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福建省厦门市思明区双十中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)
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这是一份福建省厦门市思明区双十中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省厦门市思明区双十中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算m3•m2的结果，正确的是（ ）
A．m2 B．m3 C．m5 D．m6
3．如图，小华为估计水塘边A，B两点间的距离，在池塘同侧选取一点O，测出点O与点A间的距离为15米，点O与点B间的距离为10米，则AB长可能是（ ）
A．5米 B．15米 C．25米 D．30米
4．一个n边形的内角和为720°，则n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠2＝40°，则∠1等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．（）2020×（﹣3）2021的计算结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
7．已知，△ABC，△DEF，△XYZ的相关数据如图所示，则（ ）
A．△ABC≌△XYZ B．△DEF≌△XYZ C．∠C＝∠Z D．∠F＝80°
8．如图，D为△ABC边AB上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（ ）
A．∵∠A＝∠B（已知）∴BC＝AC（等角对等边）
B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）
C．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
D．∵AD＝BD，CD⊥AB（已知）∴AC＝BC（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC
10．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三角形”．现有如下4个结论：
①若一个三角形的两个内角分别是36°、72°，则这个三角形是“双腰三角形”
②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”
⑧若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
④若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题有6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共26分）
11．化简：（1）﹣a+a＝ ；（2）（x4）2＝ ；（3）（﹣2a2b）3＝ ．
12．平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是 ．
13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，对角线BD平分∠ABC，则点D到BC的距离为 ．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝5，则AB边上中线的长为 ．
15．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，连接EF，则∠AEF的度数为 ．
16．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为 ．
三、解答题（本题有9小题，共84分）
17．计算：x4•x2﹣（3x3）2．
18．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，BC＝EF，AD＝CF，AB＝DE．求证：△ABC≌△DEF．
19．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：A（﹣3，1），B（﹣1，﹣2），C（1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．其中 A、B、C分别和A1、B1、C1对应，则线段AA1的长度为 ：
（2）仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD＝2，求BD的长．
21．如图，在△ABC中，AC＝2AB．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F，交AD于点G；连接BG，CG（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）EF＝4，F为AB中点，求DF的长．
23．在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动；
在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角为α（∠PCB＝α），斜边PN交AC于点D．
（1）特例感知
当∠BPC＝110°时，α＝ °，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）思维拓展
在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、C（7，0），B为y轴正半轴上一点，D在第四象限．若BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）直接写出B点坐标（ ， ）；
（2）求证：AB＝AD；
（3）求四边形ABCD的面积．
25．如图1，在等边△ABC中，D，E分别是边AC，BC上一点，且AD＝CE，BD与AE相交于点M．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）求证：∠AMD＝60°；
（3）如图2，连接CM，当BM＝2AM时，求证：CM⊥BM．
参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．计算m3•m2的结果，正确的是（ ）
A．m2 B．m3 C．m5 D．m6
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
解：m3•m2
＝m3+2
＝m5．
故选：C．
3．如图，小华为估计水塘边A，B两点间的距离，在池塘同侧选取一点O，测出点O与点A间的距离为15米，点O与点B间的距离为10米，则AB长可能是（ ）
A．5米 B．15米 C．25米 D．30米
【分析】应用三角形三边的关系，两边之和大于第三边两边之差小于第三边，进行计算即可得出答案．
解：根据题意可得，
15﹣10＜AB＜15+10，
即：5＜AB＜25．
∴AB长可能是15米．
故选：B．
4．一个n边形的内角和为720°，则n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
解：依题意有：
（n﹣2）•180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：C．
5．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠2＝40°，则∠1等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC＝∠2＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠BCA＝70°，根据平行线的性质即可得解．
解：∵m∥n，∠2＝40°，
∴∠ABC＝∠2＝40°，∠1＝∠BCA，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣∠ABC）＝70°，
