2022绍兴诸暨二中高一上学期期中考试数学试题含答案

诸暨二中2021学年第一学期期中考试

高一数学

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合A的补集，再求即可

【详解】因为，，

所以，

因为，所以，

故选：B

2. 给出下列四个关系式：，其中正确的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】利用元素与集合间的关系进行判断即可

【详解】因为是无理数，所以正确，

因为是有理数，所以不正确，

因为空集是集合，所以与不是属于关系，所以不正确，

因为是负整数，所以正确，

故选：C

3. 已知，则“”是的（    ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 既不充分也不必要条件

D. 充要条件

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式，再结合充分性和必要性的定义即可求解.

【详解】由可得，所以或，

所以由得不出，故充分性不成立，

由可得出，故必要性成立，所以“”是的必要不充分条件，

故选：B.

4. 命题“，使”的否定形式为（    ）

A. ，使

B. ，使

C. ，使

D. ，使

【答案】D

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是变量词否结论即可求解.

【详解】命题“，使”的否定形式为：，使，

故选：D.

5. 函数与g(x)＝－x＋a的图象大致是

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】因为直线是递减的，所以可以排除选项 ，又因为函数单调递增时，，所以当时，，排除选项B,此时两函数的图象大致为选项，故选A．

【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、一次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

6. 设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　)

A. a>c>b B. a>b>c

C. c>a>b D. b>c>a

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A

考点：函数的单调性.

7. 已知函数是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，解之即可得出答案.

【详解】解：因为函数是定义在R上的增函数，

所以，解得，

所以实数a的取值范围为.

故选：D.

8. 已知是定义在上的减函数，且对任意，都有，则不等式f（x-2）>的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，分析可得原不等式可以转化为，结合函数的单调性和定义域可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】解：根据题意，满足，

则，

则，

又由是定义在上的减函数，

则有，解可得，

即不等式的解集为.

故选：B.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 下列函数既是奇函数又在区间是减函数的是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】对于A：，所以是奇函数，

任取，则，因为，可得，，所以，所以在区间是减函数，故选项A正确；

对于B：是非奇非偶函数不符合题意，故选项B不正确；

对于C：定义域为关于原点对称，且是奇函数，由幂函数的性质可得在区间是减函数，故选项C正确；

对于D：为偶函数，在区间是增函数，故选项D不正确；

故选：AC.

10. 已知函数的值域是，其定义域可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由可得或，由可得，结合图象即可得答案.

【详解】因为函数的值域是，由可得或，由可得,如图，

所以其定义域可以为A、B、C中的集合，

故选：ABC

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 函数的图象是一条直线

B. 若函数在上单调递减，则

C. 若，则

D. 函数的单调递减区间为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据即可判断A；

根据函数在上单调递减，得，从而可判断B；

令，则，从而求得函数的解析式，从而可判断C；

求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可判断D.

【详解】解：对于A，函数的图象是由分散的点组成的，故A错误；

对于B，因为函数在上单调递减，所以，解得，故B正确；

对于C，因为，令，则，

则，所以，所以，故C正确；

对于D，由函数，得，解得或，

即函数的定义域为，

令，函数在上递减，在上递增，

又函数为增函数，

所以函数在上递减，在上递增，故D错误.

故选：BC.

12. 对于定义域为R的函数，若存在非零实数，使得函数在和上与轴都有交点，则称为函数的一个“界点”，则下列函数中，存在界点的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意，依次分析4个选项中函数得零点的情况，结合“界点”的定义综合分析即可得出答案.

【详解】解：对于A，令，解得或，则区间上的任意一个非零实数都是函数的一个“界点”，故A选项存在界点；

对于B，因为，所以函数，无零点，故B选项不存在界点；

对于C，，则有，又，则函数存在界点，故C选项存在界点；

对于D，，

当时，令，解得或，则区间上的任意一个非零实数都是函数的一个“界点”，故D选项存在界点.

故选：ACD.

三､填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 计算=___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.

【详解】原式=

.

故答案为：-2

14. 已知是正数，若，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】将代入，再利用基本不等式即可求解.

【详解】由可得，

所以，

当且仅当即时等号成立，的最小值为，

故答案：.

15. 已知函数的定义域为，函数，则的定义域为_________

【答案】

【解析】

【分析】根据定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.

