2022-2023学年山东省泰安市东平县青峰山中学九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省泰安市东平县青峰山中学九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在中，，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    若与都是反比例函数图象上的点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列关于反比例函数，说法不正确的是(    )

A. 点、均在其图象上
B. 双曲线分布在二、四象限
C. 该函数图象上有两点、，若，则
D. 当时，的范围是

4.    如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于(    )

A.
B.
C.
D.

5.    函数与在同一坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了米，此时钢球距地面的高度是单位：米(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(    )
    

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

8.    如图，在中，，于，若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以海里小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则、之间的距离为(    )

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

10. 如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处，已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，若反比例函数经过点，则的值等于(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 若，则以、为内角的的形状是______．
14. 已知：是反比例函数，则______．
15. 如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______ ．

16. 如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，，，则 ______ ．

17. 如图所示，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，交于点若，，，则的值为______．

18. 如图，，是双曲线上的两个点，过点作轴，交于点，垂足为点若的面积为，为的中点，则的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，在中，是边上的高，，，，求的长．

21. 本小题分
    如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌、小明在山坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为已知山坡的坡度：，米，米，求这块宣传牌的高度．测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，

22. 本小题分
    在抗击新冠病毒期间，某公司为了员工们的身心健康，在休息日用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间分钟成正比例，药物释放过程中，与成反比例，如图所示，根据题中提供的信息，解答下列问题：
    写出从药物燃烧到释放过程中，与之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
    据测定，当空气中每立方米的含药量低到毫克以下时，人员方可入室，那么从药物燃烧开始，至少需要经过多少分钟后，人员才能进入教室？

23. 本小题分
    如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为，轴，垂足为点．
    求的值；
    点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标．

24. 本小题分
    如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．
    求反比例函数与一次函数的表达式；
    点为轴上一个动点，若，求点的坐标．

25. 本小题分
    如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于关于原点对称的，两点，已知点的纵坐标是．
    求反比例函数的表达式；
    将直线向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点，如果的面积为，求平移后的直线的函数表达式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如右图所示，，，
，
．
故选：．
在直角三角形中，互余的两个角的正弦和余弦相等，即可求．
本题考查了互余三角函数的关系．知道互余的两个角的正弦和余弦相等．
 

2.【答案】 

【解析】解：与都是反比例函数图象上的点，
，
，
故选：．
反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，据此可得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于定值是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，当时，；
当时，；
故该选项说法正确，不符合题意；
选项，，
双曲线分布在第二，四象限，
故该选项说法正确，不符合题意；
选项，没有说明在第几象限内，
如果，，，但是，
故该选项说法错误，符合题意；
选项，当时，函数的图象在第四象限，随的增大而增大，
当时，，当时，的范围是，
故该选项说法正确，不符合题意；
故选：．
选项，把点的坐标代入验算；选项，根据的值判断双曲线所在的象限；选项，没有说明第几象限内，所以选项错误，符合题意；选项，当时，函数的图象在第四象限，随的增大而增大，当时，，当时，的范围是．
本题考查了反比例函数的性质，在描述反比例函数的增减性的时候，必须说明在第几象限内，否则就是错误的．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，
即．
所以的面积等于．
故选：．
由于点、位于反比例函数图象上且关于原点对称，则，再根据反比例函数系数的几何意义作答即可．
主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，一次函数的图象过一、三、四象限，反比例函数的图象在二、四象限，
当时，一次函数的图象过一、二、四象限，反比例函数的图象在一、三象限，
、、不符合题意，符合题意；
故选：．
分及两种情况考虑，根据一次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象对照四个选项即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，分及两种情况考虑是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
钢球距地面的高度是．
故选：．
当钢球沿斜坡向上滚动时，若过钢球向地面作垂线，那么在构成的直角三角形中，钢球距地面的高度即为已知角的对边，已知了斜边，可利用正弦函数来解．
此题主要考查：一个角的正弦等于这个角的对边比斜边．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与反比例函数综合，属于基础题．
根据函数图象，即可得解．
【解答】
解：观察函数图象可发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
使成立的取值范围是或．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由勾股定理知，．
根据同角的余角相等，．
．
故选B．
证明，求即可．根据三角函数的定义求解．
本题利用了等角进行转换求解，考查三角函数的定义．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．解题的难点是推知是等腰直角三角形．如图，根据题意易求是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求的长度．
【解答】
解：如图，，，
，
．
又，，，
．
在直角中，，
海里．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻．
根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解决．
【解答】
解：由折叠的性质可得，
，，
在中，，，
由勾股定理可得，
又，，
而故有，
故．
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

