2022-2023学年辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部高三上第一次模拟（含答案解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部高三上第一次模拟

1.     已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.     已知，则“"是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

4.     若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为(    )

A.  B. 或
C.  D. 或

5.     关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

6.     函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

7.     若，，且，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.     已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

9.     下列说法正确的有(    )

A. 若，则的最大值是
B. 若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3
C. 若，，，则的最小值是2
D. 若实数x，y满足，则的最大值是

10. 牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是单位：，环境温度是单位：，其中，则经过t分钟后物体的温度将满足且现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是参考数值(    )

A. 若，则
B. 若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟
C. 若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降
D. 红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多

11. 已知函数的定义域为，图像关于y轴对称，其导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有(    )

A.
B. 若，则函数的最小正周期为
C. 关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D. 若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为

13. 已知集合，集合，__________.
14. 若，则__________.
15. 设，若方程有四个不相等的实根且，则的取值范围为__________.
16. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最小值为__________.
17. 已知，，，，求：

的值；

的值.

18. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值．

求函数的解析式；

求函数在上的极值和最小值．

19. 已知

若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间；

若时，方程恰好有三个解，求实数的取值范围.

20. 某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：

为了描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③
根据如表数据，请选取一个恰当的函数模型并说明理由；
利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
利用你选取的函数，设，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．

21. 设函数，且是定义域为R的奇函数，且的图象过点

求t和a的值;

若，，求实数k的取值范围;

是否存在实数m，使函数在区间上的最大值为若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.

22. 已知函数

当时，求函数在点处的切线方程；

当，求函数的最大值；

若函数在定义域内有两个不相等的零点，证明：

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
先分别求出集合A和B，由此能求出

【解答】

解：集合，
集合，

故选

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查了全称量词命题的否定，属于基础题.
利用全称量词命题的否定是存在量词命题进行解答.

【解答】

解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”，
故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，
根据对数函数性质以及充分条件，必要条件的定义即可求解．

【解答】

解：，故，则充分性成立；
当，，取，不能推出，故必要性不成立；
故“"是“”的充分不必要条件  ，
故选
 

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式恒成立如何转化为求最值，以及运用基本不等式求最值，是中档题．
首先求的最小值，再把不等式恒成立转化为，解关于m的不等式即可．

【解答】

解：两个正实数x，y满足，，

，
当且仅当，即，时等号成立，
，
又不等式恒成立，则应，
解得，
故选：

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的解法.
由已知得，且，再利用穿针引线法即可求解.

【解答】

解：因为不等式的解集为，
则，且，即
则
，

利用穿针引线法可得x的范围是或

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查奇偶函数图象的对称性，函数图象的识别，考查排除法的应用，属于中档题．
结合图象，先判断奇偶性，然后根据且趋近0时判断，最后利用的零点进行判断，即可得到答案

【解答】

解：因为，所以，解得，
则的定义域为，关于原点对称，
由可得，
发现，故为奇函数，故B错误；
当且无限接近0时，，所以此时，故A错误；
因为当即，解得，所以在x轴正半轴的第一个零点是，第二个零点是，第三个零点是，第四个零点是，第五个零点是，所以在第四个零点和第五个零点之间不可能一直递增，故C错误.

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角和与差三角函数公式，二倍角公式，诱导公式，属于基础题.
根据二倍角公式和两角和与差三角函数公式，化简得到，分析可得

【解答】

解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
所以，或，
即，或舍，
故
故选

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用导数求解函数的单调性，求解函数的零点问题，体现数形结合思想的应用.
原不等式等价于，设，，然后转化为函数图象的交点结合图象可求．

【解答】

解：原不等式等价于，
设，
所以，
令，得
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
又，时，，
因此与的图象如下，

当时，显然不满足条件，
当时，只需满足，
，
解得
则实数k的取值范围是
故选

9.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题主要考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题.
由基本不等式求最值满足的三个条件“一正，二定，三相等”是否都满足进行判断.

【解答】

解：对于A，因为，所以，，
所以
，当且仅当时，即，等号成立，
此时有最大值，故A正确;
对于B，若x，y，z都是正数，且，即，，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值是3，故B正确；
对于C，因为，，所以，即，
因为，所以，
所以，整理得，
解得舍去或，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误;
对于D，已知，则，，不妨设，
设，，则，，，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，故D正确.
故选

10.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查函数的实际应用，对数运算，导数的几何意义考查学生的运算能力，属于中档题．
由题知，根据指对数运算、以及导数的实际意义，依次讨论各选项求解．

【解答】

解：由题知，
A：若，即，所以，则，A正确；
B：若，则，则，
两边同时取对数得，所以，
所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B正确；
C：表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C正确；
D：为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D错误．
 

11.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查比较大小，函数奇偶性，不等式性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
由题意，当时，构造函数，则，所以时，单调递减，再由是偶函数，可得是奇函数，所以当时，单调递减，根据选项可得结论.

