普通高中数学学业水平合格性考试标准示范卷7含答案

普 通 高 中 学 业 水 平 合 格 性 考 试

标准示范卷 (七)

(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)

一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，那么集合A∪B等于(　　)

A．{x|－1≤x<3} B．{x|x<3}

C．{x|x<－1} D．{x|x>3}

B　A＝{x|x＋1<0}＝{x|x<－1}，

B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}．

∴A∪B＝{x|x<3}，故选B．

2．函数f (x)＝cos的最小正周期为(　　)

A．　　B．π　　C．2π　　D．4π

D　∵ω＝，∴最小正周期T＝＝4π．

3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A．y＝－x3　　B．y＝　　C．y＝|x|　　D．y＝

D　y＝|x|，y＝都是偶函数，y＝|x|在(0，＋∞)上递增，y＝在(0，＋∞)递减，故选D．

4．已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝，则复数a＋bi为(　　)

A．2－i 　　B．2＋i　　C．1＋2i 　　D．1－2i

C　∵a＋i＝，整理得(a＋i)(1＋i)＝bi，

∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi．

由复数相等的条件得解得

∴a＋bi＝1＋2i．故选C．

5．已知函数f (x)＝则f (－1)＋f (1)＝(　　)

A．0　　B．1　　C．　　D．2

C　∵f (－1)＝2－1＝，f (1)＝1＝1，

∴f (－1)＋f (1)＝．

6．某工厂抽取100件产品测其重量(单位：kg)．其中每件产品的重量范围是[40,42]．数据的分组依次为[40,40.5)，[40.5,41)，[41,41.5)，[41.5,42]，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40,41)内的产品件数为(　　)

A．30　　B．40　　C．60　　D．80

B　重量在[40,41)内的产品的频率为(0.1＋0.7)×0.5＝0.40．

∴重量在[40,41)内的产品的件数为0.40×100＝40．

7．sin 110°cos 40°－cos 70°sin 40°＝(　　)

A．－　　B．－　　C．　　D．

C　sin 110°cos 40°－cos 70°sin 40°＝sin 70°·cos 40°－cos 70°sin 40°＝sin(70°－40°)＝sin 30°＝．

8．在平行四边形ABCD中，＋－＝(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

B　＋－＝－＝＝．

9．下列结论正确的是(　　)

A．若a<b ，则a3<b3  B．若a>b ，则2a<2b

C．若a<b ，则a2<b2 D．若a>b ，则ln a>ln b

A　A，由a<b可得a3<b3，因此A正确；B，由a>b可得2a>2b，因此B不正确；C，a<b，a2与b2大小关系不确定，因此C不正确；D，由a>b无法得出ln a>ln b，因此D不正确．

10．已知实数m，n满足2m＋n＝2，其中mn>0，则＋的最小值为(　　)

A．4　　B．6　　C．8　　D．12

A　实数m，n满足2m＋n＝2，

其中mn>0．

所以＋＝(2m＋n)＝

≥＝4，

当且仅当＝，2m＋n＝2，

即m＝且n＝1时，＋取最小值为4．

11．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是(　　)

A．事件“都是红色卡片”是随机事件

B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件

C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件

D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件

C　A，D都是随机事件；因为只有2张蓝色卡片，任取3张，“都是蓝色卡片”是不可能事件；任取3张卡片，有可能“都是红色卡片”，故“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误．

12．甲乙两人进行射击比赛，每人射击5次，射击成绩如下表：

根据上述数据，下列判断正确的是(　　)

A．甲、乙的平均成绩相同，甲的成绩更稳定

B．甲、乙的平均成绩相同，乙的成绩更稳定

C．甲、乙的平均成绩不同，甲的成绩更稳定

D．甲、乙的平均成绩不同，乙的成绩更稳定

A　甲的平均成绩和乙的平均成绩相同都为8，从数据看甲的成绩更稳定．

13．3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

A　3位同学各自在周六、周日任选一天，共有23＝8种方法，3位同学周六，周日都有同学参加有8－2＝6种方法，故所求概率为＝．

14．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列判断正确的是(　　)

