四川省遂宁安居育才卓同国际学校（高中部）2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题

遂宁卓同教育高中部2021年下期半期考试

高2020级数学（理科）试题参考答案

一、选择题：1--6 BACCDA    7--12 DDABBD

二、填空题：13.       14.         15.       16.6

三、解答题：

17.解：（1）设的方程为，.

因为在轴上的截距为，所以，解得，即：，

联立，得所以直线与的交点坐标为 ．....5分
（2）当过原点时，的方程为，当不过原点时，设的方程为，

又直线经过与的交点，所以，得，的方程为，

综上，的方程为或.....10分
18.解：（1）证明：连接，交于点，连接，

几何体为三棱柱，四边形为平行四边形，为中点，

又为中点，，

平面，平面，平面.....6分
（2）由（1）知：，则异面直线与所成角即为直线与所成角，即，，，为等边三角形，

又为中点，，，

平面，平面，，，

同理可得：，，

即异面直线与所成角的余弦值为.....12分

19.      解：（1）证明：由三视图知, 
    又因为 ， ....5分
    (2)解法一：连AC交BD于点O，连PO，由(1)知   
    则 ， 为 与平面 所成的角. , 则   .....12分

20.解：（1）∵点A（1，2）、B（3，0），∴线段AB的中点为E（2，1），

∵直线AB的斜率kAB＝＝﹣1，AB中垂线的斜率为k＝＝1，

∴线段AB的中垂线方程为y﹣1＝x﹣2，即x﹣y﹣1＝0．

又∵圆C经过A、B两点，∴圆心在线段AB的中垂线上．

∵直线m：2x﹣3y＝0平分圆C，∴直线m经过圆心C．

因此联解，得，即圆心的坐标为C（3，2），

从而圆C的半径r＝|CB|＝，

∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4；....4分
（2）设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，因为，

由弦长公式得：|EF|＝，解之得d≤1，

由点到直线的距离公式，得，

化简得 8k（k+）≤0，解之得；....8分

（3）连接PC, 因为QC垂直与MN,所以QP垂直与QC,所以Q点的轨迹是以PC为直径的圆。

   圆心为PC 中点。

所以Q的轨迹方程为。....12分

21.解：（Ⅰ）连延长交于，因为点为的重心，所以

又，所以，所以//；

因为//，//，所以平面//平面，

又与分别是棱长为1与2的正三角形，

为中点，为中点, //,又//，

所以//，得四点共面//平面....5分
（Ⅱ）由题意，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

设，

则，

，

设平面的法向量，则，，

平面的法向量，所以二面角的余弦值，

，又，,直线与所成角的余弦值为 .....12分

22．解：（1）时，，设圆的过点的切线方程为，即，

故到直线的距离，解得或，

切线方程为和．....3分
（2），，，

故以为圆心，以为半径的圆的方程为，

显然线段为圆和圆的公共弦，

直线的方程为：，

即，所以

所以直线过定点，．....7分

（3）设切线方程为，即，

故到直线的距离，即，

设，的斜率分别为，，则，，

把代入，得，

，

当时，取得最小值．....12分