∴∠1＝70°，
故选：A．
6．（）2020×（﹣3）2021的计算结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
解：（）2020×（﹣3）2021
＝（）2020×（﹣3）2020×（﹣3）
＝（﹣）2020×（﹣3）
＝（﹣1）2020×（﹣3）
＝1×（﹣3）
＝﹣3．
故选：B．
7．已知，△ABC，△DEF，△XYZ的相关数据如图所示，则（ ）
A．△ABC≌△XYZ B．△DEF≌△XYZ C．∠C＝∠Z D．∠F＝80°
【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B选项进行判断；根据三角形内角和定理对C、D选项进行判断．
解：∵∠A＝∠X，∠B＝∠Y，
而AB≠XY，
∴不能判断△ABC≌△XYZ；所以A选项不符合题意；
在△XYZ中，∠Z＝180°﹣∠X﹣∠Y＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵∠D＝∠Z，
而EF≠XY，
∴不能判断△DEF≌△XYZ；所以B选项不符合题意；
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠C＝∠Z，所以C选项符合题意；
在△DEF中，∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣80°﹣30°＝70°，所以D选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，D为△ABC边AB上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（ ）
A．∵∠A＝∠B（已知）∴BC＝AC（等角对等边）
B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）
C．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
D．∵AD＝BD，CD⊥AB（已知）∴AC＝BC（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）
【分析】根据等角对等边以及等腰三角形的三线合一定理、线段垂直平分线的性质逐一判断即可得到答案．
解：A．∵∠A＝∠B（已知），
∴BC＝AC（等角对等边），
因果关系与所填依据相符，不符合题意；
B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），
∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一），
因果关系与所填依据相符，不符合题意；
C．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），
因为条件没有等腰三角形，故因果关系与所填依据不符，符合题意；
D．∵AD＝BD，CD⊥AB（已知），
∴AC＝BC（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），
因果关系与所填依据相符，不符合题意；
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC
【分析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，进而可得△BCD是等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得AD垂直平分BC，利用等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，利用面积公式可计算四边形ABDC的面积．
解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；
∴O为BC中点，
∴AO是△BAC的中线，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；
∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，
故选：D．
10．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三角形”．现有如下4个结论：
①若一个三角形的两个内角分别是36°、72°，则这个三角形是“双腰三角形”
②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”
⑧若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
④若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据“双腰三角形”的定义，指出分割线即可．
解：①根据三角形内角和为180°，可以求出第三个角为72°，即为等腰三角形，
作一个底角的角平分线，该线把三角形分成两个等腰三角形，故结论①正确；
②连接直角顶点和斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即这条线段把三角形分成两个等腰三角形．故结论②正确；
③如图，∠C＝α，∠A＝2α，
作∠DBC＝α，交AC于D，
∵∠ADB＝∠C+∠DBC＝2α＝∠A，
∴BD分成的两个三角形都是等腰三角形，故结论③正确；
④如图，设∠C＝α，∠ABC＝3α，
作BC的中垂线交AC于D，连接BD，则BD＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝α，
由三角形外角的性质可知，∠ADB＝2α，
而∠ABD＝3α﹣α＝2α，
∴两个三角形都是等腰三角形，故结论④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题有6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共26分）
11．化简：（1）﹣a+a＝ 0 ；（2）（x4）2＝ x8 ；（3）（﹣2a2b）3＝ ﹣8a6b3 ．
【分析】（1）利用合并同类项的法则运算即可；
（2）利用幂的乘方的法则进行运算即可；
（3）利用积的乘方的法则进行运算即可．
解：（1）﹣a+a
＝（﹣1+1）a
＝0；
故答案为：0；
（2）（x4）2
＝x4×2
＝x8；
故答案为：x8；
（3）（﹣2a2b）3
＝（﹣2）3×（a2）3b3
＝﹣8a6b3．
故答案为：﹣8a6b3．
12．平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是 （3，﹣1） ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）解答即可．
解：平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，对角线BD平分∠ABC，则点D到BC的距离为 3 ．
【分析】由∠A＝90°，AD＝3可得点D到AB距离等于3，再由BD平分∠ABC及角平分线的的性质求解．
解：∵BD为∠ABC的角平分线，
∴点D到AB，BC的距离相等，
∵∠A＝90°，AD＝3，
∴点D到BC的距离为3，
故答案为：3．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝5，则AB边上中线的长为 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出AD＝DB，进而利用等腰三角形的性质得出CD，进而利用勾股定理解答即可．
解：如图：CD是AB边上中线，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝5，
∴AD＝BD＝AB＝，
∵CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝＝45°，
∴∠A＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD＝．
故答案为：．
