2021内江威远中学校高二下学期第三次月考数学（理）试题含答案

威远中学校高2022届高二下期第二次月考试题

理 科 数 学

（考试时间：120分钟   总分：150分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、已知复数(为虚数单位)，则= (      )

A．3 B．2 C． D．

2、已知抛物线的焦点和双曲线的右焦点重合，则的值为(      )

A． B． C． D．

3、已知函数在上可导，且，则

A． B． C． D．

4、已知函数，则的导函数的图象大致是（    ）

5、已知为坐标原点，点、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，

且，与轴交于点，则的值为(         ) 

A． B． C． D．

6、下列叙述正确的是（   ）

A．若命题“”为假命题，则命题“”是真命题

B．命题“若，则”的否命题为“若，则”

C．命题“，”的否定是“，”

D．“”是“”的充分不必要条件

6、已知椭圆的焦距为6，过右焦点的直线交椭圆于两点，

若中点坐标为，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

8、过双曲线C1：的左焦点作圆C2：的切线，设切点为M，延长

 交抛物线C3：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线 的离心率为（    ）

 A.    B.      C.      D. 

9、已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离是，到直线的

距离为，则的最小值是

A．5          B．4          C．         D．

10、年月日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

11、已知点是椭圆上的动点，，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，

若 是以线段为直径的圆上一点，且到两边的距离相等，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12、已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分,共计20分）

13、已知焦点在轴上的双曲线离心率为，则渐近线方程为______．

14、函数的图象在点处的切线方程为_____．

15、已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_______.

16、定义在上的奇函数的导函数为，且．当时，,则不等式的解为__________．

三、解答题（17题10分，其余各题每小题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17、已知，命题：，；命题：，.

（1）若是真命题，求的最大值；

（2）若是真命题，是假命题，求的取值范围.

18、已知函数在处有极值．

（1）求a,b的值；

（2）求的单调区间．

19、已知椭圆经过点，离心率．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值．

20、如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小

21、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线

的焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD关于y轴对称？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

22、已知函数（其中，为自然对数的底数）．

（1）若函数无极值，求实数的取值范围；

（2）当时，证明：．

高2019级高二下期第三次月考数学理科试卷参考答案

1．D2．A3．A4．A5．B6．B7．B8．B9．C10．A11．B12．A

13．   14．  15．  16．

17．（1）1；（2）.

解：（1）若命题：，为真，

∴则令，，

又∵，∴，

∴的最大值为1.

（2）因为是真命题，是假命题，所以与一真一假，

当是真命题时，，解得或，

当是真命题，是假命题时，有，解得；

当是假命题，是真命题时，有，解得；

综上，的取值范围为.

18．(1),．(2) 单调减区间是,单调增区间是．

解：（1）又在处有极值,

即解得,．

（2）由（1）可知,其定义域是,

．

由,得；由,得．

函数的单调减区间是,单调增区间是．

19．(1) ;(2)1.

（Ⅰ）由点在椭圆上得，①

②

由①②得，故椭圆的标准方程为

20．（1）详见解析；（2）.

(1)如图，取的中点，连接.

因为，所以.

由平面侧面，且平面侧面，

得平面，

又平面，所以，

因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，，

又，从而侧面，又侧面，故；

(2)由(1)知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

，，，，

设平面的一个法向量，由，，得，

令，得，则，

设直线与平面所成的角为，则，

所以，

解得，即．

又设平面的一个法向量为，同理可得.

设锐二面角的大小为，则，

由，得，所以锐二面角的大小为．

21．（1）；（2）见解析.

（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为，

则有，解得，所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）假设存在点满足条件，则．

设，，，联立方程，得，

，，

由，得，即，

综上所述，存在点，使直线AD与BD关于y轴对称．

点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得结果．

22．（1）实数的取值范围是；（2）见解析.

（1）函数无极值， 在上单调递增或单调递减.

即或在时恒成立；

又，

令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增；

，

当时，，即，

当时，显然不成立；

所以实数的取值范围是.

（2）由（1）可知，当时，当时，，即.

欲证 ，只需证即可.

构造函数= （），

则恒成立，故在单调递增，

从而.即，亦即.

得证.

点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．