为

∴二面角的正弦值为      ∴二面角的正切值为....12分

22.解：（1）设圆的半径为，则

为焦点的椭圆，且

........5分

（2）经分析，斜率存在，设方程为：，

由消，得：

.........7分

........8分

.......9分

.........10分

..........11分

的取值范围为........12分