2022.11海淀区高三（上）期中数学试卷及参考答案

海淀区2022—2023学年第一学期期中练习

                    高三数学参考答案

一、选择题

 二、填空题

（11）    （12）  （13）答案不唯一，小于1的实数均可

（14）2；或1   （15）2；

三、解答题

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，

 因为,

所以    

解得          

所以.     

（Ⅱ）选择条件③.  

因为，

所以.         

因为,

即 .    

得.

因为,为奇数，为偶数，

所以.

可得.   

（17）（本小题14分）

解：（Ⅰ）

.                           

（Ⅱ）.   

  所以的最小正周期为.    

（Ⅲ）因为 所以         

当，即时，取得最大值，  

所以在区间上的最大值为；

当，即时，取得最小值，    

所以在区间上的最小值为.     

（18）（本小题14分）

解：（Ⅰ）的定义域为R.

   ，令，.  

由表可得，的单调递增区间为；单调递减区间为.

（Ⅱ）由函数解析式及（Ⅰ）可知.

①当时，，不符合题意；

②当时，在区间上的取值范围是，符合题意；

③当时，由在区间上单调递增可知，不符合题意.

    综合上述，

（19）（本小题14分）

解：（Ⅰ）在中，，,所以.

由正弦定理：，得，

所以， (km).

,

所以的面积为

().

（Ⅱ）由，, 得,.

在中由余弦定理，得

.

所以， (km).

即点C, D之间的距离为.

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）当时，，

则. 

 ，  则.   

曲线在处的切线方程为.

（Ⅱ）当时，记，

则.     

 当时，,

所以.    

所以在上单调递增.  

因为,

所以函数在区间上有且仅有一个零点.  

（Ⅲ）设.

则.  

设.

则.

因为当时，,

所以当时，时，，

所以在区间上单调递增.   

（1）当时，，,

且在区间上单调递增，

所以存在唯一，使得.

当时，，

所以在区间上单调递减.

可得，所以与题意不符.    

（2）当时,

. 

由可知：在区间上单调递增,    

所以当时，.

所以在区间上单调递增.

所以区间上恒成立.

符合题意.  

（3）当时,

.    

由（2）可知，此时在区间上恒成立.

综上所述，实数的取值范围是. 

（21）（本小题15分）

解：（Ⅰ）（ⅰ）数表1不具有性质.  

 理由：. 

（ⅱ）存在. 时，数表2具有性质. 

（Ⅱ）不存在数表具有性质. 

假设存在使得数表具有性质，则

.

即在这两行中，有6列的数不同，设其中有列是第行的数为1，第行的数为0，

则有列是第行的数为0，第行的数为1.

所以，从第行到第行，一共增加了个1，1的个数的奇偶性不变. ……7分

所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同. 

与数表第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾.

所以，不存在具有性质的数表. 

（Ⅲ）的最大值的为.    

定义行列的数表：

其第行第列为.

则，且表示两数相同，表示两数不同.

因为数表的第1行确定，所以给定数表后，数表唯一确定.

①先证.

我们按照如下方式，构造数表：对于第行和第行，，

令，，

且在这两行其余的列中，任选相同的列都为1，其他列都为0.

于是可得到具有性质的数表如下：

即对于每个，当时，都存在数表具有性质.

所以. 

②再证时，.

记.

因为是奇数，

所以与的奇偶性不相同().

因为，

所以是奇数.

我们考虑的第行和行，

因为，所以这两行中都有列为1，1列为0.

若这两行相同，则数表的第行和第行相同，.

若这两行不同，设其分别在第列为0，则数表的第行和第行只在第列上不同，其他列都相同，.             

因为，其中是偶数.

所以.

所以，即.

结合①，.

综上所述，的最大值的为.