【高考真题解密】高考数学真题题源——专题08《三角恒等变换问题》母题解密（全国通用）

专题08　三角恒等变换问题

【高考真题】

1．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sinβ，则(　　)

A．tan(α－β)＝1　　B．tan(α＋β)＝1　　C．tan(α－β)＝－1　　D．tan(α＋β)＝－1

2．(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝，α＋β＝，则sinα＝__________，cos2β＝__________．

【知识总结】

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝±.

(2)商的关系：＝tan α.

2．三角函数的诱导公式

3．三角恒等变换

(1) 和角差角公式：

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，

tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝.

(2)二倍角公式：

sin 2α＝2sinαcosα，

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，

tan 2α＝.

(3)降幂公式：

sin2α＝，cos2α＝.

(4)辅助角公式：

asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.

【同类问题】

题型一　给角求值

1．tan 105°等于(　　)

A．2－　　　　　　　B．－2－　　　　　　　C．－2　　　　　　　D．－

2．等于(　　)

A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．

3．化简等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．2

4．sin 40°(tan 10°－)等于(　　)

A．2　　　　　　　　B．－2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．－1

5．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝        ．

6．的值为(　　)

A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．2

7．tan 67.5°－的值为(　　)

A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．4

8．求值：＝        ．

9．已知m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于(　　)

A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

10．(多选)下列各式中，值为的是(　　)

A．cos2－sin2　　　B．　　　C．2sin 195°cos 195°　　　D．

题型二　给值求值

11．(2021·全国乙)cos2－cos2等于(　　)

A． 　　　　　　　　B． 　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

12．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．

13．(2019·全国Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于(　　)

A．　　　　　　　　B． 　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

14．(2021·全国甲)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)

A． 　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

15．若cos＝，则cos等于(　　)

A． 　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．－

16．已知sin＋cos α＝，则sin等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－

17．已知cos＝2cos(π－α)，则tan等于(　　)

A．－3　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．3

18．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝        ．

19．已知cos＝，θ∈，则sin＝        ．

20．设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝，tan＝，则cosβ＝________．

题型三　给值求角与多选题

21．已知A，B均为钝角，且sin2＋cos＝，sin B＝，则A＋B等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

22．已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝      ，2α－β＝        ．

23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为        ．

24．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)

A．　　　　　　　　B．或　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2kπ＋(k∈Z)

25．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝        ．

26．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为        ．

27．已知x，y∈，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

28．(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　)

A．cos(－15°)＝

B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0

C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝

D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝

29．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)

A．sin 2α＝　　　　B．cos(α－β)＝　　　　C．cos αcos β＝ 　　　　D．tan αtan β＝

30．(多选)下列结论正确的是(　　)

A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)

B．3sin x＋3cos x＝3sin

C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2

D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1