【解答】

解：
由题意，当时，构造函数，
则，
所以时，单调递减，
又由题意可得是偶函数，
所以是奇函数，则当时，也单调递减.
对于A，，，
，即，
，故A正确；
对于B，，，
，即，
可得，故B错误；
对于C，，，
即，，
即，
，故C错误；
对于D，，，
，
，即，
，故D正确.
故选

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查知识点为三角函数图像及其相关性质，考查了三角函数的单调性，对称轴和对称中心，属于较难题.
R在区间上单调，得到，可判断A；根据正弦函数图象特征可知在上单调，，的图象关于直线对称，结合，可得，取，可判断B；由在区间上最多有3个完整的周期，且在1个完整周期内只有1个解，可判断C；由知，是函数在区间上的第1个零点，可得，解不等式可判断

【解答】

解：A，，在上单调，
又，，故A正确；
B，区间右端点关于的对称点为，
在上单调，根据正弦函数图象特征可知在上单调，
为的最小正周期，即，
又，，若，
则的图象关于直线对称，结合，
得，
即，故，，，故B正确．
C，由，得，在区间上最多有3个完整的周期，
而在1个完整周期内只有1个解，故关于x的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误．
D，由知，是函数在区间上的第1个零点，
而在区间上佮有5个零点，则，
结合，得，又，
的取值范围为故D正确．
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集和补集，考查分式不等式的解法和函数的定义域，属于基础题.
解分式不等式求得集合A，求函数的定义域求得集合B，由此求得

【解答】

解： 等价于，解得，
由，即，即，所以，即；
所以，，
所以，因此，
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数求值，考查推理能力和计算能力.
由条件得到，求出，从而求得

【解答】

解：因为

，
又，
所以，即，
解出，
所以，
故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的零点与方程根的关系 ，同时考查了学生的作图能力．
画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得，将转化为关于的代数式，利用换元法，根据的范围结合二次函数的性质即可求解.

【解答】

解：时，，
在上的图象与上的图象关于对称，
因为，如图：

可得，



，
令，
则原式化为，其对称轴为，开口向上，
在上单调递增.

的取值范围为
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数中的恒成立与存在性问题，利用导数研究函数的单调性，最值，属于拔高题.
由题意等价于恒成立，令，问题转化为利用的单调性，得出，即，令，利用导数求出，即可求出结果.

【解答】

解：恒成立等价于
恒成立，
令，
则
则，
令，则，
所以单调递增，
所以不等式转化为，
即，即，
即，
即，
令，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以
所以，
即a的最小值为
故答案为
 

17.【答案】解：因为，，
所以，，
所以，
，
所以

；
因为，，
所以，
所以，
所以 

【解析】本题主要考查两角和差的余弦公式，二倍角的正切公式，属于中档题.
先由已知条件判断，的范围，再利用同角三角函数的关系求出，，则由利用两角差的余弦公式可求得；
由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
 

18.【答案】解：，结合题意可得解得，
故，经检验符合题意.

由知
令，解得或，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在上有极大值，无极小值，且，
又因为，，，
故在上的最小值是 

【解析】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及导数的意义，是一道中档题．
根据导数的几何意义，结合极值点处导函数为0求解即可；
求导分析区间内的单调性，进而求得极值，再与端点值判断大小关系可得最值.
 

19.【答案】解：
，
又的最小正周期为，则，
又，则，
，
令，解得，
的单调递减区间为；


恰好有三个解，即恰好有三个解，
，即，
，即实数的取值范围为 

【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，涉及三角恒等变换的应用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
先化简函数，根据最小正周期为，可求得的值，进而得到函数的解析式，由此可得单调递减区间；
问题等价于当时，恰好有三个解，由此可得，解该不等式即可得到答案．
 

20.【答案】解：随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，
选择
把点，，代入中，
得，解得，
，
当时，y有最小值，
故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元．
由题意，令，
若存在，使得不等式成立，则须，
又，当且仅当时，等号成立，
，即实数k的取值范围为 

【解析】本题主要考查了函数模型的选择，考查了二次函数的性质，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．
根据随着时间x的增加，y的值先减后增，即可作出选择．
把点，，代入中，可求出a，b，c的值，再利用二次函数的性质进行求解．
若存在，使得不等式成立，令，则须，再利用基本不等式求出的最小值即可．
 

21.【答案】解：是定义在R上的奇函数，
，即，
，经检验知符合题意，，
又函数的图象过点，，得，
解得：或，
且，
 

由得，
由，得，
为奇函数，，
易知为R上的增函数，
对一切恒成立，即对一切恒成立，
故，解得
，
设，则，
，，记，
则函数在有最大值为1，
若对称轴，
，不合题意.
若对称轴，
，
综上所述：存在实数，使函数在上的最大值为

【解析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，不等式恒成立问题，函数的最值，属于拔高题.
根据为R上的奇函数，可得，代入求解得t的值，再检验得到的t值是否符合题意；根据函数过点，求出a；
首先判断的单调性，根据函数性质将条件转化为对一切恒成立，可得关于k的不等式，求解即可；
令，根据是单调递增函数，得t的范围，然后得到，再利用二次函数的最值求解m的值.
 

22.【答案】解：当时，所以，
所以，，所以切线方程为
因为，
①当时，，所以在单调递减，
所以；
②当时，，
所以在单调递增，所以；
③当时，，
当，即时，
所以在单调递减，上单调递增，
所以
当即时，
所以在单调递减，所以，
综上，
证明：要证，
只需证，
只需证，
因为，，
两式相减，得
整理得
所以只需证，
即证，即，
不妨设，令，
只需证，只需证，
设，只需证当时，即可．
因为，
所以在单调递减，所以当时，，
所以在单调递增，当时，，
所以原不等式得证． 

【解析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
求出函数的导函数，分、和三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值；
利用分析法可得只需证，即证，令，只需证，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，利用导数研究函数的最值和利用分析法证明不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．