2023绵阳高三上学期第一次诊断性考试数学（理）含答案

绵阳市高中2020级第一次诊断性考试

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

    BDABC     BBCDA      DC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．2 14．31       15．10.516．(-2，1)

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（1）．……4分

 令()，……………………………………………6分

 解得()，

 ∴函数f(x)的单调递减区间为()．…………………………8分

 （2）由，得，

 ∵，∴．………………………………………………9分

 ∴，……………………………………………………………11分

 解得．…………………………………………………………………12分

18．解：（1）证明：∵，

 ∴，

 即．……………………………………………………………………3分

 ∵，∴，……………………………………………………4分

 ∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．…………………………6分

 （2）由（1）知，， ………………………………………8分

 ∴

．………………………………………11分

     当n=1时，.

    综上所述，.   ………………………………………12分

19．解：（1）∵，

 由正弦定理，得，………………………………………1分

 即，

 ∴， …………………………………………………………………3分

 ∴或（舍），即，…………………………………4分

 ∴，

 ∴．………………………………………………………6分

（2）由锐角△ABC，可得，，．

即，∴．………………………………………………9分

∵．………11分

∴．…………………………………………………………………12分

20．解：由题意得．…………………………1分

 （1）当时，由，函数在上单调递增．

 当时，函数在上单调递减，

在和上单调递增．………………………3分

 当时，易知函数在(k，4)上单调递减，

在，上单调递增．……………………5分

 （2）当k≤0或k≥3时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．

 当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减．…………7分

 要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足：

 且 解得．………………………………………………9分

 ∴．………………………………………………………10分

 又，

∴当时，；当时，．

 又 ，∴………………………………………12分

21．解：（1）由题意得．

 令g(x)=，则．

 ∴函数在区间上单调递增，

 则函数的最小值为．………………………………………………3分

 ①当2-a≥0，即a≤2时，可得，

∴函数f(x)在上单调递增．

 又f(0)=0，∴f(x)≥f(0)=0恒成立．……………………………………………………4分

 ②当2-a，即a>2时，函数的最小值为<0，

 且存在x0>0，当时，<0．

 又f(0)=0，∴当时，<0，

这与x≥0时，f(x)≥0相矛盾．……………………………………………………5分

 综上，实数a的取值范围是．…………………………………………………6分

（2）由(1) 得当a=2时，不等式f(x)=2ex-x2-2x-2≥0恒成立，

 ∴2ex-1≥x2+2x+1．

 令x=n，得2en-1≥n2+2n+1．  ……………………………………………………8分

∴．  …………………………………9分

 令，则，

时，，为上的增函数；

时，，为上的增函数；

∴，则.

∴，  ………………………………………10分

 ∴

 =

 <=

 ．

∴． ………………………………12分

22．解：（1）由题意得圆C的普通方程为．

 直线的普通方程为．…………………………………………………4分

 ∵圆心C到直线的距离，

 ∴直线和圆C相离．…………………………………………………………………5分

 （2）设．

 由，

 ∴，则．………………………………7分

 ∴=，则， …………………………………………………………8分

 ∴，   …………………………………………………………………9分

∴．……………………………………………………………10分

23．解：（1）

≥=…………………………………3分

≥．(当且仅当时，取等) ………………………………………4分

 ∴函数f(x)的最小值为．……………………………………………………………5分

 （2）∵f(a)＋f(b)＋f(c)＝18，

 ∴．…………………………………………………………………………6分

 由

 ≥9，

 得． ………………………………………………………………………8分

 ∵，

 ∴． ……………………………………………………………………9分

 ∴，

 ∴． …………………………………………………………10分