15．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，连接EF，则∠AEF的度数为 66° ．
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF＝AB，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝AE，∠BAE＝108°，等量代换得到AF＝AE，∠FAE＝48°，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF＝AB，∠AFB＝∠BAF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝AE，∠BAE＝＝108°，
∴AF＝AE，∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝48°，
∴∠AEF＝（180°﹣∠FAE）＝66°．
故答案为：66°．
16．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为 13 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BN＝18，求得MG＝10，于是得到结论．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠B＝60°，∠BNG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BN＝9，
∴BG＝2BN＝18，
∴MG＝10，
∴CM＝CG＝5，
∴AC＝BC＝13，
故答案为：13．
三、解答题（本题有9小题，共84分）
17．计算：x4•x2﹣（3x3）2．
【分析】先算同底数幂的乘法，积的乘方，再合并同类项即可．
解：x4•x2﹣（3x3）2
＝x6﹣9x6
＝﹣8x6．
18．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，BC＝EF，AD＝CF，AB＝DE．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】由AD＝CF，根据等式性质得AC＝DF，再根据SSS定理得到结论．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
19．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：A（﹣3，1），B（﹣1，﹣2），C（1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．其中 A、B、C分别和A1、B1、C1对应，则线段AA1的长度为 6 ：
（2）仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解，根据图象直接得出AA1的长度；
（2）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C交x轴于点P，则点P即为所求．
解：如图所示，△A1B1C1即为所求，线段AA1的长度为6，
故答案为：6；
（2）点P的位置如图所示．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD＝2，求BD的长．
【分析】（1）根据题意和角平分线的定义，可以得到∠B和∠BAD的关系，然后即可得到BD和AD的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立；
（2）根据30°角所对的直角边和斜边的关系，可以得到BD的长．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝60°，∠DAB＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝DA，
∴点D在AB的垂直平分线上；
（2）解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，
∵CD＝2，
∴AD＝4，
由（1）知：BD＝AD，
∴BD＝4．
21．如图，在△ABC中，AC＝2AB．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F，交AD于点G；连接BG，CG（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明△AGB≌△AGF，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：由作图可知AF＝FC，∠AFG＝90°，∠BAG＝∠FAG，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AF，
在△AGB和△AGF中，
，
∴△AGF≌△AGB（SAS），
∴∠AFG＝∠ABG＝90°，
∴AB⊥BG．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）EF＝4，F为AB中点，求DF的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用等角的余角相等证明∠D＝∠AFD即可解答；
（2）由（1）得△ADF是等腰三角形，想到等腰三角形的三线合一性质，所以过点A作AG⊥DE，垂足为G，先在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，然后证明△AGF≌△BEF即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，EF＝4，
∴BF2＝BE2+EF2，
∵F为AB中点，
∴AF＝BF＝AB，
在Rt△BFE和△AFG中，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．
23．在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动；
在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角为α（∠PCB＝α），斜边PN交AC于点D．
（1）特例感知
当∠BPC＝110°时，α＝ 40 °，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）思维拓展
在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝30°，进而可以解决问题；
（2）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可．
解：（1）当∠BPC＝110°时，α＝40°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变小．
理由如下：
∵CA＝CB，∠ACB＝120°，
∴∠B＝30°，
∴α＝180°﹣110°﹣30°＝40°；
故答案为：40，小；
（2）∵△PCD是等腰三角形，
∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，
①当PC＝PD时，
∴∠PCD＝∠PDC＝（180°﹣30°）＝75°，
即120°﹣α＝75°，
∴∠α＝45°；
②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，
∴α＝90°；
③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，
即120°﹣α＝120°，
∴α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
∵点P不与A，B重合，
∴α＝0°，舍去，
综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝45°或90°．
24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、C（7，0），B为y轴正半轴上一点，D在第四象限．若BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）直接写出B点坐标（ 0 ， 7 ）；
