湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题及答案

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第I卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2.若圆与圆相外切，则实数（ ）
A. B.3 C. D.1
3.已知圆为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知空间向量，则在上的投影向量坐标是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知椭圆：，左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）
A.1 B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
7.已知正方体棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（ ）
A.若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B.若，三棱锥的体积不是定值
C.若，有且仅有一个点P，使得平面
D.若，则异面直线BP和所成角取值范围是
8.已知椭圆的上顶点为，左右焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（ ）
A.19 B.14 C. D.13
二､多选题､4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）
A.若，则曲线为椭圆
B.若曲线为双曲线，则或
C.曲线不可能是圆
D.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
10.在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量的夹角）.在正方体中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A.
B.与共线
C.
D.与正方体表面积的数值相等
11.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的焦距为1
B.椭圆的短轴长为
C.的最小值为
D.过点的圆的切线斜率为
12.如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ）
A.三棱锥的四个面都是直角三角形
B.三棱锥的体积最大值为
C.异面直线与的距离是定值
D.当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为
第II卷
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.经过点且方向向量为的直线方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
14.若是椭圆的两个焦点，点为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为__________.
15.已知圆，点.设是圆上的动点，令，则的最小值为__________.
16.已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，则的值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：
（1）若BC的中点为D，求直线AD的方程；
（2）求△ABC的面积.
18.在锐角中，内角的对边分别为，且满足
（1）求角C的大小；
（2）若，角A与角B的内角平分线相交于点D，求面积的取值范围.
19.如图，斜三棱柱的体积为，的面积为，，，平面平面，为线段上的动点（包括端点）.
（1）求到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
20.已知圆的圆心在直线：上，且与直线：相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
21.如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面的夹角余弦值.
22.已知直线与椭圆交于点A，B，与x轴交于点C，与y轴交于点D.当直线l经过椭圆E的左顶点时，椭圆E两焦点到直线l的距离之比为.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）若，求的值.
参考答案
一､单选
7.【详解】
A：由，即为中点，连接，若分别是中点，
连接，则，
又且，即为平行四边形，所以，
所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，
而，，，故
，错误；
B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，
△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，错误；
C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，
由面，面，则面面，
由，面面，面，
所以面，面，则，同理可证：，
由，､面，故面，
而面面，要使面，则必在面内，
显然面，故错误；
D：由知：在（含端点）上移动，
如下图建系，，，则，
设，则，
所以，令，
当，即时，，此时直线和所成角是；
当，即时，则
，
当，即时，取最大值为，
直线和所成角的最小值为，正确.
8.【详解】
因为椭圆的离心率为，所以，，
如图，，所以为正三角形，又因为直线过且垂
直于，所以，直线的方程为：，
设点D坐标，点E坐标，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
则，，
所以，
得，.
由图，直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于.
二､多选题
12.【详解】
对于A，∵四边形为正方形，∴△为直角三角形；
∵为直径，为半圆弧上一动点，∴，△为直角三角形；
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，∵平面，∴，△为直角三角形；
∵平面，平面，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，△为直角三角形；
因此，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A正确；
对于B，过点在平面内作于点，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，为三棱锥的高，
∴三棱锥的体积
∵△的面积为定值，
∴当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧的中点，
，
∴三棱锥体积的最大值为，故B错误；
对于C，由A选项解析可知，，
又∵四边形为正方形，∴，
∴异面直线与的距离为线段的长，，
∴异面直线与的距离是定值，故C正确；
对于D，由B选项解析知，平面，为在平面内的射影，
∴为直线与平面所成角，当直线与平面所成角最大时，取最小值，
以为原点，建立空间直角坐标系如图，设，，，则
∴在直角三角形内，，即，
∴，，，
，
∵，∴
∴
∴当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大，
此时，
∵，，三点均为四棱锥的顶点，
∴平面截四棱锥外接球的截面为△的外接圆面，
∵直角三角形外接圆半径，
∴截面面积，故D正确.
三、填空题
13. 14.8 15. 16.
16.【详解】
由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，
代入椭圆方程得.
设，则，
∴的中点坐标为，
∴.
∵是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，
的垂直平分线方程为，
令，得，即，∴
∴.
四、解答题
17.【详解】
解：（1）∵B（-2，3），C（0，-3），
∴D（-1，0）.
∴直线AD的方程为，
整理得：x-3y+1=0；
（2）∵B（-2，3），C（0，-3），
∴|BC|=.
又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，
∴△ABC的面积为=10.
18.【详解】
（1）∵，
由正弦定理可得，，
整理可得：，
即，
即：，
又因为锐角，
所以，，
所以，
即，又，
所以；
（2）由题意可知，
设，所以，
又，，
所以，
在中，由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以
即面积的取值范围为.
19.【详解】
（1）
所以
即到平面的距离为.
（2）如下图
取的中点，连接，，
又平面平面
平面
则即为直线与平面所成的角，且
于是有，
平面
又
平面
，
在中由等面积法求得A到的距离为
又
.
20.【详解】
（1）由题意设圆心为，半径为，
因为圆与直线：相切于点，
所以，
所以，化简得，
解得，
所以圆心为，半径，
所以圆的方程为，
（2）因为，所以，
所以圆心到直线的距离为1，
①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时满足条件，
②当直线的斜率存在时，设直线为，即，
因为圆心到直线的距离为1，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或.
21.【详解】
（1）取中点，连接，，如图所示：
因为分别为，，的中点，
所以，，
又因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又因为，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
（2）连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，，
又因为为的中点，所以，，
所以，，即四边形为平行四边形，即.
因为面，所以面.
又因为面，所以，即.
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令得.
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
22.【详解】
（1）当直线经过椭圆E的左顶点时，m=b，此时l的方程为.
∴椭圆E的左焦点与右焦点到直线l的距离分别为，.
由题意可得：，即，解得：3c=2a，
∴椭圆E的离心率.
（2）∵3c=2a，
∴，即，
∴.
∴直线l的方程为①，
∴，.
设椭圆E的方程为②，
，.
将①代入②并化简得，.
∴，，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴14n=14，即n=1，
∵
∴，
即.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
D
C
D
D
题号
9
10
11
12
答案
BD
ABD
BD
ACD