2021荆州六县区高一上学期期末考试数学试题含答案

荆州市六县市区2020~2021学年度上学期期末考试

高一数学试题

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：人教A版必修第一册．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

3．已知角的终边过点，若，则实数x的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则（    ）

A．0    B．    C．2    D．2或

5．计算：（    ）

A．    B．0    C．    D．

6．已知，则的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知函数是定义在上的奇函数，则实数（    ）

A．    B．    C．1     D．2

8．已知函数的零点为a，设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．如果是第四象限角，那么可能是（    ）

A．第一象限角    B．第二象限角    C．第三象限角    D．第四象限角

10．已知函数，若，则（    ）

A．当时，    B．当时，

C．当时，    D．与的大小与a有关

11．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于直线对称

C．的单调递增区间为

D．的图象关于点对称

12．已知函数满足：当时，，当时；当时，（，且）．若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（    ）

A．为周期函数    B．的值域为

C．实数a的取值范围为    D．实数a的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为_________．

14．命题“，使关于x的方程有实数解”的否定是_________．

15．若，则__________．

16．已知函数有最小值，则的取值范围为_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知．

（1）若为锐角求；

（2）求．

18．（本小题满分12分）

已知函数，其中．

（1）求函数的定义域；

（2）若函数的最大值为2，求a的值．

19．（本小题满分12分）

已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）讨论关于x的方程的根的个数．

20．（本小题满分12分）

如图是边长为100米的正方形场地，其中米，米，区域被占用，现在五边形区域内规划一个矩形区域，使点P，M，N分别在线段上．

（1）设米，米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

（2）求矩形面积的最大值，并确定点P的位置．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，求的单调递减区间；

（2）若，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在区间上的最值．

22．（本小题满分12分）

已知指数函数（，且）的图象过点．

（1）求的解析式；

（2）若函数，且在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．

2020~2021学年度上学期期末考试·高一数学试题

参考答案、提示及评分细则

1．D  由，所以．故选D．

2．B  ，解得，∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．

3．A  由，得，解得．故选A．

4．B  由函数是幂函数，则，解得或．又函数在上单调递减，则，即．故选B．

5．A  原式．故选A．

6．C  （当且仅当时取“=”）．故选C．

7．B  因为，所以，又函数是定义在上的奇函数，则有，即恒成立，所以．因为，所以．故选B．

8．B  由已知得，数形结合得，则，所以．故选B．

9．BD  由已知得，所以，即在第二或第四象限．故选BD．

10．AB  函数，二次函数的图象开口向上，对称轴为，当时，与的中点为．∴，选项B正确；当时，与的中点大于，又，∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，∴，选项A正确；显然当时，与的大小与a无关，选项D错误．故选AB．

11．CD  ，的最小正周期为，的图象关于直线对称，的单调递增区间为，的图象关于点对称．故选CD．

12．BC  当时，（且），不是周期函数，且值域为，作出函数在上的部分图象，再作出该部分图象关于原点对称的图象．如图所示，若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，则函数的图象与所作的图象至少有三个交点，所以解得．故选BC．

13．3  扇形的圆心角，所以．

14．，关于x的方程无实数解  命题“，使关于x的方程有实数解”的否定为“，关于x的方程无实数解”．

15．  ∵，∴．∴．

16．  当时，的最小值为2．当时，要使存在最小值，必有，解得．∴，∴．

17．解：由，得．            1分

（1）由解得或         2分

∵为锐角，∴．           3分

∴

．                 5分

（2）∵，

则，                     7分

∴．               10分

18．解：（1）要使函数有意义，则有               2分

解得，

所以函数的定义域为．                    4分

（2）函数可化为，       6分

因为，所以．              8分

因为，所以，

即，              10分

由，解得．            12分

19．解：（1）由图可知，解得．           2分

设，则，

∵函数是定义在上的偶函数，且当时，，

∴，

∴．                   5分

∴                  6分

（2）作出函数的图象如图所示：

易知．方程的根的个数等价于与函数的图象交点的个数．

由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；

当或时，关于x的方程的根的个数为2；

当时，关于x的方程的根的个数为4；

当时，关于x的方程的根的个数为3．                 12分

20．解：（1）作于点Q（图略），所以米，米．           2分

又，所以，．          4分

所以，定义域为．               6分

（2）设矩形的面积为平方米，

则，              8分

由二次函数得性质知，且其图象开口向下，对称轴为，

所以当时，单调递减．                10分

所以当米时，矩形的面积取得最大值，其最大值为平方米．

此时米，米，即点P在点D的位置时矩形的面积最大．           12分

21．解：，           2分

（1）∵，

∴，               3分

由，得．           5分

∴函数的单调减区间为．        6分

（2）当时，可知，           7分

将的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为．      9分

当，时，，           10分

当，即时，取最小值；

当时，即时，取最大值2．            12分

22．解：（1）由题意，的图象过点，         1分

∴，解得．               3分

故函数的解析式为．             4分

（2）∵，

∴．                   5分

令，

∴，             6分

函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点，           8分

则即

解得．             11分

故实数m的取值范围为．                12分