福建省泉州市泉港区第二中学2023届高三一轮复习质量检测 数学试题

这是一份福建省泉州市泉港区第二中学2023届高三一轮复习质量检测 数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
保密★启用前泉港二中2023年校级质量检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）设集合，，，则集合(    )A.  B.  C.  D. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是(    )A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的横坐标为，则线段的长为(    )A.  B.  C.  D. 函数的最小正周期是．(    )A.  B.  C.  D. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是数列的前项和，则等于(    )A.  B.  C.  D. 某工厂为研究某种产品产量吨与所需原材料吨的相关性，在生产过程中收集了组对应数据，如表所示：根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出样本点的残差为，则表中的值为(    )A.  B.  C.  D. 已知函数，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知双曲线的左、右顶点为，焦点在轴上的椭圆以为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）已知向量，，，设的夹角为，则(    )A.  B.  C.  D. 在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论中正确的是(    )A.  B. 平面
C. 平面 D. 直线和所成角的余弦值为函数，，下列说法正确的是参考数据：，，，(    )A. 存在实数，使得直线与相切也与相切
B. 存在实数，使得直线与相切也与相切
C. 函数在区间上不单调
D. 当时，恒成立画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点直线的方程为下列说法正确的是(    )A. 的蒙日圆的方程为
B. 对直线上任意点，
C. 记点到直线的距离为，则的最小值为
D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）展开式的常数项是          ．直线过点且与圆交于，两点，如果，那么直线的方程为          ．设，分别为具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足，则的值为_________．已知椭圆的焦点分别为，，两条平行线：，：交椭圆于，，，四点，若以，，，为顶点的四边形面积为，则椭圆的离心率为          ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）在等差数列中，已知，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ求．如图，四边形是正方形，，为的中点．求证：平面；    求二面角的大小．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．证明：；若，且的面积为，求．某公司生产一种新产品，从产品中抽取件作为样本，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．用每组区间的中点值代表该组数据，估算这批产品的样本平均数和样本方差；从指标值落在的产品中随机抽取件做进一步检测，设抽取的产品的指标在的件数为，求的分布列和数学期望；由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，近似为样本平均值，近似为样本方差，若产品质量指标值大于，则产品不合格，该厂生产万件该产品，求这批产品不合格的件数．参考数据：，，，．已知，是椭圆：的左、右焦点，圆：与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
过轴正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，，若，求直线的方程．已知函数．
若函数的图象在处的切线过点，求的值；
当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围；
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了交集、并集、补集以及它们的混合运算，属于基础题．
求出每个选项中的集合与对比即可得到答案．【解答】解：集合，，，
对于，，则集合与不相等，故A错误；
对于，，则集合与不相等，故B错误；
对于，，，
，则集合与不相等，故C错误；
对于，，集合与相等，故D正确；
故本题选D．  2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算，复数的概念、共轭复数、模和几何意义，属于基础题．
化简复数，然后依次判断各个选项即可．
【解答】
解：，
则，
，故A错；
复数的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选D．  3.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于较易题．
利用抛物线方程求得，进而利用抛物线上的点到焦点的距离和到准线距离相等的性质用两个点的横坐标表示出的长度，利用线段的中点的横坐标求得，两点横坐标的和，最后求得答案．
【解答】
解：抛物线的方程为，
，，