A．A1D⊥ C1C B．BD1⊥ AD

C．A1D⊥AC D．AC⊥BD1

D　如图，连接BD交AC于O，则AC⊥BD，

又∵DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，

∴DD1⊥AC，又∵BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，

又∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．

15．已知向量a，b不共线，若＝a＋2b， ＝－3a＋7b，＝4a－5b，则(　　)

A．A，B，C三点共线 B．A，B，D 三点共线

C．A，C，D  三点共线 D．B，C，D三点共线

B　∵＝＋＋＝a＋2b－3a＋7b＋4a－5b＝2a＋4b，∴＝2(a＋2b)＝2，

又∵A是公共点，

∴A，B，D三点共线．

二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)

16．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，若采用分层随机抽样的方法在该校田径队中抽取18人进行体能测试，则应抽取的女运动员的人数为________．

8　应抽取女运动员的人数为×18＝8人．

17．若一个圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为________．

2π　∵圆锥的底面半径r＝1，高h＝，

∴母线长l＝＝＝2．∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．

18．已知函数f (x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)内有零点，则实数a的取值范围为________．

(－2,0)　∵f (x)＝x2＋x＋a的对称轴x＝－，且开口向上，∴f (x)在区间(0,1)内单调递增，函数f (x)在区间(0,1)内有零点，

则f (0)f (1)<0，∴a(2＋a)<0，∴－2<a<0，

∴实数a的取值范围为(－2,0)．

19．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝＋，则与夹角的大小为________．

120°　∵＝＋，∴四边形ABOC是平行四边形，∴||＝||＝||＝R(R为圆的半径)，设〈，〉＝θ，对＝＋，两边平方得2＝2＋2＋2·．

∴R2＝R2＋R2＋2R2cos θ，

∴cos θ＝－，∴θ＝120°．

三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20．(8分)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，PC的中点．证明：EF//平面PAD．

[证明]　取PD的中点G，连接FG，AG，

因为F是PC的中点，

所以FG∥CD且FG＝CD．

又AE∥CD且AE＝CD，所以AE∥FG且AE＝FG，

所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG，

又EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，

所以EF∥平面PAD．

21．(14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝6，cos B＝．

(1)若sin A＝，求b的值；

(2)若c＝2，求b的值及△ABC的面积S．

[解]　(1)因为cos B＝，0<B<π，

所以sin B＝，

由正弦定理＝，

得b＝＝6××＝．

(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝36＋4－2×6×2×＝32，所以b＝4，

因为S＝acsin B，

所以S＝×6×2×＝4．

22．(14分)已知函数f (x)＝ax＋log3(9x＋1) (a∈R)为偶函数．

(1)求a的值；

(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f (x)－b≥0恒成立，求实数b的取值范围．

[解]　(1)由题意知函数f (x)的定义域为R，因为函数f (x)为偶函数，所以f (1)＝f (－1)，即a＋log310＝－a＋log3，可得a＝－1，经检验此时有f (－x)＝f (x)，所以a＝－1．

(2)由已知b≤f (x)在[0，＋∞)上恒成立，所以b小于或等于f (x)在[0，＋∞)上的最小值．

由(1)知f (x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3，

令g(x)＝3x＋，x∈[0，＋∞)，

任取x1，x2∈[0，＋∞)且x2>x1，

则g(x2)－g(x1)＝3＋－3－＝(3－3)，因为x2>x1≥0，

所以3－3>0,3 >1,3－1>0，

所以g(x2)>g(x1)，

所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，

所以g(x)≥g(0)＝2，可得f (x)≥log32，

即f (x)在[0，＋∞)上的最小值为log32，

因此b的取值范围是(－∞，log32]．