【详解】由题意得，即定义域为.

【点睛】本题考查函数定义域,考查基本分析求解能力,属基础题.

16. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】设，作出函数的图象，由图可得，由、为的两根可得，由二次函数的对称性可得即可求解.

【详解】作出函数的图象，

由图知当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

令，

若存在，使得，由图可得，

由即，所以，

因为函数的对称轴为，所以，

所以，

故答案为：.

四､解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明､证明过程或演算过程）

17. 已知集合，集合

（1）当时，求.

（2）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合M，N，然后求，

（2）由，分析两集合的关系可得答案

【小问1详解】

当时，，则

由，得，得，

所以,

所以，

【小问2详解】

因为，，且，

所以，

所以实数m的取值范围为

18. （1）若正数满足，求的最小值.

（2）已知，求的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】（1）根据1的变形及均值不等式求解即可；

（2）根据不等式的性质求出的范围.

【详解】（1）因，

所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

(2)因为，

所以，

所以，

所以，

即的取值范围为.

19. 某汽车公司的研发部研制出一款新型的能源汽车并通过各项测试准备投入量产.生产该新能源汽车需年固定成本为50万元，每生产1辆汽车需投入16万元，该公司一年内共生产汽车辆，并全部销售完.每辆汽车的销售收入为（万元）.

（1）求利润（万元）关于年产量（辆）的函数解析式.

（2）当年产量为多少辆时，该汽车公司所获得利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）   

（2）当年产量为辆时，所获得的利润最大为万元

【解析】

【分析】（1）由销售总收入减去生产汽车的总投入再减去固定成本得即可求解；

（2）分别以二次函数的性质以及基本不等式求出（1）中分段函数的最大值即可求解.

【小问1详解】

由题意可得：当时，

，

当时，

，

所以，

【小问2详解】

当时，对称轴为，开口向下，

所以当时，万元，

当时，，

当且仅当即时等号成立，此时万元，

综上所述：当时，该汽车公司所获得的利润最大为万元.

20. 已知函数（为常数）

（1）若时，，求的值.

（2）当为奇函数时，对任意的，使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解方程即可求解；

（2）由求得的值，再利用奇函数的定义检验可得的解析式，分离参数可得，根据单调性求出的最大值即可求解.

【小问1详解】

当时，，令可得，

所以，可得，所以

【小问2详解】

若函数是奇函数，则，可得，

所以，经检验，

所以是奇函数，符合题意，

因为不等式对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

所以，

因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递增，

所以当时，，所以，

所以实数的取值范围为.

21. 函数是定义在上的奇函数，且

（1）确定函数的解析式.

（2）判断在上的单调性并加以证明.

（3）解不等式

【答案】（1）   

（2）在上单调递增，证明见解析.   

（3）

【解析】

【分析】（1）由以及求得的值，再利用奇函数的定义检验即可求解；

（2）利用函数单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论即可求证；

（3）利用的单调性和奇偶性结合定义域列不等式即可求解.

【小问1详解】

因为函数是定义在上的奇函数，

所以，所以，

由可得，所以，

经检验是奇函数，所以.

【小问2详解】

在上单调递增，证明如下：

任取，

则，

因为，所以，，

所以即，所以在上单调递增.

【小问3详解】

因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，

由可得，

所以，解得：.

所以不等式的解集为.

22. 函数（）

（1）若时，求的单调区间.

（2）设在区间上的最小值为，求的表达式.

（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）求出的解析式，去绝对值写成分段函数的形式，结合二次函数的对称轴和单调性即可求解；

（2）求出的对称轴，再讨论、、时函数的的单调性以及最值即可求解；

（3），再根据函数单调性的定义可得即，转化为最值问题即可求解.

【小问1详解】

当时，

，

由二次函数的性质可得的单调增区间为和

的单调减区间为和.

【小问2详解】

由于，当时，，

①若，即时，函数在单调递增，此时

②若，即时，，

③若，即时，在上是减函数，此时．

综上可得.

【小问3详解】

任取，则

，

因为在区间上是增函数，所以恒成立，

因为，所以，

所以可转化为对任意都成立，

即，因为，所以，

因为，所以，解得，

所以实数的取值范围是.