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广东省深圳市南科大附属光明(凤凰)学校2022-2023学年 九年级上学期数学10月调研考试试卷(含答案)
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这是一份广东省深圳市南科大附属光明(凤凰)学校2022-2023学年 九年级上学期数学10月调研考试试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了若3x＝2y，下列四条线段为成比例线段的是，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
南科大附属光明(凤凰)学校2022-2023学年第一学期九年级数学10月调研考试试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四条线段为成比例线段的是（ ）
A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3
C． D．
3．某中考体育训练营开设的培训项目有：长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆．王林随机选择两个项目进行培训，则恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（ ）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A．3 B． C．3 D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
7．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
8．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：EF＝1：2
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若，则＝ ．
12．若x＝1是一元二次方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的其中一个解，则m的值为 ．
13．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A种候鸟．
14．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共互送贺年卡72张，则这个小组的人数为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）（x+1）（x+3）＝15； （2）3x2﹣6x+2＝0．
17．（6分）在2022年4月23日第27个“世界读书日”到来之际，央视网《天天学习》重温习近平总书记爱读书、勤读书、读好书、善读书、擅用书所引述用典，学习领会习近平总书记的读书观，积极参加全民阅读活动，为中华民族的伟大复兴而努力读书，让智慧之光照亮我们每个人前行之路！为了提高学生们的书籍阅读兴趣，某校开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动，推荐书目为A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著．
（1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，则她选中《红楼梦》的概率为 ；
（2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求《红楼梦》被选中的概率．
18．（7分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
20．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．
（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售 件．（用含x的代数式表示）
（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是直角边AC上动点，点F是斜边AB上的动点（点F与A、B两点均不重合）．且EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x．
（1）试用含x的代数式表示AF＝ ；
（2）若△AEF的面积为，求x的值；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求出此时AE的长．
22．（9分）如图1，已知矩形ABCD中，，O是矩形ABCD的中心，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，得矩形BEOF．
（1）线段AE与CF的数量关系是 ，直线AE与CF的位置关系是 ；
（2）固定矩形ABCD，将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图2的位置，连接AE、CF．那么（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
（3）若AB＝8，当矩形BEOF旋转至点O在CF上时（如图3），设OE与BC交于点P，求PC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
B、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
C、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立；
D、由＝得，3x＝2y，故本选项比例式成立．
故选：D．
2．下列四条线段为成比例线段的是（ ）
A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3
C． D．
【解答】解：A.10×4≠5×7，故本选项不符合题意；
B.8×3≠5×4，故本选项不符合题意；
C.1×＝×，故本选项符合题意；
D.9×≠3•，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．某中考体育训练营开设的培训项目有：长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆．王林随机选择两个项目进行培训，则恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：将长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆分别记作A、B、C、D，
用列表法分析如下：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的有2种结果，
所以恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率为＝，
故选：C．
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（ ）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1•x2＝6，
∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0，
故选：B．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A．3 B． C．3 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、四条边相等的四边形是菱形，本选项说法是真命题，符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