（2）求证：AB＝AD；
（3）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）证明△OBC是等腰直角三角形，可得结论；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD，交CD的延长线于点N．证明△AMB≌△AND（AAS），可得结论；
（3）证明四边形AMCN是正方形，再证明四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积即可．
【解答】（1）解：∵C（7，0），
∴OC＝7，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵∠COB＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴OB＝OC＝7，
∴B（0，7），
故答案为：0，7；
（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD，交CD的延长线于点N．
∵AC平分∠BCD，
∴AM＝AN，
∵∠ABM+∠ADC＝180°，∠ADN+∠ADC＝180°，
∴∠ABM＝∠ADN，
∵∠AMB＝∠N＝90°，
∴△AMB≌△AND（AAS），
∴AB＝AD；
（3）解：∵A（﹣3，0），B（7，0），
∴OA＝3，OC＝7，
∴AC＝10，
∵AM⊥CM，∠ACM＝45°，
∴AM＝CM＝5，
∵△AMB≌△AND，
∴S△AMB＝S△AND，
∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN，
∵∠AMC＝∠MCN＝∠N＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∵AM＝CM，
∴四边形AMCN是正方形，
∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝（5）2＝50．
25．如图1，在等边△ABC中，D，E分别是边AC，BC上一点，且AD＝CE，BD与AE相交于点M．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）求证：∠AMD＝60°；
（3）如图2，连接CM，当BM＝2AM时，求证：CM⊥BM．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CAE即可；
（2）由全等三角形的性质得得∠ABD＝∠CAE，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）延长BD到F，使AM＝MF，连接AF、CF，证△BAM≌△CAF（SAS），得BM＝CF，∠AFC＝∠AMB＝120°，则CF＝2AM＝2AF＝2MF，取CF的中点N，连接MN，则FN＝NC＝MF，然后证△FMN是等边三角形，得MN＝FN＝CN，∠FMN＝60°，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴∠AMD＝∠ABD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°；
（3）如图2，延长BD到F，使AM＝MF，连接AF、CF，
由（1）知：∠AMF＝60°，
∴△AMF是等边三角形，
∴AM＝AF，∠AFM＝∠MAF＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAM＝∠CAF，
在△BAM和△CAF中，
，
∴△BAM≌△CAF（SAS），
∴BM＝CF，∠AFC＝∠AMB＝180°﹣∠AMF＝120°，
∵BM＝2AM，
∴CF＝2AM＝2AF＝2MF，
取CF的中点N，连接MN，则FN＝NC＝MF，
∵∠AFM＝60°，
∴∠MFN＝∠AFC﹣∠AFM＝120°﹣60°＝60°，
∴△FMN是等边三角形，
∴MN＝FN＝CN，∠FMN＝60°，
∴∠NMC＝∠NCM，
∵∠FNM＝∠NMC+∠NCM＝60°，
∴∠NMC＝30°，
∴∠CMF＝∠FMN+∠NMC＝60°+30＝90°，
∴BM⊥CM．
2022-2023学年福建省厦门市思明区双十中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算m3•m2的结果，正确的是（ ）
A．m2 B．m3 C．m5 D．m6
3．如图，小华为估计水塘边A，B两点间的距离，在池塘同侧选取一点O，测出点O与点A间的距离为15米，点O与点B间的距离为10米，则AB长可能是（ ）
A．5米 B．15米 C．25米 D．30米
4．一个n边形的内角和为720°，则n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠2＝40°，则∠1等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．（）2020×（﹣3）2021的计算结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
7．已知，△ABC，△DEF，△XYZ的相关数据如图所示，则（ ）
A．△ABC≌△XYZ B．△DEF≌△XYZ C．∠C＝∠Z D．∠F＝80°
8．如图，D为△ABC边AB上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（ ）
A．∵∠A＝∠B（已知）∴BC＝AC（等角对等边）
B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）
C．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
D．∵AD＝BD，CD⊥AB（已知）∴AC＝BC（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC
10．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三角形”．现有如下4个结论：
①若一个三角形的两个内角分别是36°、72°，则这个三角形是“双腰三角形”
②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”
⑧若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
④若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题有6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共26分）
11．化简：（1）﹣a+a＝ ；（2）（x4）2＝ ；（3）（﹣2a2b）3＝ ．
12．平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是 ．
13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，对角线BD平分∠ABC，则点D到BC的距离为 ．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝5，则AB边上中线的长为 ．
15．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，连接EF，则∠AEF的度数为 ．
16．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为 ．
三、解答题（本题有9小题，共84分）
17．计算：x4•x2﹣（3x3）2．
18．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，BC＝EF，AD＝CF，AB＝DE．求证：△ABC≌△DEF．
19．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：A（﹣3，1），B（﹣1，﹣2），C（1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．其中 A、B、C分别和A1、B1、C1对应，则线段AA1的长度为 ：
