22-23北京汇文高三上学期期中数学（无答案）

北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第一学期

期中考试

高三年级   数学学科

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、    选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1. 已知集合，，则（   ）.

A．    B．   C．   D．

2. 已知，则“”是“”的（   ）.

A. 充分不必要条件                B. 必要不充分条件

C. 充要条件                      D. 既不充分也不必要条件

3．在复平面内，复数对应的点的坐标为

A.         B.          C.         D.

4．已知命题，，则是

A. ，          B. ，

C. ，          D. ，

5．下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是

A.       B.        C.     D.

6．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是

A．               B. 是函数的图像的一条对称轴

C. 在上是减函数       D. 在上是增函数

7. 已知，那么下列命题中正确的是（   ）.

A．若，则                           B．若，则

C．若且，则            D．若，则

8. 已知等比数列中，，且，那么的值是（   ）.

A．15 B．31          C．63          D．64

9. 在中,是的中点，，点在上且满足，则等于（    ）.

A．              B.              C.              D. 高.考.

10. 定义：角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（   ）.

A． B． C． D．

11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ）.

A．   B． C.  D．

12. 在等差数列中，，. 记，则数列（   ）.

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

二、    填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13．已知是数列的前项和. 若，则_________.

14. 已知，则的最小值为_________.

15. 若直线与函数的图象有相异的三个公共点，则的取值范围是                .

16. 已知平面内的点，，，若四边形（为坐标原点）是平行四边形，则向量的模为                .

17. 已知函数，给出下列四个结论：

函数是奇函数；                函数在和上都单调；

当时，函数恒成立；  当时，函数有一个零点.

其中所有正确结论的序号是____________ .

18．某生物种群数量与时间的关系近似地符合.  给出下列四个结论：

①     该生物种群的数量不会超过10；

②     ②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；

③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；

③     该生物种群数量的增长速度最大的时间．

依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题（本大题共5小题，共72分）

19．（本小题共14分）已知等差数列满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前项和.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△的面积.

第③组条件： ;    第②组条件： ;

第③组条件：  AB边上的高 ，.

21.（本题满分14分）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．为等腰直角三角形，且．，分别为底边和侧棱的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的余弦值．

22．（本小题共15分）设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调增区间；

（Ⅱ）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；

（Ⅲ）若函数在区间内存在两个极值点，且满足，请直接写出的取值范围.

23．（本小题15分）设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；．

若 的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集．

（Ⅰ）当时，已知集合，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；

（Ⅱ）当时，已知集合.若B不是A的完美子集，求m的值；

（Ⅲ）已知集合，其中，若对任意都成立，判断B是否一定为的完美子集. 若是，请说明理由；若不是，请给出反例．

答案

选择题     CABCB   DCBDA   BB

填空题  13．2     14. 5     15.      16.        17.     18．①②④

解答题

19．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为,

所以当时，.  ① -------------------------------------------1分

当时，,     ②-------------------------------------------2分

②—①得.

因为为等差数列，设公差为,

所以，则,   -----------------------------------------4分

由①可得，所以，----------------------------------------6分

所以.-----------------------------------7分

经检验符合题意，所以通项.

其它解法：

因为为等差数列，设公差为，则，，---2分

所以，

由已知可得，

因为对于成立，-----------------------3分

所以，，            ----------------------------------------6分

所以.-----------------------------------7分

（Ⅱ）因为 是公比为3的等比数列，又知，

所以，-----------------------9分

所以，

所以

  ------------------------------------------------13分

.   ---------------------------------------------------------14分

20．（本小题共14分）

 解：（Ⅰ）由正弦定理及得

，   ------------------------------------------------------2分

因为，所以 --------------------------------------------------------3分

所以，      ----------------------------------------------------------4分

所以，           ----------------------------------------------------------5分

因为，            ----------------------------------------------------------6分

所以.                ----------------------------------------------------------7分

（Ⅱ）选②：                         ---------------------------------------------------8分

法一：因为，，

所以.----------------------------------------9分

由正弦定理得.--------------------10分

由得

.-12分

所以.-------------14分

法二：因为，，

所以.  -------------------------------------9分

由正弦定理得.-------------------10分

由余弦定理得，即，

解得（舍负）

所以.                       ------------------------------------12分

所以.-----------14分

法三：所以，，

所以.

由正弦定理得.

由余弦定理得，即，

解得

由，得

所以.

所以.

选③：-------------------------------------------------------------------------------------8分

法一：因为，边上的高，

作，垂足为，则，在中有，

所以.   --------------------------------------------------------------10分

由余弦定理得，即，

解得（舍负）

所以.                               ------------------------------12分

所以. ---------------------------------14分

法二：过C作CD垂直直线AB于D，则，

所以，  ------------------------------------------------------------10分

所以.

因为，由勾股定理得，---------------------12分

因为，所以，即，所以，

所以.    ----------------------------14分

21. （本小题共14分）

⑴略       ⑵．

22．（本小题共15分）

解：（Ⅰ）当时，，

，------------------------------------------2分

的情况如下：

所以，函数的增区间为和﹒--------------------------------4分

（Ⅱ）由得，

因为在区间上为减函数，

所以在内恒成立，-----------------------------------------------------6分

因为，

所以时，，-----------------------------------------------8分

所以.---------------------------------------------------------------------------9分

或者：

，即恒成立，

时，

（Ⅲ）所以的取值范围为﹒----------------------------------------------------------15分

23．（本小题共15分）

解：（Ⅰ）是完美集；       -------------------------------------------1分

设，

即．

所以是完美集．     ------------------------------------------2分

不是完美集．      ------------------------------------------3分

设，

即

令，则．

所以不是完美集．     ------------------------------------------5分

（Ⅱ）因为B不是完美集，

所以存在，使得，

即  ------------------------------------------6分

因为，

由集合的互异性得，且． ------------------------------------------8分

所以，，．

所以

所以．

所以或．

检验：

当时，存在使得．

当时，因为，所以，舍．

所以．      ------------------------------------------10分

（Ⅲ）B一定是完美集．     ------------------------------------------11分

假设存在不全为0的实数满足，

不妨设，则（否则与假设矛盾）．

由，得．

所以．

与，即矛盾．

所以假设不成立．

所以．

所以．

所以B一定是完美集．    ------------------------------------------15分