7．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
【解答】解：易得二月份生产的零件个数是在一月份的基础上增加的，所以为60（1+x），
同理可得三月份生产的零件个数为60（1+x）（1+x），
那么60+60×（1+x）+60（1+x）2＝218．
即：60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218，
故选：C．
8．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：EF＝1：2
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，
∴AC：AE＝1：3，故A选项正确；
CE：EA＝2：3，故B选项错误；
CD：EF的值无法确定，故C选项错误；
AB：EF的值无法确定，故D选项错误；
故选：A．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项B不符合题意；
C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项D符合题意；
故选：D．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEH中，，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH＝EF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；
过A作AG⊥EF于G，
∴∠AGE＝∠ABE＝90°，
在△ABE与△AGE中，，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB＝AG，
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝BE+DF＝5，
设BC＝CD＝n，
∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，
∴EF2＝CE2+CF2，
∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，
∴n＝6（负值舍去），
∴AG＝6，
∴S△AEF＝×6×5＝15．故③正确；
如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QM，
由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠MAN＝45°，
在△AMQ和△AMN中，，
∴△AMQ≌△AMN（SAS），
∴MQ＝MN，
∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，
∴BQ2+MB2＝MQ2，
∴ND2+MB2＝MN2，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝12，
设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，
∴32+（9﹣x）2＝x2，解得：x＝5，
∴MN＝5，故④正确，
故选：A．
二．填空题
11．若，则＝ ．
【解答】解：∵＝，
∴2a+2b＝3b，
∴2a＝b，
∴＝，
故答案为：．
12．若x＝1是一元二次方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的其中一个解，则m的值为 ．
A．3 B．﹣3 C．±3 D．2
【解答】解：把x＝1代入方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0得：
m+3﹣m+m2﹣12＝0，
解得m＝±3，
由m+3≠0得m≠﹣3，
∴m＝3，
故答案为：3．
13．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 800 只A种候鸟．
【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
14．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共互送贺年卡72张，则这个小组的人数为 9 ．
【解答】解：设这个小组有x人，
则根据题意可列方程为：（x﹣1）x＝72，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去）．
所以这个小组共有9人．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为 ．
【解答】解：如图，过D作DM⊥BD交AB于M，过M作MN⊥AC于N，
则∠BDM＝∠MND＝∠MNA＝90°，
在△BCD中，∠C＝90°，BD＝13，CD＝5，
∴BC＝＝＝12，
∵∠ABD＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴MD＝BD，
∵∠MND＝∠BDM＝90°，
∴∠DMN+∠MDN＝∠MDN+∠BDC＝90°，
∴∠DMN＝∠BDC，
在△DMN与△BDC中，，
∴△DMN≌△BDC（AAS），
∴DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，
∴CN＝DN+CD＝17，
∵MN⊥AC，BC⊥AC，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，∴＝，
即＝，解得：AN＝，
∴AD＝AN+DN＝+12＝，
故答案为：．
三．解答题
16．解方程
（1）（x+1）（x+3）＝15
（2）3x2﹣6x+2＝0．
【解答】解：（1）（x+1）（x+3）＝15，
整理得：x2+4x﹣12＝0，
分解因式得（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x+6＝0，x﹣2＝0，
解方程得：x1＝﹣6，x2＝2．
（2）x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
17．在2022年4月23日第27个“世界读书日”到来之际，央视网《天天学习》重温习近平总书记爱读书、勤读书、读好书、善读书、擅用书所引述用典，学习领会习近平总书记的读书观，积极参加全民阅读活动，为中华民族的伟大复兴而努力读书，让智慧之光照亮我们每个人前行之路！为了提高学生们的书籍阅读兴趣，某校开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动，推荐书目为A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著．
（1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，则她选中《红楼梦》的概率为 ；
（2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求《红楼梦》被选中的概率．
【解答】解：（1）∵共有4部名著，
∴随机选择1部为《红楼梦》的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种，
∴《红楼梦》被选中的概率为＝．
18．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞﹣，
即k的取值范围是k＞﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2，
∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，
[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
必须k＞﹣，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．