（2）仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD＝2，求BD的长．
21．如图，在△ABC中，AC＝2AB．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F，交AD于点G；连接BG，CG（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）EF＝4，F为AB中点，求DF的长．
23．在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动；
在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角为α（∠PCB＝α），斜边PN交AC于点D．
（1）特例感知
当∠BPC＝110°时，α＝ °，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）思维拓展
在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、C（7，0），B为y轴正半轴上一点，D在第四象限．若BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）直接写出B点坐标（ ， ）；
（2）求证：AB＝AD；
（3）求四边形ABCD的面积．
25．如图1，在等边△ABC中，D，E分别是边AC，BC上一点，且AD＝CE，BD与AE相交于点M．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）求证：∠AMD＝60°；
（3）如图2，连接CM，当BM＝2AM时，求证：CM⊥BM．
参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．计算m3•m2的结果，正确的是（ ）
A．m2 B．m3 C．m5 D．m6
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
解：m3•m2
＝m3+2
＝m5．
故选：C．
3．如图，小华为估计水塘边A，B两点间的距离，在池塘同侧选取一点O，测出点O与点A间的距离为15米，点O与点B间的距离为10米，则AB长可能是（ ）
A．5米 B．15米 C．25米 D．30米
【分析】应用三角形三边的关系，两边之和大于第三边两边之差小于第三边，进行计算即可得出答案．
解：根据题意可得，
15﹣10＜AB＜15+10，
即：5＜AB＜25．
∴AB长可能是15米．
故选：B．
4．一个n边形的内角和为720°，则n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
解：依题意有：
（n﹣2）•180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：C．
5．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠2＝40°，则∠1等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC＝∠2＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠BCA＝70°，根据平行线的性质即可得解．
解：∵m∥n，∠2＝40°，
∴∠ABC＝∠2＝40°，∠1＝∠BCA，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣∠ABC）＝70°，
∴∠1＝70°，
故选：A．
6．（）2020×（﹣3）2021的计算结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
解：（）2020×（﹣3）2021
＝（）2020×（﹣3）2020×（﹣3）
＝（﹣）2020×（﹣3）
＝（﹣1）2020×（﹣3）
＝1×（﹣3）
＝﹣3．
故选：B．
7．已知，△ABC，△DEF，△XYZ的相关数据如图所示，则（ ）
A．△ABC≌△XYZ B．△DEF≌△XYZ C．∠C＝∠Z D．∠F＝80°
【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B选项进行判断；根据三角形内角和定理对C、D选项进行判断．
解：∵∠A＝∠X，∠B＝∠Y，
而AB≠XY，
∴不能判断△ABC≌△XYZ；所以A选项不符合题意；
在△XYZ中，∠Z＝180°﹣∠X﹣∠Y＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵∠D＝∠Z，
而EF≠XY，
∴不能判断△DEF≌△XYZ；所以B选项不符合题意；
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠C＝∠Z，所以C选项符合题意；
在△DEF中，∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣80°﹣30°＝70°，所以D选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，D为△ABC边AB上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（ ）
A．∵∠A＝∠B（已知）∴BC＝AC（等角对等边）
B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）
C．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
D．∵AD＝BD，CD⊥AB（已知）∴AC＝BC（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）
【分析】根据等角对等边以及等腰三角形的三线合一定理、线段垂直平分线的性质逐一判断即可得到答案．
解：A．∵∠A＝∠B（已知），
∴BC＝AC（等角对等边），
因果关系与所填依据相符，不符合题意；
B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），
∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一），
因果关系与所填依据相符，不符合题意；
C．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），
因为条件没有等腰三角形，故因果关系与所填依据不符，符合题意；
D．∵AD＝BD，CD⊥AB（已知），
∴AC＝BC（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），
因果关系与所填依据相符，不符合题意；
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC
【分析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，进而可得△BCD是等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得AD垂直平分BC，利用等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，利用面积公式可计算四边形ABDC的面积．
解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；
∴O为BC中点，
∴AO是△BAC的中线，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；
∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，
故选：D．
10．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三角形”．现有如下4个结论：