菱形的边在轴上，点，
，
．
，

点坐标
若反比例函数经过点，

故选：．
由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点坐标代入解析式可求的值．
本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点坐标．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
方法一：设，，则，，根据题意列出方程组即可解决问题．
方法二：由反比例函数的性质可知，，结合和可求得的值．
【解答】
解：解法一：设，，则，，
由题意：，解得．
解法二：连接、、、，如图：
由反比例函数的性质可知，，
，
，
，
，
由两式解得，则．
故选A．  

13.【答案】直角三角形 

【解析】解：，
，，
则，，
，，
以、为内角的的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
直接利用偶次方的性质、绝对值的性质得出，，进而得出的形状．
此题主要考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为是反比例函数，
所以的指数，
即，
解得：或，
又，
所以，即．
故答案为：．
根据反比例函数的定义．即，只需令、即可；
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．
反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】
解：因为直线过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为，另一个交点的坐标为．
故答案是：．  

16.【答案】 

【解析】解：连接，
、分别是、的中点，
，，
，
，，，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：
根据三角形中位线的性质得出，，进而得出是直角三角形，从而求出的值．
此题主要考查了锐角三角函数的定义、三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出是直角三角形是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
设、，
则，点坐标为，
，
，
，
点，
反比例函数经过点、，
，
解得：或舍，
则，
故答案为：．
由，可设、，在表示出点、的坐标，由反比例函数经过点、列出关于的方程，解之求得的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点、的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，
轴，
∽，
，
又是的中点，的面积为，
，
，
故答案为：．
根据相似三角形的性质和中点的意义可得出，进而求出三角形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．
 

19.【答案】解：



；



． 

【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：是边上的高，
，
，，，
，，
，
，
，
即的长． 

【解析】根据题意可以分别求出、的长，从而可以得到的长．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：过作，交的延长线于，作于．
中，，
，
，．
．
中，，
．
中，，，
．
．
答：宣传牌高约米． 

【解析】过分别作、的垂线，设垂足为、分别在和中，通过解直角三角形求出、、的长，进而可求出即的长；在中，，则，由此可求出的长；根据即可求出宣传牌的高度．
此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
 

22.【答案】解：设药物燃烧时关于的函数关系式为，
代入为，
解得，
设药物燃烧后关于的函数关系式为，
代入为，
解得．
所以药物燃烧时关于的函数关系式为，药物燃烧后关于的函数关系式为；

结合实际，令中，，
解得．
即从药物燃烧开始，至少需要经过分钟后，学生才能进入教室． 

【解析】药物燃烧时，设出与之间的解析式，把点代入即可，从图上读出的取值范围；药物燃烧后，设出与之间的解析式，把点代入即可；
把代入反比例函数解析式，求出相应的的值即可．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
 

23.【答案】解：点为函数图象的点，点的纵坐标为，
，解得：，
点，
点为函数与函数图象的交点，
，
；
设点的坐标，
，
，
点在点右侧，如图，

点，
，，
，
，
，
，解得：或，
点在点右侧，
，
，
点的坐标为；
点在点左侧，

点，
，，
，
，
，
，解得：或，
点在点左侧，
此种情况不存在；
点的坐标为． 

【解析】根据点为函数图象的点，点的纵坐标为，可以求得点的坐标，进而求得的值；
设点的坐标，分两种情况：点在点右侧，点在点左侧，根据得，根据点的坐标求出、的值，即可得出答案．
本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用三角函数解题是关键．
 

24.【答案】解：把点代入，得，
则．
把点代入，得，
则点的坐标为．
由直线过点，点得，
解得，
则所求一次函数的表达式为．

如图，直线与轴的交点为，设点的坐标为，连接，，
则点的坐标为．
．
，
．
．
，．
点的坐标为或． 

【解析】把点的坐标代入，求出反比例函数的解析式，把点的坐标代入，得出的值，得出点的坐标，再把、的坐标代入直线，求出、的值，从而得出一次函数的解析式；
设点的坐标为，连接，，先求出点的坐标，得出，根据，求出的值，从而得出点的坐标．
此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
 

25.【答案】解：令一次函数中，则，
解得：，即点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
设平移后直线于轴交于点，连接、如图所示．
设平移后的解析式为，
该直线平行直线，
，
的面积为，
，
由对称性可知：，
，
，
，
．
平移后的直线的函数表达式为． 

【解析】将代入一次函数解析式中，求出的值，即可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；
平移后直线于轴交于点，连接、，设平移后的解析式为，由平行线的性质可得出，结合正、反比例函数的对称性以及点的坐标，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征．三角形的面积公式以及平行线间的距离公式，解题的关键是：求出点的坐标；找出关于的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用面积法要比找相似三角形简单明了的多．