19．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝BC＝CE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
由（1）得：四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵AB×AC＝BC×AG，
即×6×8＝×10×AG，
∴AG＝，
又∵EF⊥CD，AG⊥BC，
∴S菱形AECD＝CD•EF＝CE•AG，
∵CD＝CE，
∴EF＝AG＝．
20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．
（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售 （30+5x） 件．（用含x的代数式表示）
（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？
【解答】解：（1）根据题意知，每天将销售 （30+5x）件；
故答案是：（30+5x）；
（2）根据题意，得（20﹣x）×（30+5x）＝840．
整理，得x2﹣14x+48＝0．
解得x1＝6，x2＝8．
因为让顾客得到更大实惠，
所以x＝8符合题意．
答：每个挂件应降价8元．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是直角边AC上动点，点F是斜边AB上的动点（点F与A、B两点均不重合）．且EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x．
（1）试用含x的代数式表示AF＝ 6﹣x ；
（2）若△AEF的面积为，求x的值；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求出此时AE的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝5．
所以△ABC的周长＝3+4+5＝12．
∴AE+AF＝6．
∴AF＝6﹣AE＝6﹣x．
故答案为：6﹣x．
（2）过点F作FD⊥AC．
∵BC⊥AC，FD⊥AC，
∴BC∥DF．
∴△FDA∽△BCA．
∴，即．
∴DF＝．
∵△AEF的面积为，
∴＝＝．
解得：x1＝2，x2＝4（舍去）．
∴x的值为2．
（3）AE＝或3．
22．如图1，已知矩形ABCD中，，O是矩形ABCD的中心，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，得矩形BEOF．
（1）线段AE与CF的数量关系是 AE＝CF； ，直线AE与CF的位置关系是 AE⊥CF ；
（2）固定矩形ABCD，将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图2的位置，连接AE、CF．那么（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
（3）若AB＝8，当矩形BEOF旋转至点O在CF上时（如图3），设OE与BC交于点P，求PC的长．
【解答】解：（1）∵O是矩形ABCD的中心，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∴AE＝AB，CF＝BC，
∵AB＝BC，
∴AB＝×BC，即AE＝CF；
∵AB⊥BC，点E、F分别是AB、BC上的点，
∴AE⊥CF；
故答案为AE＝CF；AE⊥CF；
（2）（1）中的结论仍然成立．
如图1，延长AE交BC于H，交CF于G，
由已知得，
∴
∵∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF，，
∵∠BAE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠CHG，
∴∠BCF+∠CHG＝90°
∴∠CGH＝180°﹣（∠BCF+∠CHG）＝90°，
∴AE⊥CF，且AE＝．
（3）∵AB＝，AB＝8，
∴BC＝6，
∴BE＝OF＝4，BF＝OE＝3，
∵点O在CF上，
∴∠CFB＝90°，
∴CF＝，
∴OC＝CF﹣OF＝，
∵∠CPO＝∠BPE，∠PEB＝∠POC＝90°，
∴△BPE∽△CPO，∴，
设CP＝x，则BP＝6﹣x，
∴，解得：，
∴．
南科大附属光明(凤凰)学校2022-2023学年第一学期九年级数学10月调研考试试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四条线段为成比例线段的是（ ）
A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3
C． D．
3．某中考体育训练营开设的培训项目有：长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆．王林随机选择两个项目进行培训，则恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（ ）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A．3 B． C．3 D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
7．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
8．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：EF＝1：2
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若，则＝ ．
12．若x＝1是一元二次方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的其中一个解，则m的值为 ．
13．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A种候鸟．
14．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共互送贺年卡72张，则这个小组的人数为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）（x+1）（x+3）＝15； （2）3x2﹣6x+2＝0．
17．（6分）在2022年4月23日第27个“世界读书日”到来之际，央视网《天天学习》重温习近平总书记爱读书、勤读书、读好书、善读书、擅用书所引述用典，学习领会习近平总书记的读书观，积极参加全民阅读活动，为中华民族的伟大复兴而努力读书，让智慧之光照亮我们每个人前行之路！为了提高学生们的书籍阅读兴趣，某校开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动，推荐书目为A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著．
（1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，则她选中《红楼梦》的概率为 ；
（2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求《红楼梦》被选中的概率．
18．（7分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
20．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．
（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售 件．（用含x的代数式表示）
（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是直角边AC上动点，点F是斜边AB上的动点（点F与A、B两点均不重合）．且EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x．