①若一个三角形的两个内角分别是36°、72°，则这个三角形是“双腰三角形”
②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”
⑧若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
④若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据“双腰三角形”的定义，指出分割线即可．
解：①根据三角形内角和为180°，可以求出第三个角为72°，即为等腰三角形，
作一个底角的角平分线，该线把三角形分成两个等腰三角形，故结论①正确；
②连接直角顶点和斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即这条线段把三角形分成两个等腰三角形．故结论②正确；
③如图，∠C＝α，∠A＝2α，
作∠DBC＝α，交AC于D，
∵∠ADB＝∠C+∠DBC＝2α＝∠A，
∴BD分成的两个三角形都是等腰三角形，故结论③正确；
④如图，设∠C＝α，∠ABC＝3α，
作BC的中垂线交AC于D，连接BD，则BD＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝α，
由三角形外角的性质可知，∠ADB＝2α，
而∠ABD＝3α﹣α＝2α，
∴两个三角形都是等腰三角形，故结论④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题有6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共26分）
11．化简：（1）﹣a+a＝ 0 ；（2）（x4）2＝ x8 ；（3）（﹣2a2b）3＝ ﹣8a6b3 ．
【分析】（1）利用合并同类项的法则运算即可；
（2）利用幂的乘方的法则进行运算即可；
（3）利用积的乘方的法则进行运算即可．
解：（1）﹣a+a
＝（﹣1+1）a
＝0；
故答案为：0；
（2）（x4）2
＝x4×2
＝x8；
故答案为：x8；
（3）（﹣2a2b）3
＝（﹣2）3×（a2）3b3
＝﹣8a6b3．
故答案为：﹣8a6b3．
12．平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是 （3，﹣1） ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）解答即可．
解：平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，对角线BD平分∠ABC，则点D到BC的距离为 3 ．
【分析】由∠A＝90°，AD＝3可得点D到AB距离等于3，再由BD平分∠ABC及角平分线的的性质求解．
解：∵BD为∠ABC的角平分线，
∴点D到AB，BC的距离相等，
∵∠A＝90°，AD＝3，
∴点D到BC的距离为3，
故答案为：3．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝5，则AB边上中线的长为 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出AD＝DB，进而利用等腰三角形的性质得出CD，进而利用勾股定理解答即可．
解：如图：CD是AB边上中线，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝5，
∴AD＝BD＝AB＝，
∵CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝＝45°，
∴∠A＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD＝．
故答案为：．
15．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，连接EF，则∠AEF的度数为 66° ．
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF＝AB，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝AE，∠BAE＝108°，等量代换得到AF＝AE，∠FAE＝48°，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF＝AB，∠AFB＝∠BAF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝AE，∠BAE＝＝108°，
∴AF＝AE，∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝48°，
∴∠AEF＝（180°﹣∠FAE）＝66°．
故答案为：66°．
16．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为 13 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BN＝18，求得MG＝10，于是得到结论．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠B＝60°，∠BNG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BN＝9，
∴BG＝2BN＝18，
∴MG＝10，
∴CM＝CG＝5，
∴AC＝BC＝13，
故答案为：13．
三、解答题（本题有9小题，共84分）
17．计算：x4•x2﹣（3x3）2．
【分析】先算同底数幂的乘法，积的乘方，再合并同类项即可．
解：x4•x2﹣（3x3）2
＝x6﹣9x6
＝﹣8x6．
18．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，BC＝EF，AD＝CF，AB＝DE．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】由AD＝CF，根据等式性质得AC＝DF，再根据SSS定理得到结论．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
19．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：A（﹣3，1），B（﹣1，﹣2），C（1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．其中 A、B、C分别和A1、B1、C1对应，则线段AA1的长度为 6 ：
（2）仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解，根据图象直接得出AA1的长度；
（2）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C交x轴于点P，则点P即为所求．
解：如图所示，△A1B1C1即为所求，线段AA1的长度为6，
故答案为：6；
（2）点P的位置如图所示．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD＝2，求BD的长．
【分析】（1）根据题意和角平分线的定义，可以得到∠B和∠BAD的关系，然后即可得到BD和AD的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立；
（2）根据30°角所对的直角边和斜边的关系，可以得到BD的长．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝60°，∠DAB＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝DA，
∴点D在AB的垂直平分线上；
（2）解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，
∵CD＝2，
∴AD＝4，
由（1）知：BD＝AD，
∴BD＝4．