，
线段的中点的横坐标为，
，
，
．
故选B．  4.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了两角和与差的三角函数、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式及函数的性质，属于基础题．
先用和角正弦公式及诱导公式展开，再用二倍角公式及辅助角公式化简函数为，最后用求出最小正周期．【解答】解：原式
．
最小正周期．
故选C．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式及其前项和公式，考查了计算能力，属于基础题．
由，，成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出．【解答】解：，成等比数列，
，
，
化为，
解得．
则，
故选D．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查线性回归方程的求法，考查残差的求法，属于基础题．
根据样本处的残差为，求解 ，再求得样本点的中心 ， ，由回归方程必过 ， ，可得的值．【解答】解：由在样本点处的残差为，可得当时， ，
即  ，解得 ．
又   ，
   ，
回归直线过样本点的中心 ， ，
所以  ，
解得．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查了利用函数的单调性比较大小，函数零点、方程的根的个数，利用对数函数的图象与性质比较大小，分段函数的单调性和指数函数的单调性与最值，属于较难题．
设，利用指数函数的单调性得函数是上的增函数，再利用函数零点的个数，结合得函数有唯一的零点，再利用函数的单调性比较大小得当时，和当时，，财利用分段函数的单调性得函数在上单调递减，在上单调递增，利用得，再利用对数函数的图象与性质比较大小得，最后利用函数的单调性比较大小得结论．【解答】解：设，则函数是上的增函数，而，
因此函数有唯一的零点，所以当时，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增．
又因为，
所以．
又因为，，
所以，而函数在上单调递减，因此，即．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查双曲线、椭圆的标准方程以及几何意义，考查直线与双曲线、椭圆的位置关系，涉及向量的坐标运算，属于拔高题．
先求出椭圆的标准方程，再将直线与双曲线联立，和椭圆联立，利用韦达定理再由求出的值．【解答】解：已知双曲线的左、右顶点为，，
焦点在轴上的椭圆以为顶点，且离心率为的椭圆方程设为，
所以，
得到，即，
所以椭圆的方程为，
过作斜率为的直线：，
与双曲线联立
整理得，
设，
由韦达定理得到，则，
，故，
与椭圆联立得，
设 ，
由韦达定理得到，则，，
所以，
因为，得到，
解得，经检验此时直线与椭圆和双曲线均有两个交点，
故选A．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标形式的运算，涉及向量夹角、向量的模以及共线向量和向量垂直的问题，属于基础题．
根据各选项设计相关知识即可判断出结果．【解答】解：根据题意，，，
则，，依次分析选项：
对于，，，则不成立，错误；
对于，，，则，即，正确；
对于，，，不成立，错误；
对于，，，则，
，，则，则，正确；
故选：．  10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了空间直角坐标系，考查利用空间向量判断线线垂直、线面平行的关系以及线线的夹角问题，属于中档题．
结合相关知识逐一分析判定解答．【解答】解：如图，以为原点，，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
，，
，，，
，，，
，，
故，那么，故A正确
设平面的一个法向量为，
则取，则，
所以不存在实数使得，故与平面不垂直，B错误
由，不在平面内，
得平面，故C正确
，
故直线与所成角的余弦值为，即D正确．
故选ACD．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性及函数单调性的应用，考查了利用导数研究不等式的恒成立问题及零点存在性定理的应用，属较难题．
对于，设直线与相切于点，由即可求得切点坐标，进而求出实数的值，同理研究 的切线情况即可判定；对于，设直线与相切于点，求切线，对比系数得 ，即可求得的值，同理讨论即可判定；对于，构造函数 ，利用导数研究函数在的单调性即可判定；对于，利用导数得出函数的零点，且满足，由单调性可得求的范围即可判定．【解答】解：对于，，设直线与相切于点，则由，可得，又由，可得切点为，代入直线可得；又，同理可得直线与相切于点，代入直线可得所以存在实数，使得直线与相切也与相切，故A正确；
对于，设直线与相切于点，则切线的斜率为，所以切线为，即，所以，解得，所以同理可设直线与相切于点，切线为，由，可得，所以所以存在实数，使得直线与相切也与相切，故B正确；
对于，令，则，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，又因为，所以，即，所以，所以在恒成立，所以在区间上单调递增，故C错误；
对于，因为，所以，即，所以，又因为，且在上单调递增，所以存在实数，使得，所以当时，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，又由可得，且，所以，，因为在单调递减，所以，所以，故D正确．
故选ABD．  12.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查新定义“椭圆的蒙日圆”以及椭圆的性质的应用，分类讨论，考查学生的分析问题解决问题的能力，运算能力，属于较难题．
根据所给蒙日圆的定义以及椭圆的性质依次判断每个选项的正误．【解答】解：由题可知：．
对于：当两条垂直切线与坐标轴平行时，两切线交点为或或或，
所在圆的方程为：；
当两条垂直切线斜率均存在时，
设其交点，过点的椭圆的切线方程：．
联立，消去化简整理可得：
．
与椭圆相切，
．
即．
则方程的两根即为过点的两条切线的斜率，
由蒙日圆的定义可知：，即，
化简整理可得：；
综上可知蒙日圆的方程为：，故A正确；
对于：有直线恒过定点，由知在蒙日圆上，
若过作椭圆两切线，取，恰为两切点时，由蒙日圆的定义：．
，故若取时，，故B错误；
对于：因为在椭圆上，所以．
则有．
当，即为过点作的垂线与椭圆的交点时，有最小值．
即为到的垂直距离．
，故C错误；
对于：当矩形四边都与相切时，矩形为蒙日圆的内接矩形，且矩形的两条对角线为直径．
设矩形长为，宽为，则．
当且仅当时，取等号故D正确．
故答案为：．  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查了二项式定理，属基础题．
由通项公式可得第项为常数项．【解答】解：由通项公式得：，
令，得展开式的常数项为：．
故答案为：．  14.【答案】或 【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
利用直线被圆截得的弦长，得到圆心到直线的距离为，对直线的斜率讨论解答．【解答】解：直线过点且与圆交于，两点，
如果，得到圆心到直线的距离为；
当直线斜率不存在时，直线方程为，满足圆心到直线的距离为；
直线斜率存在时，设斜率为，
则直线方程为，即，
，解得，
直线方程为，即，
所以直线的方程为或；
故答案为或．  15.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了圆锥曲线中的综合问题，涉及了双曲线的定义和性质，椭圆的定义及其性质等知识，属于中档题．
设出椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，它们的半焦距，利用椭圆的定义和双曲线的定义可得焦半径，写出两个曲线的离心率，即可得到结果．
【解答】
解：设椭圆的长半轴是，双曲线的实半轴是，它们的半焦距都是．
并设，，，
根据椭圆的定义和双曲线的定义可得：，，
解得，．
，即，
故为直角三角形，
，
由勾股定理得：，
可得，
化简可得：，
，
，
故答案为  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查了椭圆的几何性质，直线截椭圆的弦长，以及平行线间的距离公式，属于较难题．
由椭圆的对称性可知，直线：，：截椭圆的弦长相等，联立直线与椭圆方程可求弦长，以及平行线间的距离，根据以，，，为顶点的四边形面积即可求解，关系，从而求离心率．【解答】解：由椭圆的对称性可知，直线：，：截椭圆的弦长相等，
联立直线：与椭圆方程得：，
则，
两条平行线：，：之间的距离，
故以，，，为顶点的四边形面积为，
则有，
即，
解得舍去．
故答案为 ．  17.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
则，解得
则，；
Ⅱ，，，，构成首项为，公差为的等差数列．
所以
． 【解析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前项和公式，等差数列的定义等，属于基础题．
Ⅰ由条件求出首项与公差，即可得解；
Ⅱ，，，，构成首项为，公差为的等差数列．根据等差数列的求和公式即可求得结果．
 18.【答案】证明：依题意，平面．
如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．