（1）试用含x的代数式表示AF＝ ；
（2）若△AEF的面积为，求x的值；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求出此时AE的长．
22．（9分）如图1，已知矩形ABCD中，，O是矩形ABCD的中心，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，得矩形BEOF．
（1）线段AE与CF的数量关系是 ，直线AE与CF的位置关系是 ；
（2）固定矩形ABCD，将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图2的位置，连接AE、CF．那么（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
（3）若AB＝8，当矩形BEOF旋转至点O在CF上时（如图3），设OE与BC交于点P，求PC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
B、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
C、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立；
D、由＝得，3x＝2y，故本选项比例式成立．
故选：D．
2．下列四条线段为成比例线段的是（ ）
A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3
C． D．
【解答】解：A.10×4≠5×7，故本选项不符合题意；
B.8×3≠5×4，故本选项不符合题意；
C.1×＝×，故本选项符合题意；
D.9×≠3•，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．某中考体育训练营开设的培训项目有：长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆．王林随机选择两个项目进行培训，则恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：将长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆分别记作A、B、C、D，
用列表法分析如下：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的有2种结果，
所以恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率为＝，
故选：C．
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（ ）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1•x2＝6，
∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0，
故选：B．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A．3 B． C．3 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、四条边相等的四边形是菱形，本选项说法是真命题，符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
7．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
【解答】解：易得二月份生产的零件个数是在一月份的基础上增加的，所以为60（1+x），
同理可得三月份生产的零件个数为60（1+x）（1+x），
那么60+60×（1+x）+60（1+x）2＝218．
即：60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218，
故选：C．
8．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：EF＝1：2
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，
∴AC：AE＝1：3，故A选项正确；
CE：EA＝2：3，故B选项错误；
CD：EF的值无法确定，故C选项错误；
AB：EF的值无法确定，故D选项错误；
故选：A．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项B不符合题意；
C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项D符合题意；
故选：D．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEH中，，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH＝EF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；
过A作AG⊥EF于G，
∴∠AGE＝∠ABE＝90°，
在△ABE与△AGE中，，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB＝AG，
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝BE+DF＝5，
设BC＝CD＝n，
∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，
∴EF2＝CE2+CF2，
∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，
∴n＝6（负值舍去），
∴AG＝6，
∴S△AEF＝×6×5＝15．故③正确；
如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QM，
由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠MAN＝45°，
在△AMQ和△AMN中，，
∴△AMQ≌△AMN（SAS），
∴MQ＝MN，
∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，
∴BQ2+MB2＝MQ2，
∴ND2+MB2＝MN2，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝12，
设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，
∴32+（9﹣x）2＝x2，解得：x＝5，
∴MN＝5，故④正确，
故选：A．
二．填空题
11．若，则＝ ．
【解答】解：∵＝，
∴2a+2b＝3b，
∴2a＝b，
∴＝，
故答案为：．
12．若x＝1是一元二次方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的其中一个解，则m的值为 ．
A．3 B．﹣3 C．±3 D．2
【解答】解：把x＝1代入方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0得：
m+3﹣m+m2﹣12＝0，
解得m＝±3，
由m+3≠0得m≠﹣3，
∴m＝3，
故答案为：3．
13．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 800 只A种候鸟．
【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
14．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共互送贺年卡72张，则这个小组的人数为 9 ．
【解答】解：设这个小组有x人，