21．如图，在△ABC中，AC＝2AB．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F，交AD于点G；连接BG，CG（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明△AGB≌△AGF，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：由作图可知AF＝FC，∠AFG＝90°，∠BAG＝∠FAG，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AF，
在△AGB和△AGF中，
，
∴△AGF≌△AGB（SAS），
∴∠AFG＝∠ABG＝90°，
∴AB⊥BG．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）EF＝4，F为AB中点，求DF的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用等角的余角相等证明∠D＝∠AFD即可解答；
（2）由（1）得△ADF是等腰三角形，想到等腰三角形的三线合一性质，所以过点A作AG⊥DE，垂足为G，先在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，然后证明△AGF≌△BEF即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，EF＝4，
∴BF2＝BE2+EF2，
∵F为AB中点，
∴AF＝BF＝AB，
在Rt△BFE和△AFG中，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．
23．在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动；
在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角为α（∠PCB＝α），斜边PN交AC于点D．
（1）特例感知
当∠BPC＝110°时，α＝ 40 °，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）思维拓展
在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝30°，进而可以解决问题；
（2）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可．
解：（1）当∠BPC＝110°时，α＝40°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变小．
理由如下：
∵CA＝CB，∠ACB＝120°，
∴∠B＝30°，
∴α＝180°﹣110°﹣30°＝40°；
故答案为：40，小；
（2）∵△PCD是等腰三角形，
∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，
①当PC＝PD时，
∴∠PCD＝∠PDC＝（180°﹣30°）＝75°，
即120°﹣α＝75°，
∴∠α＝45°；
②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，
∴α＝90°；
③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，
即120°﹣α＝120°，
∴α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
∵点P不与A，B重合，
∴α＝0°，舍去，
综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝45°或90°．
24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、C（7，0），B为y轴正半轴上一点，D在第四象限．若BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）直接写出B点坐标（ 0 ， 7 ）；
（2）求证：AB＝AD；
（3）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）证明△OBC是等腰直角三角形，可得结论；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD，交CD的延长线于点N．证明△AMB≌△AND（AAS），可得结论；
（3）证明四边形AMCN是正方形，再证明四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积即可．
【解答】（1）解：∵C（7，0），
∴OC＝7，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵∠COB＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴OB＝OC＝7，
∴B（0，7），
故答案为：0，7；
（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD，交CD的延长线于点N．
∵AC平分∠BCD，
∴AM＝AN，
∵∠ABM+∠ADC＝180°，∠ADN+∠ADC＝180°，
∴∠ABM＝∠ADN，
∵∠AMB＝∠N＝90°，
∴△AMB≌△AND（AAS），
∴AB＝AD；
（3）解：∵A（﹣3，0），B（7，0），
∴OA＝3，OC＝7，
∴AC＝10，
∵AM⊥CM，∠ACM＝45°，
∴AM＝CM＝5，
∵△AMB≌△AND，
∴S△AMB＝S△AND，
∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN，
∵∠AMC＝∠MCN＝∠N＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∵AM＝CM，
∴四边形AMCN是正方形，
∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝（5）2＝50．
25．如图1，在等边△ABC中，D，E分别是边AC，BC上一点，且AD＝CE，BD与AE相交于点M．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）求证：∠AMD＝60°；
（3）如图2，连接CM，当BM＝2AM时，求证：CM⊥BM．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CAE即可；
（2）由全等三角形的性质得得∠ABD＝∠CAE，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）延长BD到F，使AM＝MF，连接AF、CF，证△BAM≌△CAF（SAS），得BM＝CF，∠AFC＝∠AMB＝120°，则CF＝2AM＝2AF＝2MF，取CF的中点N，连接MN，则FN＝NC＝MF，然后证△FMN是等边三角形，得MN＝FN＝CN，∠FMN＝60°，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴∠AMD＝∠ABD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°；
（3）如图2，延长BD到F，使AM＝MF，连接AF、CF，
由（1）知：∠AMF＝60°，
∴△AMF是等边三角形，
∴AM＝AF，∠AFM＝∠MAF＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAM＝∠CAF，
在△BAM和△CAF中，
，
∴△BAM≌△CAF（SAS），
∴BM＝CF，∠AFC＝∠AMB＝180°﹣∠AMF＝120°，
∵BM＝2AM，
∴CF＝2AM＝2AF＝2MF，
取CF的中点N，连接MN，则FN＝NC＝MF，
∵∠AFM＝60°，
∴∠MFN＝∠AFC﹣∠AFM＝120°﹣60°＝60°，
∴△FMN是等边三角形，
∴MN＝FN＝CN，∠FMN＝60°，
∴∠NMC＝∠NCM，
∵∠FNM＝∠NMC+∠NCM＝60°，
∴∠NMC＝30°，
∴∠CMF＝∠FMN+∠NMC＝60°+30＝90°，
∴BM⊥CM．
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