2023北京市四中高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023北京市四中高二上学期期中考试数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二数学（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）Ⅰ卷（满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.）1.直线的倾斜角是（    ）A.45°    B.135°    C.120°    D.90°2.已知，，且，则（    ）A.    B.    C.6     D.13.已知点，，则线段的垂直平分线的方程是（    ）A.  B.  C.   D.4.正方体中，为正方形的中心，，则，的值是（    ）A.，  B.，  C.，  D.，5.“”是“直线与直线垂直”的（    ）A.充分而不必要条件      B.必要而不充分条件C.充分必要条件       D.既不充分也不必要条件6.若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ）A.  B.  C.   D.7.已知，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）A.或 B.  C.或 D.8.在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是（    ）A.    B.    C.   D.9.如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为（    ）A.是正三棱锥     B.直线平面 C.直线与所成的角是45°   D.二面角为45°10.过直线上一点作圆的两条切线，切线分别为，，若使得四边形的面积为的点有两个，则实数的取值范围为（    ）A.       B.C.或      D.或二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.直线和直线之间的距离是______.12.若直线与直线平行，则______.13.与直线平行，且与圆相切的直线方程为______.14.在四面体中，所有棱长都是1，，分别为棱，的中点，则______.15.如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，平面，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：①；②；③直线与底面所成角的正弦值为；④面积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题（本题共2个小题，共25分，需要写出详细的演算过程和推理过程.）16.（本题满分12分）如图，在正方体中，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.17.（本小题满分13分）已知点，，，求：（Ⅰ）直线的方程；（Ⅱ）边上的中线所在直线的方程；（Ⅲ）的面积.Ⅱ卷（满分50分）四、解答题（本题共4个小题，共50分，需要写出详细的演算过程和推理过程.）18.（本题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上的一点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.19.（本题满分12分）已知圆及其上一点.（Ⅰ）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（Ⅱ）平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.20.（本题满分13分）如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，，，，分别为棱，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求直线与平面的距离；若不存在，说明理由.21.（本题满分13分）已知圆与圆关于直线对称.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若，为圆上两个不同的点，为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，，当时，求的取值范围.高二数学参考答案及评分标准一、选择题题号12345678910答案BABCACADBA二、填空题题号1112131415答案1或2或①④三、解答题16.（Ⅰ）连接交于点，连接，在正方形中，.因为为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，.设平面的法向量为，所以所以即令，则，，于是.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.17.解：（Ⅰ）直线的斜率是，所以直线的方程是，即直线的方程是.（Ⅱ）因为，，，所以线段的中点坐标为，所以边上的中线所在的直线的斜率不存在，边上的中线所在的直线方程为.（Ⅲ）由（Ⅰ）知直线的方程为，则点到直线的距离，又，故.18.解：（Ⅰ）因为平面，所以，.
因为，所以平面.所以.因为在三棱柱中，，所以.又因为，所以四边形为正方形.连结，则.又因为，所以平面.因为平面，所以.（Ⅱ）因为，，两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系.可得，，，，，.则，，.设，则.设为平面的法向量，则即令，则，，可得.则.解得，则.所以点到平面的距离，19.解：（Ⅰ）因为圆的圆心在上，所以设圆.由已知，，，解得，所以圆的标准方程为.（Ⅱ）由已知，，直线的斜率.因为直线，所以设直线，即.圆的圆心到直线的距离，所以，解得，或，所以直线的方程为或.20.解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以.因为在等边中，是的中点，所以.因为，，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连接，.因为在四边形中，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面，所以平面.因为，平面，所以，.因为在等边中，是的中点，所以.以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.，，，，，设平面的法向量，所以即令，.又平面的法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，所以，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（Ⅲ）设点满足，.因为，，，所以，.因为平面，所以，解得.即棱上存在点使得平面，且.因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，因为，所以直线到平面的距离.21.解：（Ⅰ）设圆的标准方程为，由题意得，即，解得，所以圆的圆心为，所以圆的方程为.（Ⅱ）设点，，直线的方程为，由，得，即①，由，消去，整理得，由韦达定理，，将其代入①整理得，解得②，由直线与圆相交，故，得，即，解得或③，又要使，，有意义，则，，且，所以0不是方程（*）的根，所以，即且④，由②③④得，的取值范围为.