则根据题意可列方程为：（x﹣1）x＝72，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去）．
所以这个小组共有9人．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为 ．
【解答】解：如图，过D作DM⊥BD交AB于M，过M作MN⊥AC于N，
则∠BDM＝∠MND＝∠MNA＝90°，
在△BCD中，∠C＝90°，BD＝13，CD＝5，
∴BC＝＝＝12，
∵∠ABD＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴MD＝BD，
∵∠MND＝∠BDM＝90°，
∴∠DMN+∠MDN＝∠MDN+∠BDC＝90°，
∴∠DMN＝∠BDC，
在△DMN与△BDC中，，
∴△DMN≌△BDC（AAS），
∴DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，
∴CN＝DN+CD＝17，
∵MN⊥AC，BC⊥AC，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，∴＝，
即＝，解得：AN＝，
∴AD＝AN+DN＝+12＝，
故答案为：．
三．解答题
16．解方程
（1）（x+1）（x+3）＝15
（2）3x2﹣6x+2＝0．
【解答】解：（1）（x+1）（x+3）＝15，
整理得：x2+4x﹣12＝0，
分解因式得（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x+6＝0，x﹣2＝0，
解方程得：x1＝﹣6，x2＝2．
（2）x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
17．在2022年4月23日第27个“世界读书日”到来之际，央视网《天天学习》重温习近平总书记爱读书、勤读书、读好书、善读书、擅用书所引述用典，学习领会习近平总书记的读书观，积极参加全民阅读活动，为中华民族的伟大复兴而努力读书，让智慧之光照亮我们每个人前行之路！为了提高学生们的书籍阅读兴趣，某校开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动，推荐书目为A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著．
（1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，则她选中《红楼梦》的概率为 ；
（2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求《红楼梦》被选中的概率．
【解答】解：（1）∵共有4部名著，
∴随机选择1部为《红楼梦》的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种，
∴《红楼梦》被选中的概率为＝．
18．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞﹣，
即k的取值范围是k＞﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2，
∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，
[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
必须k＞﹣，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．
19．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝BC＝CE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
由（1）得：四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵AB×AC＝BC×AG，
即×6×8＝×10×AG，
∴AG＝，
又∵EF⊥CD，AG⊥BC，
∴S菱形AECD＝CD•EF＝CE•AG，
∵CD＝CE，
∴EF＝AG＝．
20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．
（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售 （30+5x） 件．（用含x的代数式表示）
（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？
【解答】解：（1）根据题意知，每天将销售 （30+5x）件；
故答案是：（30+5x）；
（2）根据题意，得（20﹣x）×（30+5x）＝840．
整理，得x2﹣14x+48＝0．
解得x1＝6，x2＝8．
因为让顾客得到更大实惠，
所以x＝8符合题意．
答：每个挂件应降价8元．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是直角边AC上动点，点F是斜边AB上的动点（点F与A、B两点均不重合）．且EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x．
（1）试用含x的代数式表示AF＝ 6﹣x ；
（2）若△AEF的面积为，求x的值；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求出此时AE的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝5．
所以△ABC的周长＝3+4+5＝12．
∴AE+AF＝6．
∴AF＝6﹣AE＝6﹣x．
故答案为：6﹣x．
（2）过点F作FD⊥AC．
∵BC⊥AC，FD⊥AC，
∴BC∥DF．
∴△FDA∽△BCA．
∴，即．
∴DF＝．
∵△AEF的面积为，
∴＝＝．
解得：x1＝2，x2＝4（舍去）．
∴x的值为2．
（3）AE＝或3．
22．如图1，已知矩形ABCD中，，O是矩形ABCD的中心，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，得矩形BEOF．
（1）线段AE与CF的数量关系是 AE＝CF； ，直线AE与CF的位置关系是 AE⊥CF ；
（2）固定矩形ABCD，将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图2的位置，连接AE、CF．那么（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
（3）若AB＝8，当矩形BEOF旋转至点O在CF上时（如图3），设OE与BC交于点P，求PC的长．
【解答】解：（1）∵O是矩形ABCD的中心，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∴AE＝AB，CF＝BC，
∵AB＝BC，
∴AB＝×BC，即AE＝CF；
∵AB⊥BC，点E、F分别是AB、BC上的点，
∴AE⊥CF；
故答案为AE＝CF；AE⊥CF；
（2）（1）中的结论仍然成立．
如图1，延长AE交BC于H，交CF于G，
由已知得，
∴
∵∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF，，
∵∠BAE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠CHG，
∴∠BCF+∠CHG＝90°
∴∠CGH＝180°﹣（∠BCF+∠CHG）＝90°，
∴AE⊥CF，且AE＝．
（3）∵AB＝，AB＝8，
∴BC＝6，
∴BE＝OF＝4，BF＝OE＝3，
∵点O在CF上，
∴∠CFB＝90°，
∴CF＝，
∴OC＝CF﹣OF＝，
∵∠CPO＝∠BPE，∠PEB＝∠POC＝90°，
∴△BPE∽△CPO，∴，
设CP＝x，则BP＝6﹣x，
∴，解得：，
∴．
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