依题意，可得，，，
，，，．
取的中点，连接．
因为，，，
所以，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
解：因为，，，，平面，
所以平面，故为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
因为，，
所以即
令，得，，故．
所以，
由图可得二面角为钝二面角，
所以二面角的大小为． 【解析】本题考查线线垂直、线面平行的证明，二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
依题意，平面以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，取的中点，连接推导出，由此能证明平面．
由，，得平面，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．
 19.【答案】证明：，
根据正弦定理可得：，
因为在中，
所以，
所以，
展开得：，
整理得：，因为在中，，
所以，
所以．
解：由已知得：，
，
由，得：，，
，
由，得：，
所以，
所以，
所以，
由，
得：． 【解析】本题考查三角形的面积公式，余弦定理以及正弦定理的应用，属于中档题．
利用正弦定理以及三角形的内角和，结合两角和与差的三角函数，化简求解即可；
利用余弦定理求出，求出，得到，然后求解三角形的面积即可．
 20.【答案】解：取各区间中点值为代表计算得：


，


；
由题意可知，指标落在的产品数量为，
产品的指标在的件数为，
所以的所有可能数值为，，，
所以


所以随机变量的分布列为：
所以；
由可知，正态分布中，，
所以，
由题意可知


所以该厂生产万件该产品，这批产品不合格的件数为件． 【解析】本题考查频率分布直方图及离散型随机变量的分布列与期望的计算，同时考查正态分布，属于中档题．
运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
的取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；
可得，故可得，运算可得答案．
 21.【答案】解：依题意，得，
所以，
所以椭圆的方程为，
将点代入，解得，则，
所以椭圆的标准方程为；
由题意知直线的斜率存在，设斜率为，，
则直线方程为，
设，，直线与圆相切，则，即，
联立直线与椭圆方程，消元得，
，
则，，，
因为，所以，
即，，
所以，解得，
即，，
所求直线方程为． 【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．
根据题意，求得，将点代入椭圆方程，即可求得和，求得椭圆方程；
设直线的方程，根据直线与圆的关系，求得，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得的值，即可求得答案．
 22.【答案】解：因为，
所以函数的图象在处的切线斜率，
又因为，
所以切线方程为，
因为过点，
所以，即；
当时，，定义域为，
所以．
若，则，所以在上递增，
所以，
因为函数在上没有零点，且时，，
所以，即；
若，则时，，
由，得．
：当时，即时，，
所以在上递减，
若在上没有零点，则，
所以，即，
故；
：当时，即时，
若，，在上递增；
若，，在上递减，
所以在处取得极大值，
要使函数在上没有零点，
则，解得，即，
综上所述，所求实数的取值范围是． 【解析】本题考查导数的几何意义，导数中的零点问题以及利用导数研究不等式，属于难题．
求出导函数，得到，写出切线方程，代入即可得到结果．
当时，，通过若，若，：当时，：当时，几种情况分类讨论，判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数的取值范围是或．